Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio on geometriassa kolmio, jonka yksi kulma on suora eli 90 astetta. Suoran kulman viereisiä sivuja kutsutaan kateeteiksi ja suoran kulman vastaista sivua hypotenuusaksi.

Yleiset ominaisuudet
Hypotenuusan projektion pituus kateetilla on yhtä pitkä kuin kateetti itse. Hypotenuusan keskipiste on yhtä etäällä kaikista kolmion kärjistä.

Suorakulmaisen kolmion ortokeskus sijaitsee aina siinä kolmion kärjessä, jossa on suora kulma. Jos suoraan kulmaan piirretään kulmanpuolittaja, jää sen kantapiste kolmion keskijanan ja korkeusjanan puoliväliin.

 Pythagoraan lause 

pienoiskuva|Pythagoraan lauseen havainnollistus. Pythagoraan yhtälössä lauseke a2 esitetään sinisen neliön alana, b2 punaisen ja c2 violetin neliön alana.
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (suoran kulman vastaisen sivun) neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen eli kateettien neliöiden summa.  Jos hypotenuusan pituus on c ja kateettien a ja b, tämä voidaan ilmaista yhtälöllä 

Tämä pätee myös kääntäen: jos kolmion sivut toteuttavat tämän yhtälön, sivujen a ja b välinen kulma on suora. Yhtälö osoittaa myös, että hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

 Laskukaavoja 
 Kulmat 
Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat toistensa komplementtikulmia, koska 

 Janat 
pienoiskuva|Kateettien a ja b projektiot hypotenuusalla c ovat vastaavasti n ja m.

pienoiskuva|Piirtämällä suorakulmaisen kolmion ABC perusteella apupiirroksina kaksi suorakulmiota voidaan todeta, että suorakulmioiden alat ovat yhtä suuret eli ab = hc.

Geometrisen keskiarvon lauseen mukaan hypotenuusaa vastaan oleva korkeus on kateettien a ja b projektioiden n ja m keskiverto eli 


Kateetti a on hypotenuusan ja hypotenuusalla olevan projektionsa n keskiverto eli   eli 

Korkeusjanojen pituudet ovat kateetille a  ja hypotenuusalle   mikä johtaa myös muotoon 

Keskijanojen pituudet ovat kateetille a

ja hypotenuusalle c


Kulmanpuolittajat ovat kateetille a

ja hypotenuusalle c


 Ala 
Yleisesti kolmion pinta-ala lasketaan kannan a ja korkeuden h avulla

Suorakulmaisessa kolmiossa kummatkin kateetit a ja b kohtaavat toisensa kohtisuorasti ja toimivat korkeusjanana, jolloin pinta-alan suuruus voidaan ilmoittaa sivujen avulla

Kun merkitään piirin pituuden puolikasta , tulee suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi

 Sisään piirretty ympyrä 
Suorakulmaisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on 

Säteen lauseke voidaan kirjoittaa myös 


 Ympäri piirretty ympyrä 
pienoiskuva|Thaleen lause sanoo, että suorakulmaisen kolmion ympäri piirretty ympyrän keskipiste on hypotenuusalla, joka on samalla ympyrän halkaisija.Thaleen lause sanoo, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Sen seurauksena kolmio, jonka yksi sivu on ympyrän halkaisijalla ja sen vastainen kärki ympyrän kehällä, on suorakulmainen kolmio. Tämän ympyrän säde on 

Ympyrän keskipiste sijaitsee siis hypotenuusan keskipisteessä. Jos kolmio tämän lisäksi tasakylkinen, tulee säteeksi 


 Ruutupaperilla 

Tietynkokoiselle neliöruudutetulle paperille voidaan yleensä piirtää useitakin sellaisia suorakulmaisia kolmioita, joiden kärkipisteet osuvat viivojen risteyskohtiin. Kuten yllä on todettu, suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituutta c vastaava korkeus h saadaan kateettien pituuksien a ja b avulla:



Kun tässä esim. a = 3, b = 4 ja c = 5, saadaan h = 2,4. Piirtämisen helpottamiseksi tämä voidaan kertoa viidellä, jolloin korkeudeksi saadaan 12. Suurennetun kolmion kärkipisteet voidaan nyt asettaa esim. koordinaattipisteisiin (0, 0), (9, 12) ja  (25, 0).
Katso myös
Trigonometria
Lähteet



Viitteet

Luokka:Monikulmiot
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit