Kompleksiluku

Kompleksilukujen joukko  on reaalilukujen joukon luonnollinen laajennus.

Kompleksiluku z on muotoa

jossa x  ja y ovat reaalilukuja ja i on  imaginaariyksikkö, jolle pätee . Lukua x kutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi (Re(z)) ja lukua y vastaavasti sen imaginaariosaksi (Im(z)).

Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: . Jos , kompleksilukua kutsutaan puhtaasti imaginaariseksi.

Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomille voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä nollakohtia eli juuria, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuriaPitkäranta s.322. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä  ei ole reaalisia juuria, sillä  on positiivinen kaikilla reaalisilla :n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut  ja .

Kompleksilukuja hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla. Sähkötekniikassa kompleksiluvun imaginaariyksikkö merkitään kirjaimella j. Kompleksiluvut kuuluivat Suomessa lukion matematiikan pitkän oppimäärän valtakunnallisiin sisältöihin 1960-luvulta aina vuoden 2003 opetussuunnitelmauudistukseen saakka (joissakin kouluissa noudatettiin vuoden 2016 opetussuunnitelman versiota, joka sisälsi kompleksilukujen perusteita),  mutta tämänkin jälkeen niillä laskemisen perusteita on opetettu korkea-asteen lisäksi lukioiden paikallisilla erikoiskursseilla.

 Historia 

Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan Ars Magnassa. Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari.

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa ratkaisukaavan avulla päädytään väistämättä neliöjuuren ottamiseen negatiivisista luvuista, jos yhtälöllä on kolme nollasta poikkeavaa reaalijuurta. Tätä tapausta kutsutaan casus irreducibilikseksi , eli redusoimattomaksi tapaukseksi, sillä ratkaisua ei voi tässä tapauksessa löytää ilman jonkinlaista käsitystä kompleksisten lukujen laskusäännöistä. Cardano laskee Ars Magnassa formaalisti tulon  ja saa oikean tuloksen 40, huolimatta siitä että hän kieltää negatiivisten lukujen neliöjuurten olemassaolon. On muistettava että Cardanon aikaan negatiivisiakaan lukuja ei aina hyväksytty, Cardano itse kutsui niitä nimellä numeri ficti. René Descartes ei hyväksynyt kompleksisia lukuja ja pilkkasi niitä kutsumalla niitä imaginaarisiksi vuonna 1637 julkaistussa La Géométriessaan.

Leonhard Euler julkaisi vuonna 1748 kirjassaan Introductio nykyään Eulerin lauseena tunnetun tärkeän identiteetin, jonka erityistapaus on . Euler myös otti käyttöön merkinnän  kuvaamaan lukua . Aikaisemmin samalla vuosisadalla ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre oli keksinyt toisen tärkeän kompleksilukuihin liittyvän kaavan, de Moivren kaavan, vaikka ei sitä nykyään tunnetussa muodossa esittänytkään.

 Laskutoimitukset 

Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakeja, sekä yhtälöä :

 Saff ja Snider, s. 3

kaikilla reaaliluvuilla x,x',y,yKompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan liittoluvun eli konjugaatin avulla. Kompleksiluvun  liittoluku on . Määritellään kompleksiluvun moduuli eli itseisarvo . Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku:

 Saff ja Snider, s. 11

Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:

 Saff ja Snider, s. 12

Liittolukua merkitään myös :lla. Saff ja Snider, s. 10

Kompleksiset potenssit ja juuret

Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun  :s potenssi on , missä  tarkoittaa kompleksiluvun  moduulia Saff ja Snider, s. 33. Kompleksilukun  :s juuri saadaan seuraavasti: merkitään . Tällöin . Tällöin :s juuri on , missä  tarkoittaa kompleksiluvun  moduulia Saff ja Snider, s. 33.

