معادله بلک-شولز

معادله بلک-شولز در ریاضیات مالی، یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) است که حاکی از تحول قیمت یک قرارداد اختیار خرید اروپایی یا قرارداد اختیار فروش اروپایی است که تحت مدل بلک-شولز قرار گرفته است. به‌طور گسترده‌تر، این اصطلاح ممکن است به پی‌دی‌ایی مشابهی اطلاق شود که می‌تواند برای اختیار معاملههای گوناگون یا به‌طور کلی ابزار مشتقه اخذ شود.
چپ|بندانگشتی| حرکت براونی هندسی شبیه‌سازی شده با پارامترهای داده‌های بازار
برای یک اختیار خرید یا اختیار فروش اروپایی سهام اصلی بدون پرداخت سود، معادله زیر است:



که V قیمت اختیار معامله به عنوان تابعی از قیمت سهام S و زمان t است، r نرخ بهره بدون ریسک است، و  نوسانات سهام است.

 سرچشمه پی‌دی‌ایی بلک-شولز 
مشتق‌گیری زیر در اختیار معامله‌های، قرارداد پیش خرید و فروش و سایر بازارها هال آورده شده است.  این به نوبه خود مبتنی بر استدلال کلاسیک در مقاله اصلی بلک-شولز است.

طبق فرضیات مدل فوق، قیمت دارایی زیربنایی (به‌طور معمول سهام) از یک حرکت براونی هندسی پیروی می‌کند. به این معنا که



در این‌جا W یک متغیر تصادفی است (حرکت براونی).

 حل پی‌دی‌ایی بلک-شولز 
هنگامی که پی‌دی‌ای بلک-شولز، با شرایط مرزی و پایانه‌ای، برای یک مشتق مشتق شود، پی‌دی‌ای را می‌توان با استفاده از روش‌های استاندارد تجزیه و تحلیل عددی،"A Fast, Stable and Accurate Numerical Method for the Black-Scholes Equation of American Options" International Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol. 11, No. 5, pp. 471-501, 2008, April 20, 2010 مانند نوعی از روش تفاضل محدود حل کرد.Finite Difference Schemes that Achieve Dynamical Consistency for Population Models Thirteenth Virginia L. Chatelain Memorial Lecture presented by Talitha Washington at Kansas State University on November 9, 2017 در موارد خاص، حل یک فرمول دقیق، مثلاً در مورد یک قرارداد خرید اروپایی، که توسط بلک و شولز انجام شده است، ممکن است.

 منابع 

رده:ریاضیات مالی
رده:مدل‌های مالی
رده:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی