بعد همبستگی

در نظریهٔ آشوب بعد همبستگی (با V نشان داده شده‌است) اندازه‌گیری ابعاد فضای اشغال شده توسط مجموعه‌ای از نقاط تصادفی می‌باشد.Peter Grassberger and Itamar Procaccia (1983). "Measuring the Strangeness of Strange Attractors". Physica D: Nonlinear Phenomena. 9 (1‒2): 189‒208. Bibcode:1983PhyD....9..189G. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1Peter Grassberger and Itamar Procaccia (1983). "Characterization of Strange Attractors". Physical Review Letters. 50 (5): 346‒349. Bibcode:1983PhRvL..50..346G. doi:10.1103/PhysRevLett.50.346Peter Grassberger (1983). "Generalized Dimensions of Strange Attractors". Physics Letters A. 97 (6): 227‒230. Bibcode:1983PhLA...97..227G. doi:10.1016/0375-9601(83)90753-3

برای مثال، اگر مجموعه‌ای از نقاط تصادفی حقیقی بین ۰ و ۱ داشته باشیم، بعد همبستگی ν = ۱ است و اگر یک مثلث در فضای سه بعدی جاسازی شده باشد بعد همبستگی ν = ۲ می‌شود. استفادهٔ اصلی بعد همبستگی در داده‌ها با مقیاس کوچک می‌باشد. مزیت بعد همبستگی این است که به سرعت و مستفیم محاسبه می شودو زمانی که تعداد کمی از نقاط در دسترس باشد نویز کمتری دارد.

برای N نقطه در فضای M بعدی:

Ẕ(i)=[z1(i),z2(i),…,zm(i)] i=۱٬۲,…N

سپس انتگرال همبستگی C(ε) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

C(ε)=lim g/N² (N→∞)

که g تعداد کل جفت نقاطی می‌باشد که فاصله بین آنها کمتر از εاست. همان‌طور که تعداد نقاط به بی‌نهایت تمایل پیدا می‌کند و فاصله بین آنها به صفر می‌رسد، انتگرال همبستگی، برای مقادیر کوچک ε، به صورت زیر می‌شود:

C(ε)~(ε)^v

اگر تعداد نقاط به اندازه کافی بزرگ باشد و نقاط به‌طور مساوی توزیع شوند، محاسبهٔ log-log از انتگرال همبستگی برحسب ε، یک تخمین از ν را بدست می‌آورد. این تکنیک توسط Grassberger و Procaccia در سال ۱۹۸۳ معرفی گردید. این تکنیک می‌تواند برای تمایز بین رفتار آشوبناک و رفتار تصادفی استفاده شود.DeCoster, Gregory P. ; Mitchell, Douglas W. (1991). "The efficacy of the correlation dimension technique in detecting determinism in small samples". Journal of Statistical Computation and Simulation. 39: 221–229. doi:10.1080/00949659108811357

 منابع 

رده:نظریه آشوب
رده:سامانه‌های دینامیکی
رده:نظریه بعد
رده:برخال‌ها