Binomikerroin

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos  ja , niin binomikerroin on .

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla  alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on  alkiota. 

Esimerkiksi neljästä henkilöstä (A, B, C ja D) voidaan valita kaksi henkilöä kuudella tavalla: AB, AC, AD, BC, BD ja CD. Näiden sisäisellä järjestyksellä (permutaatio) ei ole väliä. 

Täten: .  

Useissa laskimissa sama toiminto on nimeltään nCr (esim. nCr(4,2) ). 

 Ominaisuuksia 

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:



 Pascalin sääntö: 


Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

 Binomin potenssit 

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:





 Yleistyksiä 

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin .

Yleisesti on voimassa, että jos , niin .Lennart Råde, Bertil Westergren: Mathematics Handbook for Science and Engineering

 Binomikertoimien ala- ja ylärajoja 

Binomikertoimelle  on voimassa seuraavat arviot:







 Ohjelmallinen toteutus 
Jos  ja , niin binomikerroin   on laskettavissa JavaScriptillä rekursiolla seuraavalla funktiolla:

function binomikerroin(n,k) {
    if (k == 0 || k == n) {
        return 1;
    } else {
        return binomikerroin(n-1,k-1) + binomikerroin(n-1,k);
    }
}

Lähteet

 Aiheesta muualla 

 Binomial Coefficient

Luokka:Kombinatoriikka