Osajoukko

Joukko B on joukon A osajoukko, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon A, merkitään . Tällöin sanotaan myös, että B sisältyy joukkoon A.  Kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa kutsutaan potenssijoukoksi ja merkitään . 

Formaalisti määritellään, että
, kun .
Joukko B on joukon A aito osajoukko, jos se on joukon A osajoukko, mutta B ei ole sama kuin A, B ≠A. Aitoa osajoukkoa merkitään  (joskus taas edellä esitetystä poiketen , jolloin osajoukkoa merkitäänkin ).

Jokainen joukko C on itsensä osajoukko,  . Tyhjä joukko ∅ on jokaisen joukon osajoukko ja aito osajoukko jokaiselle joukolle paitsi itselleen.

Kun joukossa on n alkiota, siitä voidaan muodostaa  osajoukkoa.

Erityisesti:  tarkoittaa aina osajoukkoa,  aina aitoa osajoukkoa ja  yleensä osajoukkoa (myös tällä sivulla muttei kaikkialla Wikipediassa) mutta joissain teoksissa aitoa osajoukkoa.

Esimerkkejä:

 1. Joukko {1, 2} on joukon {1, 2, 3} aito osajoukko.
Sen kaikki osajoukot ovat ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
 2. 
 3. Joukko A0 = {b ∈ R : b ≤ 0} on joukon A1 = {b ∈ R : b ≤ 1} osajoukko.
 4. Joukko S = {Merkurius, Venus, Maa} on joukon P = {Aurinkokuntamme planeetat} osajoukko.

 Lähteet 

Kirjallisuutta



 Aiheesta muualla 

Luokka:Joukko-oppi

ro:Mulțime#Submulțimi