نوسان‌ساز ون در پل

بندانگشتی| تکامل چرخه حدی در صفحه فاز. چرخه حدی به صورت دایره آغاز می‌شود و با μ متفاوت، به‌طور فزاینده ای تیز می‌شود. نمونه ای از یک نوسان‌ساز آرامشی .
در دینامیک، نوسان‌ساز وَن دِر پُل یک نوسان‌ساز نا-پایستار غیرخطی با میرایی است. بر طبق معادله دیفرانسیل مرتبه-دوم در زمان، تکامل می‌یابد:



که در آن x مختصات موقعیت است - که تابعی از زمان t است، و μ یک پارامتر اسکالر است که غیرخطی بودن و سختی میرایی را نشان می‌دهد.

 پیشینه 
نوسان‌ساز ون در پل در ابتدا توسط مهندس برق و فیزیکدان هلندی بالتازار ون در پل پیشنهاد شد در حالی که وی در فیلیپس کار می‌کرد.Cartwright, M.L. , "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc., 35, 367–376, (1960). ون در پل نوسانات پایداری پیدا کرد،B. van der Pol: "A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations", Radio Review (later Wireless World) 1 701–710 (1920) که بعداً آنها را نوسانات آرامشیVan der Pol, B. , "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978–992 (1926). نامید و اکنون به عنوان نوعی چرخه حدی در مدارهای الکتریکی با استفاده از لامپ خلأ شناخته می‌شوند. هنگامی که این مدارها به نزدیک چرخه حدی رانده می‌شوند، آنها در آن فرور می‌افتد، یعنی سیگنال محرک جریان را به همراه خود می‌کشد. ون در پل و همکار وی، ون در مارک، در نشریه ماه سپتامبر سال ۱۹۲۷ در نیچرVan der Pol, B. and Van der Mark, J. , “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363–364, (1927). که در برخی از فرکانس‌های راه‌اندازی یک نویز نامنظمی شنیده می‌شود که بعداً مشخص شد نتیجه آشوب تعینی است.Kanamaru, T. , "Van der Pol oscillator", Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).

معادله ون در پل از سابقه طولانی استفاده در علوم فیزیکی و زیست‌شناسی برخوردار است. به عنوان مثال، در زیست‌شناسی، فیتزهیوFitzHugh, R. , “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes”, Biophysics J, 1, 445–466, (1961). و ناگوموNagumo, J. , Arimoto, S. and Yoshizawa, S. "An active pulse transmission line simulating nerve axon",  Proc. IRE , 50, 2061–2070, (1962). معادله را در یک میدان مسطح به عنوان مدلی برای پتانسیل‌های کار نورون‌ها گسترش دادند. معادله نیز در زلزله‌شناسی برای مدل دو صفحه در یک گسل زمین‌شناسی،Cartwright, J. , Eguiluz, V. , Hernandez-Garcia, E. and Piro, O. , "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197–2202, (1999). و در مطالعات آواسازی برای مدل چپ و راست پرده صوتی نوسان‌گرها استفاده شده‌است.

 شکل دو-بعدی 
از قضیه لینارد می‌توان برای اثبات وجود چرخه حدی سیستم استفاده کرد. اعمال تبدیل لینارد  ، که در اینجا این نقطه مشتق زمان را نشان می‌دهد، نوسان‌ساز ون در پل را می‌توان به شکل دو بعدی آن نوشت:Kaplan, D. and Glass, L. , Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240–244, (1995).


  .

شکل دیگری که معمولاً بر اساس تبدیل  استفاده می‌شود منجر به:


  .

 نتایج برای نوسان‌ساز غیرتحریک‌شده 
چپ|بندانگشتی| نوسان‌ساز آرامشی در نوسان‌ساز ون در پل تحریک خارجی. پارامتر میرایی غیرخطی برابر با ۵ = μ است
دو رژیم جالب برای مشخصه‌های نوسان‌ساز غیرتحریک‌شده عبارتند از:Grimshaw, R. , Nonlinear ordinary differential equations, CRC Press, 153–163, (1993), .
 وقتی μ = ۰، یعنی هیچ تابع میرایی وجود ندارد، این معادله تبدیل می‌شود:



