Rengas (matematiikka)

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite. Se on käsitteen kunta yleistys. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio "1" ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait (vrt. monoidi). 

Pseudorengas määritellään kuten rengas mutta vaatimatta neutraalialkion olemassaoloa. Jotkin harvat teokset määrittelevät renkaiksi myös pseudorenkaat, tämä artikkeli ei.

Kuntia ovat ne renkaat, joissa kertolaskukin on kommutatiivinen (vaihdannainen, ), joka alkiolla  on käänteisalkio  (jolla ) ja  (eli nollarengasta  ei määritellä kunnaksi, vaikka sekin on nuo muut ehdot täyttävä rengas).

 Esimerkkejä 
Kunnat, kuten rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ, ovat kommutatiivisia renkaita. Seuraavassa on esimerkkejä renkaista, jotka eivät ole kuntia.

Kokonaislukujen joukko  on kommutatiivinen rengas (muttei kunta, koska vain ykkösellä on käänteisalkio joukossa ).

Neliömatriisien joukko (matriisitulolla) on rengas muttei kommutatiivinen, jos matriisissa on enemmän kuin yksi rivi. Tämä on totta silloinkin, jos ei puhuta reaalilukujen matriiseista vaan jonkin muun renkaan  alkioiden muodostamista matriiseista (paitsi jos renkaassa  on pelkkä nolla-alkio, jolloin neliömatriisien joukko  on kommutatiivinen).

Jos  on kommutatiivinen rengas (esimerkiksi reaalilukujen joukko ), niin kaikkien -kertoimisten yhden muuttujan polynomien joukko

on kommutatiivinen rengas, samoin jopa  eri muuttujan polynomien joukko. Vain vakioilla on käänteisalkio renkaassa , koska polynomin  asteluku on vähintään polynomin  asteluku, kun , eli se ei voi olla neutraalialkion  asteluku 0, jos :n asteluku on positiviinen.

 Kokonaisluvut modulo 4 

Joukko  (sitä voi ajatella joukkona  siten, että laskujen tuloksista otetaan jakojäännös :llä) varustettuna alla mainituilla operaatioilla on kommuntatiivinen rengas:
 Summa  on jakojäännös, kun luku  jaetaan luvulla . Esimerkiksi  ja 
 Tulo  on jakojäännös, kun luku  jaetaan luvulla . Esimerkiksi  ja 

Luku  on kertolaskun neutraalialkio (koska  kaikilla ) ja luvun  käänteisalkio  on  (koska ), mutta luvulla  ei ole käänteisalkiota, koska kerrottaessa sitä jollain luvulla tuloksena on aina  tai , ei . Tämä rengas ei siis ole kunta.

Määritelmä
Ryhmä  on rengas binääristen operaatioiden  ja  suhteen (merkitään ) kun se toteuttaa  seuraavat ehdot:

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
 .

Toisin sanoen

  on Abelin ryhmä operaation  suhteen (1, 3, 5, 7, 8).
  on monoidi operaation  suhteen (2, 4, 6).
 operaatio  on distributiivinen (9, 10).

Jos  on kommutatiivinen,  on kommutatiivinen rengas.

Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.

Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt , ,  ja  eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.

Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi. 

Esimerkkejä:

 Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole.
 Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. 
Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu.

Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat

Renkaan  alkio  on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen ryhmän :n alkio , että ; silloin tätä alkiota u kutsutaan yleisesti yksiköksi. :n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää .  on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:
 Koska , kääntyvien alkioiden joukko ei ole tyhjä.
 :n ykkösalkio on .
 Oletetaan, että . Tällöin , joten kääntyvien alkioiden joukko on suljettu kertolaskun suhteen.
  on assosiatiivinen, koska  on assosiatiivinen :n suhteen.

Nollasta poikkeavaa alkiota  sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava , jolle . Tällöin tietysti myös  on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.

Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö  on voimassa vain, jos  ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta n olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat :n alkioita, voi olla enemmän kuin n juurta, jos ryhmässä  on nollanjakajia.

Voidaan todistaa, että jos , niin  eli renkaassa ei ole muita alkioita kuin . Yleensä (ei aina) kunnat määritellään niin, että tämä "nollarengas" ei ole kunta.

 Lähteet 

Kirjallisuutta



Luokka:Rengasteoria
Luokka:Algebralliset rakenteet
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit