علامت Q پوکهمر

در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، علامت q-پوکهامر (به انگلیسی: q-Pochhammer symbol)، که به آن q-فاکتوریل جابجا شده نیز می‌گویند، یک ق-آنالوگ از علامت پوکهامر است. این نماد یک بلوک اصلی در ساختار ق-آنالوگ‌ها به‌شمار می‌رود و در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات، از جمله نظریه سری‌های ابرهندسی، نظریه اعداد، و ترکیبیات نقش محوری دارد.
​این نماد به صورت زیر تعریف می‌شود:
​

​برای n=0، حاصل ضرب خالی تعریف می‌شود که برابر با 1 است:
​

​برخلاف علامت پوکهامر معمولی، علامت q-پوکهامر به یک حاصل‌ضرب نامتناهی نیز تعمیم داده می‌شود که کاربردهای گسترده‌ای دارد:
​

​این تابع، یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در صفحه مختلط) است و به عنوان یک سری توانی در نظر گرفته می‌شود. حالت خاص زیر، یک تابع مهم و کلیدی در ریاضیات است:
​

​این تابع به نام تابع اویلر شناخته می‌شود و در شاخه‌هایی مانند نظریه اعداد، ترکیبیات (به‌ویژه نظریه افراز) و نظریه فرم‌های مدولار کاربرد فراوان دارد.
​قضیه‌ها و اتحادها
​علامت q-پوکهامر دارای روابط و اتحادهای متعددی است که استفاده از آن را در شاخه‌های مختلف ریاضیات تسهیل می‌کند.
​اتصال حاصل‌ضرب متناهی و نامتناهی
​حاصل‌ضرب متناهی می‌تواند به صورت حاصل‌ضرب نامتناهی بیان شود که تعریف نماد را به اعداد صحیح منفی n نیز گسترش می‌دهد:
​

​بر اساس این رابطه، برای اعداد صحیح نامنفی n می‌توانیم داشته باشیم:
​

​و همچنین:
​

​روابط سری
​علامت q-پوکهامر بخشی اساسی از ق-سری‌ها است، به‌ویژه در بسط‌های سری نامتناهی زیر که در نظریه توابع مولد (Generating Functions) کاربرد دارند:
​

​و همچنین:
​

​این دو فرمول، حالت‌های خاصی از قضیه دو جمله‌ای q-گان (q-binomial theorem) هستند که یک تعمیم از قضیه دو جمله‌ای به شمار می‌رود:
​

​اتحاد زیر توسط فردریک کارپِلِویچ به دست آمد که در نظریه فرم‌های مدولار کاربرد دارد:
​

​منابع
​
​George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. .
​Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
​Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, , , 
​M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
​Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,,

​Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,,

​G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008,,.
​رده:نظریه اعداد
رده:Q-آنالوگ‌ها