 این نوعی نوسان‌گر هارمونیک ساده است و همیشه پایستگی انرژی وجود دارد.
 وقتی μ > ۰ باشد، سیستم وارد یک چرخه حدی خواهد شد. نزدیک x = dx/dt = ۰، سیستم ناپایدار است و دور از مبدأ، سیستم میرایی دارد.
 نوسان‌ساز ون در پل یک جواب دقیق و تحلیلی ندارد.Panayotounakos, D. E. , Panayotounakou, N. D. , & Vakakis, A. F. (2003). On the lack of analytic solutions of the Van der Pol oscillator. ZAMM‐Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik: Applied Mathematics and Mechanics, 83(9), 611–615. اگر f(x) در معادله لینارد یک تابع ثابت قطعه‌ای باشد، چنین جوابی برای چرخه حدی وجود دارد.

 همیلتونی برای نوسان‌ساز ون در پل 
همچنین می‌توان صورت‌بندی همیلتونی مستقل از زمان را برای نوسان‌ساز ون در پل با افزودن آن به یک سیستم پویای خودگردان چهار-بعدی با استفاده از یک معادله دیفرانسیل غیرخطی کمکی مرتبه دوم به شرح زیر نوشت:




توجه داشته باشید که پویایی اصلی نوسان‌ساز ون در پل به دلیل تزویج یک-طرفه بین تحولات زمانی متغیرهای x و y تحت تأثیر قرار نمی‌گیرد. H همیلتونی برای این دستگاه معادلات می‌تواند نشان داده شود



در اینجا  و  به ترتیب نیروی حرکتی مزدوج مربوط به x و y هستند. در اصل، این ممکن است منجر به کوانتیزه شدن نوسان‌ساز ون در پل شود. چنین هامیلتونی همچنین فاز هندسی سیستم چرخه حدی دارای پارامترهای وابسته به زمان را با زاویه هانای سیستم همیلتونی متناظر متصل می‌کند.

 نوسان‌ساز ون در پل تحریک‌شده 
چپ|بندانگشتی| رفتار آشوبناک در نوسان‌ساز ون در پل با تحریک سینوسی. پارامتر میرایی غیرخطی برابر با ۸٫۵۳ = μ است، درحالی که تحریک دامنهٔ ۱٫۲ = A دارد و فرکانس زاویه‌ای ω = ۲π / ۱۰
اسیلاتور ون درپل تحریک‌شده یا رانده شده تابع «اصلی» را می‌گیرد و یک تابع محرک A sin(ωt) را برای معادله دیفرانسیل با شکل زیر را اضافه می‌کند:



که در آن A دامنه یا جابجایی تابع موج و ω سرعت زاویه‌ای آن است.

 فرهنگ عامه 
چپ|بندانگشتی| مدار الکتریکی شامل یک ترایود، و در نتیجه یک نوسان‌ساز ون در پل تحریک‌شده می‌شود.K. Tomita (1986): "Periodically forced nonlinear oscillators". In: Chaos, Ed. Arun V. Holden. Manchester University Press, , pp. 213–214. مدار شامل: یک ترایود، یک مقاومت R، یک خازن C، یک مجموعه سلف تزویج شده با خود القایی L و القای متقابل M است. در مدار آرال‌سی سری یک جریان i وجود دارد و به سمت آند ترایود ("پلت") یک جریان ia، در حالی که ولتاژ ug بر روی شبکه کنترل ترایود وجود دارد. نوسان‌ساز ون در پل توسط یک AC منبع ولتاژ Es تحریک شده است.
نویسنده جیمز گلیک در کتاب خود آشوب: ساخت یک علم جدید، درسال ۱۹۸۷ یک نوسان‌ساز ون در پل لامپی را توصیف کرد. طبق مقاله‌ای در نیویورک تایمز گلیک در سال ۱۹۸۸ نوسان‌ساز ون در پل الکترونیکی نوین را از یک خواننده دریافت کرد.

 منابع 

 پیوند به بیرون 



 نوسان‌ساز ون در پل در اسکالی‌پیدیا
 بازنمایی تعاملی نوسان‌ساز ون در پل 
رده:نوسان‌سازهای الکترونیکی
رده:معادلات دیفرانسیل معمولی
رده:اختراع‌های هلندی
رده:نگاشت‌های آشوبناک