تغییر متغیر اویلر

تغییر متغیر اویلر یک روش برای یافتن حاصل انتگرال‌های به فرم زیر است:



که در آن  یک تابع گویا از  و  است. در چنین مواردی انتگرال را می‌توان با تغییر متغیر اویلر به دست آورد.N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.

 اولین تغییر متغیر اویلر 
اولین قانون تغییر متغیر اویلر هنگامی استفاده می‌شود که  . در این تغییر متغیر از طریق برابری  به دست می‌آید:  و  هم همچون  بر حسب  قابل بیان است.

در این تغییر متغیر انتخاب علامت مثبت یا منفی می‌تواند انتخاب شود.

 دومین تغییر متغیر اویلر 
اگر  باشد ما چنین برابری‌ای را حل می‌کنیم: 
و  چنین به دست خواهد آمد: 
مشابه مورد بالا  نیز برحسب  به دست خواهد آمد.

 سومین تغییر متغیر اویلر 
اگر چندجمله‌ای  دارای ریشه های حقیقی  و  باشد می‌توان با معادله‌ی زیر،   و  را بر حسب  به دست آورد.

که نتیجه خواهد داد:

 مثال‌ها 

 نمونه‌هایی برای اولین تغییر متغیر اویلر 

 یک 
در انتگرال   ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری  حاصل زیر را داشته باشیم:

بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:

به ازای ، چنین فرمول‌هایی به دست می‌آید.

 دو 
برای پیدا کردن پاسخ   طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت:  و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت: ؛

ها حذف خواهند شد و در پایان  برابر با  خواهد شد. را با مشتق گرفتن از دو سمت معادله‌ی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست می‌آوریم:

 است و   پس

 منابع 

رده:حساب انتگرال
رده:ویکی‌سازی رباتیک