Keskiarvo

Keskiarvo tarkoittaa lukua, joka ilmaisee keskimmäisyyttä. Tällainen 'keskimmäisyys' on kuitenkin lavea käsite, joten on olemassa useita tapoja laskea keskiarvo. Tavallisin niistä on aritmeettinen keskiarvo, joka ilmaisee lukujen summaa jaettuna lukujen määrällä.

 Pythagoraan keskiarvot 

Pythagoraan keskiarvoilla tarkoitetaan aritmetiikassa ja geometriassa niitä keskiarvoja, joita käytettiin jo muinaisissa Babyloniassa, Egyptissä ja antiikin Kreikassa. Niitä käsitteli ja kehitti tuolloin eteenpäin Pythagoras tutkielmassaan verrannoista. Hän esitteli siinä ensin aritmeettisen keskiarvon lisäksi geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon ja niiden perään vielä seitsemän uutta "keskiarvoa" verrantojen avulla.

 Aritmeettinen keskiarvo 

Aritmeettinen keskiarvo (lyhenne ka.) tai lyhyesti keskiarvo on lukujen summa jaettuna niiden lukumäärällä. Puhuttaessa keskiarvosta tarkoitetaan yleensä juuri tätä aritmeettista keskiarvoa.

Aritmeettinen keskiarvo lasketaan käyttäen kaavaa:
,
jossa  on yhteenlaskettavien lukujen lukumäärä.

 Geometrinen keskiarvo 

Positiivisten lukujen  geometrinen keskiarvo  kuvaa lukujen keskiarvoa logaritmisella asteikolla.

Geometrinen keskiarvo lasketaan kaavalla:

Jos lukuja on vain kaksi, niiden geometrisesta keskiarvosta käytetään myös nimitystä keskiverto.

 Harmoninen keskiarvo 

Positiivisten lukujen  harmoninen keskiarvo  on:
.

Toisin sanoen harmoninen keskiarvo on lukujen käänteislukujen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku.

 Pythagoraan keskiarvojen vertailu 
Kun positiivisista luvuista lasketaan Pythagoraan keskiarvot, niin aritmeettinen keskiarvo (AM) on suurin, geometrinen keskiarvo (GM) kahden muun välissä ja harmoninen (HM) keskiarvo on pienin. Tätä voidaan merkitä epäyhtälöillä:

Näistä ensimmäistä kutsutaan Aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi ja jälkimmäistä Geometris-harmoniseksi epäyhtälöksi.

 Yleistetty keskiarvo 
Yleistetty keskiarvo tarkoittaa positiivisille luvuille  määriteltyä keskiarvoa:

jossa . Se voidaan jatkaa myös äärettömyyspisteisiin  sekä pisteeseen .

Yleistetyn keskiarvon eräitä erikoistapauksia on kirjattu oheiseen taulukkoon.

 Keskiarvo  Tulos Minimi   Harmoninen keskiarvo   Geometrinen keskiarvo   Aritmeettinen keskiarvo   Neliöllinen keskiarvo   Kuutiollinen keskiarvo   Maksimi  

 Katso myös 
 Painotettu keskiarvo
 Liukuva keskiarvo

 Lähteet 

Luokka:Tilastotiede
Luokka:Aritmetiikka
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit