Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja eli stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua. Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan satunnaisilmiön perusjoukko, on satunnaismuuttuja funktio, joka liittää jokaiseen perusjoukon alkeistapaukseen  reaaliluvun. Funktion  tulee kuitenkin olla mitallinen funktio. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti  merkitsemättä eli kirjoitetaan .

Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreetti tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta, ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreetti) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.

Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi ). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi ) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten x). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi .

 Esimerkkejä satunnaismuuttujista 
 Diskreetit satunnaismuuttujat 

Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on , ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja  määrittelemällä esimerkiksi:

Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista  joista muodostetaan satunnaismuuttuja :  Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin  Nämä esimerkit olivat yksinkertaisia satunnaismuuttujia, koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.

Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan  arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin 

 Jatkuvat satunnaismuuttujat 

Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi . Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä, ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja  siten, että  kun origo on napakympissä, saadaan Borel-joukko niistä -säteisistä ympyrälevyistä, missä  Satunnaismuuttuja saa silloin arvot  

Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä , puoliavoimelta väleiltä  tai  taikka avoimelta väliltä , missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.

 Matemaattinen määritelmä 
Satunnaismuuttuja  on mitallinen funktio , missä määrittelyjoukko  on todennäköisyyslaskennassa käytettävä perusjoukko, ja funktion arvojoukkona ovat reaaliluvut. Jos siis alkeistapaus  oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo  yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko . Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin  Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena 

Funktio tulee olla mittallinen eli -mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu sigma-algebraan . Vain silloin  on varmasti tapahtuma eli , joka kuuluu aina Borel-joukkoon.

Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta  mitta-avaruuteen  

 Todennäköisyysjakauma 

pienoiskuva|Nopan silmäluvut ovat luvut 1-6 ja niiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki yhtä suuret.
Todennäköisyysjakauma, usein yksinkertaisesti vain jakauma, määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan myös sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.

 Todennäköisyysfunktiot 
pienoiskuva|Kahden nopan silmälukujen summan jakaumafunktion pistetodennäköisyydet jakautuvat kuvaajan mukaisesti.Todennäköisyysfunktiot ovat diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.

 Diskreetit satunnaismuuttujat 
Diskreettien satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon  liitetään todennäköisyyden arvo . Usein käytetty merkintätapa on 

Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.

Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi  Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudattavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa:  ja 

Todennäköisyysjakauman todennäköisyyksien summa 

tulee aina olla yksi.
pienoiskuva|Esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujan tiheysfunktiosta  on normaalijakauman kuvaaja.

 Jatkuvat satunnaismuuttujat 
Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on tiheysfunktio  (joskus ), joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja. Muualla sen arvo on nolla. Se ei siis voi saada missään negatiivisia arvoja.

pienoiskuva|Todennäköisyys sille, että sattunnaismuuttuja saa arvokseen yli 1,2 eli  on kuvaajan väritetyn alueen pinta-ala eli integraali.Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on nolla. Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten todennäköisyys voi olla nolla, vaikka tapahtuma olisi teoreettisesti mahdollinen.

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaan vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä . Jos  , tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteenlaskettu todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä  määritetty tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:

Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi, eli

koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.
pienoiskuva|Satunnaismuuttujalla on viisi arvoa välillä , joiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki 0,2. Näistä piirretty kertymäfunktio on porrasfunktio, joka on oikealta puolelta jatkuva.

 Kertymäfunktiot 
pienoiskuva|Edellä esitetyn normaalijakauman kertymäfunktion kuvaaja muistuttaa S-käyrää.
Kertymäfunktio eli jakaumafunktio  määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmalta päin päätearvoon  asti. Sekä diskreeteille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa 

Todennäköisyys tapahtumalle  on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia

Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot 
.

Diskreeteillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvien satunnaismuuttujien kertymäfunktiot ovat nimensä mukaisesti jatkuvia, ja niissä diskreettien satunnaismuuttujien kertymäfunktioille ominaista porrasrakennetta ei esiinny. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio

 Tunnusluvut eli momentit 

Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa odotusarvona (merkitään ), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi momentiksi. Muita parametrejä voivat olla  esimerkiksi varianssi (merkitään , toinen momentti) tai vinous (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta ne vaihtelevat jakaumittain.

 Katso myös 
 Tapahtuma
 Tiheysfunktio
 Kertymäfunktio
 Todennäköisyys
 Todennäköisyysfunktio
 Todennäköisyysjakauma

 Lähteet 

Luokka:Todennäköisyyslaskenta