مساحت دایره

در هندسه، مساحت دایره (یا دقیق‌تر، مساحت قرص دایره) نشان‌دهنده میزان فضایی است که داخل یک دایره اشغال شده است. این مساحت با استفاده از شعاع دایره و عدد π که نسبت محیط دایره به قطر آن است، محاسبه می‌شود:

در این رابطه، \(r\) شعاع و \(C\) محیط دایره است. دایره بیشترین مساحت را برای یک محیط ثابت دارد.

> **نکته:** عدد π یک عدد گنگ است و بنابراین محاسبه دقیق مساحت به صورت عددی همیشه تقریب است.

---

 اثبات‌ها 

 روش افنا 

با تقسیم دایره به چندین قطاع مساوی و چیدن آن‌ها به شکل متناوب، شکل حاصل به یک متوازی‌الأضلاع نزدیک می‌شود:

150px|بی‌قاب|وسط
250px|بی‌قاب|وسط
250px|بی‌قاب|وسط

ارتفاع متوازی‌الأضلاع برابر \(r\) و ضلع بزرگ آن نصف محیط دایره است: . بنابراین مساحت دایره:

همچنین با استفاده از مختصات قطبی:

---

 روش پیازی 
بندانگشتی

تقسیم دایره به حلقه‌های نازک (پیازی) و جمع مساحت‌ها:

---

 روش مثلثی 
بندانگشتی|دایره باز می‌شود تا مثلث تشکیل دهد.
بندانگشتی|مساحت مثلث و دایره برابر است.

با باز کردن نوارهای متحدالمرکز دایره، یک مثلث قائم‌الزاویه با ارتفاع \(r\) و قاعده \(2 \pi r\) ایجاد می‌شود:

دو زاویه مثلث به درجه: 9.0430611... و 80.956939... و به رادیان: 0.1578311... و 1.4129651... .

با استفاده از انتگرال دوگانه روی ناحیه دایره:

---

 روش نیم‌دایره 
با تقسیم دایره به نیم‌دایره‌ها و بازآرایی آن‌ها به شکل مستطیل، به آسانی می‌توان نشان داد که مساحت برابر  است. این روش دید بصری و شهودی برای درک مساحت دایره ارائه می‌دهد.

---

 ویژگی‌ها و کاربردها 
 دایره بیشترین مساحت را برای محیط ثابت دارد (اصل ایزوفورمیک).  
 پایه‌ای برای محاسبه حجم کره، مخروط و استوانه.  
 کاربرد در مهندسی، معماری، فیزیک، نجوم و آمار.  
 استفاده از سری‌های π و انتگرال‌های قطبی برای تقریب مساحت.  

---

 منابع 

 Wolfram MathWorld, 2003

رده:دایره‌ها
رده:مساحت