 Kompleksiluvun neliöjuuri 

Jokaista kompleksilukua z = a + bi (paitsi lukua 0) kohti on olemassa kaksi sellaista kompleksilukua, joiden neliö on z. Koska

,

voidaan nämä johtaa ratkaisemalla toisen asteen yhtälöpari:

.

Ratkaisuiksi saadaan:

ja

Koska , on x:llä ja y:llä sama etumerkki, jos b on positiivinen, muussa tapauksessa niillä on vastakkaiset etumerkit. Koska toisaalta kompleksiluvun z = a + bi itseisarvo on , todetaan, että yhtälön  toteuttavat kompleksiluvut ovat:

,

kun  eli z ei ole reaaliluku.

Tavallisesti määritellään lisäksi, että kompleksiluvun neliöjuurella tarkoitetaan näistä nimenomaan sitä, jonka reaaliosa on positiivinen.

Jos kompleksiluku on esitetty muodossa
,
missä r ja  ovat reaalilukuja, saadaan sen neliöjuurelle yksinkertaisempi lauseke:

.

 Geometrinen tulkinta 

Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää kaksiulotteisen koordinaatiston pisteenä Saff ja Snider, s. 7–8 tai paikkavektorina Saff ja Snider, s. 14. Argandin kaaviossa kompleksilukua  kuvaa tason piste  ja paikkavektori OP. Koordinaatiston toinen akseli ilmaisee kompleksiluvun reaalikomponentin ja toinen imaginaarikomponentin. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan. Tasoa, jonka pisteet on määritelty vastaamaan kompleksilukuja, sanotaan kompleksitasoksi.

Kompleksiluku voidaan esittää napakoordinaatiston avulla muodossa , jossa  on kompleksiluvun itseisarvo , ja  on :n argumentti, eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma. Saff ja Snider, s. 16–17 Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:

 Saff ja Snider, s. 20

 Saff ja Snider, s. 20

Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.

Kompleksilukujen kertolasku voidaan tulkita geometrisesti myös seuraavasti: Kun kompleksiluku kerrotaan reaaliluvulla, sen paikkavektorin pituus kerrotaan tällä reaaliluvulla, mutta sen suunta pysyy ennallaan tai vaihtuu päinvastaiseksi, jos kerroin on negatiivinen. Kun kompleksiluku kerrotaan imaginaariyksiköllä i, sen paikkavektorin suuntaa kierretään 90 astetta vastapäivään, mutta sen pituus pysyy ennallaan. Kertominen muulla kompleksiluvulla voidaan yhdistää näistä sekä vektorien yhteenlaskusta.

 Analyyttiset funktiot 

Kompleksilukujen joukossa määriteltyjä analyyttisia funktiota tutkii funktioteoria eli kompleksianalyysi.  Funktioiden määrittelyjoukkona käytetään usein laajennettua kompleksitasoa, jossa kompleksitasoon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste. 

 Kompleksilukujen suuruusjärjestys 
Reaaliluvuilla käsite ”suurempi kuin” (>) on hyvin intuitiivinen ja noudattaa tiukkoja, loogisia sääntöjä, jotka toimivat saumattomasti yhteen aritmetiikan kanssa. Hyödyllisen järjestyksen kannalta lukujärjestelmässä tärkeimmät säännöt ovat:

 Trikotomia: Mille tahansa kahdelle luvulle (a) ja (b) pätee täsmälleen yksi seuraavista:  · (a > b)  · (a = b)  · (a < b)
 Transitiivisuus: Jos (a > b) ja (b > c), niin (a > c).
 Yhteenlaskun yhteensopivuus: Jos (a > b), niin (a + c > b + c) kaikilla (c).
 Yhteensopivuus positiivisella vakiolla kertomisen kanssa:''' Jos (a > b) ja (c > 0), niin (a \cdot c > b \cdot c).

Reaalilukusuora toteuttaa kaikki nämä ominaisuudet täydellisesti.

 Miksi tämä ei toimi kompleksiluvuilla 
Ongelma ei ole siinä, etteikö kahden kompleksiluvun vertailuun voisi keksiä jotakin sääntöä (voisimme verrata niiden itseisarvoja tai käyttää sanakirjajärjestystä reaaliosille ja imaginääriosille). Ongelma on siinä, että mikä tahansa tällainen sääntö rikkoo vähintään yhden yllä mainituista perusominaisuuksista, jolloin siitä tulee hyödytön aritmetiikassa ja algebrassa.

Ydinkonflikti johtuu kahdesta tosiasiasta:

· Järjestetyssä lukujärjestelmässä minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun neliö on positiivinen ((c > 0)).(Todistus: jos (c > 0), niin (c \cdot c > 0). Jos (c < 0), niin (-c > 0) ja (c^2 = (-c)^2 > 0).)''

· Imaginaariyksikön määrittelevä ominaisuus on (i^2 = -1).

Nämä kaksi tosiasiaa eivät voi toteutua samanaikaisesti järjestetyssä järjestelmässä.

 Ristiriitatodistus 
Oletetaan, että kompleksiluvuille on olemassa johdonmukainen järjestys, ja katsotaan mitä seuraa.

Tiedämme, että (i \neq 0). Trikotomian mukaan (i) on joko suurempi kuin 0 tai pienempi kuin 0.

 Tapaus 1: Oletetaan (i > 0). 
Jos (i > 0), niin positiivisella kertomisella yhteensopivuuden perusteella voimme kertoa epäyhtälön molemmat puolet tällä ”positiivisella” luvulla (i):

(i > 0 \Rightarrow i \cdot i > i \cdot 0)

Siis

(i^2 > 0)

Mutta (i^2 = -1). Tämä merkitsisi:

(-1 > 0)

Tämä on suora ristiriita reaalilukujen perusjärjestyksen kanssa (tiedämme, että (-1 < 0)).

 Tapaus 2: Oletetaan (i < 0). 
Jos (i < 0), niin (-i > 0) (lisätään (-i) molemmille puolille). Kerrotaan nyt epäyhtälö (i < 0) tällä ”positiivisella” luvulla ((-i)):

(i < 0 \Rightarrow (-i)\cdot i > (-i)\cdot 0)

(Huom: epäyhtälön suunta vaihtuu, kun kerrotaan positiivisella luvulla!)

Siis

(-i^2 > 0)

(-(-1) > 0)

(1 > 0)

Tähän asti kaikki on kunnossa — tiedämme, että (1 > 0) on totta. Mutta tarkastellaan myös, että jos (i < 0), niin (i - i < 0 - i), mikä sievenee muotoon (0 < -i). Olemme siis todenneet, että (-i > 0).

Mikä on tämän ”positiivisen” luvun (-i) neliö?

[

(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1

]

Olemme siis korottaneet ”positiivisen” luvun (-i) toiseen potenssiin ja saaneet negatiivisen tuloksen (-1). Tämä rikkoo jälleen säännön, jonka mukaan järjestetyssä lukujärjestelmässä minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun neliön täytyy olla positiivinen.

 Johtopäätös 
Molemmat mahdolliset oletukset luvusta (i) johtavat loogiseen ristiriitaan järjestettyjen kuntien sääntöjen kanssa. Siksi on mahdotonta määritellä kompleksiluvuille käsitteitä ”suurempi kuin” tai ”pienempi kuin” tavalla, joka olisi yhteensopiva niiden aritmetiikan kanssa. Näin järjestys voidaan määritellä ainoastaan, jos jostakin yllämainituista aksioomista luovutaan.

 Katso myös 
 Eulerin lause (funktioteoria)
 Gaussin kokonaisluku
 de Moivren kaava
 Kvaternio
 Residylaskenta

 Lähteet 
Saff, Edward B. ja Snider, Arthur David: Fundamentals of Complex Analysis: Engineerging, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

Viitteet

Kirjallisuutta



 Aiheesta muualla 

Luokka:Kompleksiluvut
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit