Lukujono

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista. 
 Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
 Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
 Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

 Määritelmä 

Tarkemmin lukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta

missä  on luonnollisten lukujen joukko ja  mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (an) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (an) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xn ≤ xn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

 Erikoistapauksia 
 Aritmeettinen lukujono 

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus  on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on .

 Geometrinen lukujono 

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä  on vakio. Jos  on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim.  . 

Geometrisen lukujonon yleinen termi on .

 Esimerkkejä 

1.  tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa  ...
 Toisin sanoen 
2.  tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa 

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

 Täten esimerkiksi .
 Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään

 saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. a0=2, a1=4, a2=16, a3=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ...  kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen  lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Lukujonon maksimi ja minimi

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Väite todistetaan induktiolla.  

Todistus

Alkuaskel

Olkoon joukko , joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku . Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi. 

Induktio-oletus
Oletetaan, että mielivaltaisessa äärellisessä joukossa  on  määrä alkiota eli  ja että väite pätee. Tällöin joukolla  on olemassa maksimi eli . 

Induktioaskel

Olkoon  mielivaltainen joukko, jossa on  määrä alkiota. Poistetaan joukosta  sen jokin alkio . Nyt saadaan joukko , jossa on  määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla . Täten myös joukolla  on olemassa maksimi, joka on . 

Induktioperiaatteen nojalla mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle , jolla , löydetään aina maksimi. Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.

Osajono

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi. 

Esimerkiksi

Olkoon (a1, a2, a3, a4, a5, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a. 

Tällöin jono (a2, a4, a5, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono. 

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono. 

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: ay1, ay2, ay3, ay4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y1, y2, y3, ...). Tällöin pätee aina: yn ≥ n. 

Todistus induktiolla: 

Alkuaskel: n = 1, jolloin y1 on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y1. 

Induktio-oletus: n ≤ yn. 

Induktio-askel: n+1 ≤ yn+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee yn+1 ≤ yn+1, mistä seuraa: n+1 ≤ yn+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen osajono 

Todistus

Olkoon joukko . 

 Joukossa  on ääretön määrä alkoita. 

, jolle pätee  ja  kaikilla . Täten osajono  on kasvava.  

 Joukko  on äärellinen. 

 Joukko  on tyhjä, jolloin valitaan . 

 Joukko  on epätyhjä, jolloin valitaan . 

Nyt koska , niin on olemassa  siten, että . Induktiolla voidaan osoittaa, että kaikilla  on olemassa  siten, että  ja . Täten osajono  on aidosti laskeva. 

Ollaan siis löydetty lukujonolle  kasvava osajono  tai aidosti laskeva osajono  eli joka tapauksessa monotoninen osajono. 

 Katso myös 
 Sarja
 Cauchyn jono
 Lukujonon raja-arvo

 Lähteet 

Kirjallisuutta



*
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit