Gammafunktio

Gammafunktio on  funktio, jolle käytetään symbolia  (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä
. 
Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan  se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

 Gammafunktion johtaminen 
Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä .  on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

josta

Toistetaan:

Toistetaan:

Sijoitetaan  ja saamme

josta määrittelemme gammafunktion

n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:

 Gammafunktion ominaisuuksia 
Jos  on luonnollinen luku, niin 

Jos  on luonnollinen luku, niin saadaan:

ja

Tästä tulee arvot:

Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:

Gammafunktiolle pätee lisäksi:

 Katso myös 
 Gamma-jakauma, Beta-jakauma

 Lähteet 

Kirjallisuutta



 Aiheesta muualla 

 Mathworld. Gamma Function 

Luokka:Funktiot
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit