قضیه پرچم بریتانیا

بندانگشتی|180x180پیکسل| قضیه پرچم بریتانیا در فضا: مساحت‌های دو مربع قرمز با مساحت‌های دو مربع آبی برابرند.
در هندسه اقلیدسی، قضیه پرچم بریتانیا بیان می‌دارد که اگر یک نقطه دلخواه P در داخل مستطیل ABCD انتخاب شود، مجموع مربعات فاصله اقلیدسی از P تا دو رأس مقابل مستطیل برابر است با فاصله اقلیدسی از P تا دو رأس مقابل دیگر.. Lardner includes this theorem in what he calls "the most useful and remarkable theorems which may be inferred" from the results in Book II of Euclid's Elements...



این قضیه همچنین در مورد نقاط خارج از مستطیل و به‌طور کلی در مورد فاصله‌های یک نقطه در فضای اقلیدسی تا رئوس یک مستطیل در فضا صادق است.Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions , Problem 28..

این قضیه را می‌توان به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورس نیز در نظر گرفت. قرار دادن نقطه P بر روی هر یک از چهار رأس مستطیل باعث می‌شود که مربع اندازه قطر مستطیل برابر با مجموع مربعات عرض و طول مستطیل باشد.

 اثبات 
بندانگشتی|180x180پیکسل| تصویر برای اثبات
همان‌طور که در شکل نشان داده شده‌است، خطوط عمود از نقطه P به اضلاع مستطیل، اضلاع AB , BC , CD و AD را به ترتیب در نقاط W , X، Y و Z قطع می‌کند. با اعمال قضیه فیثاغورس به مثلث AWP، داریم: WP = AZ، نتیجه می‌شود که


و با استدلال مشابه مربعات طول فواصل P تا سه رأس دیگر را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:




از این رو:



 وجه تسمیه 
بندانگشتی|180x180پیکسل| پرچم بریتانیا .
این قضیه نام خود را از این فرایندی گرفته‌است که وقتی پاره‌خط‌ها از P تا رئوس مستطیل ترسیم می‌شوند، همراه با خطوط عمود بر اضلاع ترسیم‌شده در اثبات، شکل کامل شده تا حدودی شبیه پرچم بریتانیا است.

 منابع 

 پیوند به بیرون 
 قضیه پرچم بریتانیا در artofproblemsolving.com
رده:چهارضلعی‌ها
رده:قضیه فیثاغورس
رده:هندسه اقلیدسی