Kunta (matematiikka)

Kunta () matematiikassa on epäformaalisti sanottuna joukko, johon on määritelty neljä peruslaskutoimitusta siten, että laskutoimitukset noudattavat tavallisia laskulakeja, ja laskutoimitusten tulos kuuluu samaan joukkoon. Esimerkiksi rationaaliluvut muodostavat kunnan, mutta kokonaisluvut eivät, koska jakolaskun tulos ei ole välttämättä kokonaisluku. Kuntia tutkiva matematiikan ala on algebra.

Vektoriavaruuden määritelmään kuuluu varsinaisen vektoriavaruuden lisäksi jokin "skalaarien" kunta, useimmiten reaalilukujen joukko , jonka alkioilla eli "skalaareilla" vektoreita voi kertoa niin, että vektorin pituus moninkertaistuu tuon skalaarin verran mutta suunta ei muutu.

Formaali määritelmä
Joukko  on kunta, jos se täyttää seuraavat ehdot:

 Kaikilla  on  (summan liitäntälaki)
 :ssa on nolla-alkio  niin, että kaikilla  on  (summan neutraalialkio)
 Kaikilla  on :ssa vasta-alkio  siten, että 
 Kaikilla  on  (summan vaihdantalaki)
 Kaikilla  on  (osittelulaki 1)
 Kaikilla  on  (tulon liitäntälaki)
 :ssa on ykkösalkio  siten, että kaikilla  on  (tulon neutraalialkio)
 Kaikilla  paitsi :lla on :ssa käänteisalkio  siten, että  (tulon käänteisalkio)
 Kaikilla  on  (tulon vaihdantalaki)


Määritelmässä siis käytetään kahta laskutoimitusta. Vähennyslasku voidaan määritellä summan ja vasta-alkion avulla, , ja jakolasku vastaavasti tulon ja käänteisalkion avulla.

Toisin sanoen kunta on kommutatiivinen rengas joka sisältää kaikkien alkioidensa  käänteisalkiot ja jolla .

Voidaan todistaa, että ehto  on yhtäpitävä ehdon  kanssa. Joskus harvoin kunta määritellään ilman tätä ehtoa eli "nollakunta" ("triviaali kunta") lisätään kuntien joukkoon. Tällöin menetetään se tulos, että nollaideaali ei ole maksimaalinen. Nollakunta on kuitenkin rengas.

Tunnetuimmat kunnat ovat rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ. Reaaliluvut ovat rationaalilukujen kuntalaajennus ja kompleksiluvut reaalilukujen kuntalaajennus, mutta kaikki kunnat eivät muodosta samanlaista laajennusten jonoa. Esimerkiksi gaussin rationaalit, eli kompleksiluvut joiden reaali- ja imaginääriosat ovat rationaalilukuja, muodostavat kunnan. Gaussin rationaalit ja reaaliluvut eivät ole kumpikaan toisensa kuntalaajennuksia.

Muita äärettömiä kuntia ovat esimerkiksi algebralliset lukukunnat , kaikkien algebrallisten lukujen kunta 𝔸, ja polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot.

Äärellinen kunta syntyy yksinkertaisimmin siten, että joukoksi valitaan kokonaisluvut , jossa p on alkuluku, ja yhteenlasku ja kertolasku määritellään s.e. tuloksesta otetaan jakojäännös luvulla .

Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole – alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion  ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty  vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).

 Joitakin kuntia koskevia perustuloksia 
Kunnan F nollasta eroavat alkiot (merkitään yleensä F×) on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Jokainen F×:n äärellinen aliryhmä on syklinen.

Jokainen kunta on kokonaisalue.

Äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä on aina alkuluvun potenssi.

Kunta on rengas jolla ei ole muita ideaaleja kuin {0} ja kunta itse.

Jokaiselle kunnalle F on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen kunta G jonka alikunta F on, kaikki F:n alkiot ovat algebrallisia G:ssä ja G on algebrallisesti suljettu. Tällöin G:tä kutsutaan F:n algebralliseksi laajennukseksi.

Katso myös
 Pseudoäärellinen kunta

 Lähteet 

Kirjallisuutta





Luokka:Kuntateoria
Luokka:Algebralliset rakenteet
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit