حدس پوانکاره

در علم ریاضی و در شاخهٔ توپولوژی هندسی، حدس پوانکاره (, , ) یک قضیه دربارهٔ مشخص‌سازی ۳-کره است، که همان ۴-کره‌ای است که گوی یکه را در فضای چهاربعدی محصور می‌کند.

این قضیه نخستین بار توسط آنری پوانکاره در سال ۱۹۰۴ حدس زده شد و به فضاهایی می‌پردازد که به‌صورت موضعی همانند فضای سه‌بعدی معمولی هستند، اما گسترهٔ محدودی دارند. پوانکاره فرض کرد اگر چنین فضایی ویژگی اضافی داشته باشد که هر حلقه‌ای در آن بتواند به‌طور پیوسته به یک نقطه جمع شود، آنگاه الزاماً یک کرهٔ سه‌بعدی است. تلاش‌ها برای حل این حدس، پیشرفت‌های بسیاری را در شاخهٔ توپولوژی هندسی در سدهٔ بیستم به‌دنبال داشت.

برهان نهایی بر پایهٔ برنامهٔ ریچارد اس. همیلتون و با استفاده از شار ریچی برای حل مسئله ساخته شد. گریگوری پرلمان با توسعهٔ چندین روش و نتیجهٔ تازه در نظریهٔ شار ریچی توانست برنامهٔ همیلتون را اصلاح و تکمیل کند. او در مقالاتی که در سال‌های ۲۰۰۲ و ۲۰۰۳ در آرکایو منتشر کرد، کار خود را برای اثبات حدس پوانکاره (و حدس هندسی‌سازیٔ قدرتمندتر ویلیام ثرستن) ارائه داد. در چند سال بعد، چندین ریاضی‌دان به بررسی مقالات او پرداختند و صورت‌بندی‌های دقیقی از کارش ارائه کردند.

کارهای همیلتون و پرلمان روی این حدس، به‌طور گسترده به‌عنوان نقطهٔ عطفی در پژوهش‌های ریاضی شناخته می‌شود. همیلتون در سال ۲۰۱۱ جایزه شاو و در سال ۲۰۰۹ جایزه لروی استیل را دریافت کرد. نشریهٔ ساینس در سال ۲۰۰۶ اثبات پرلمان از حدس پوانکاره را به‌عنوان دستاورد علمی سال معرفی کرد. مؤسسه ریاضیات کلی، که حدس پوانکاره را در فهرست مشهور مسائل جایزه هزاره قرار داده بود، در سال ۲۰۱۰ جایزهٔ یک میلیون دلاری خود را برای حل این حدس به پرلمان پیشنهاد داد. او این جایزه را نپذیرفت و گفت سهم همیلتون در این کار برابر با سهم خودش بوده است.Google Translated archived link at  (archived 2014-04-20)

 نمای کلی 
حدس پوانکاره یک مسئلهٔ ریاضی در حوزهٔ توپولوژی هندسی بود. از منظر واژگان این حوزه، چنین بیان می‌شود:

اشکال آشنا، مانند سطح یک توپ (که در ریاضیات به آن کرهٔ دو بعدی گفته می‌شود) یا یک چنبره، دو بعدی هستند. سطح یک توپ دارای گروه بنیادی ساده است، به این معنا که هر حلقه‌ای که روی سطح رسم شود می‌تواند به‌طور پیوسته به یک نقطه تغییر شکل یابد. در مقابل، سطح یک چنبره دارای گروه بنیادی غیرساده است، زیرا حلقه‌هایی روی سطح وجود دارند که نمی‌توانند به این شکل تغییر شکل یابند. هر دو، منیفلد توپولوژیکی هستند که بسته‌اند (یعنی مرز ندارند و یک ناحیهٔ محدود از فضا را اشغال می‌کنند) و همبند هستند (یعنی از یک بخش واحد تشکیل شده‌اند). گفته می‌شود دو منیفلد بسته هومئومورفیک هستند وقتی امکان تخصیص پیوستهٔ نقاط یکی به دیگری وجود داشته باشد. از آنجا که (غیر) ساده بودن گروه بنیادی تحت هومئومورفیسم تغییر نمی‌کند، نتیجه می‌گیریم که کرهٔ دو بعدی و چنبره هومئومورفیک نیستند.

معادل دو بعدی حدس پوانکاره بیان می‌کند که هر منیفلد توپولوژیکی دو بعدی که بسته و همبند باشد، اما هومئومورفیک با کرهٔ دو بعدی نباشد، باید دارای حلقه‌ای باشد که نتوان آن را به‌طور پیوسته به یک نقطه تغییر شکل داد. (این موضوع با مثال چنبره، همان‌طور که پیش‌تر ذکر شد، نشان داده می‌شود) این معادل با استفاده از طبقه‌بندی منیفلد توپولوژیکی‌های دو بعدی بسته و همبند، که از دههٔ ۱۸۶۰ در اشکال مختلف درک شده بود، صحیح شناخته می‌شود. در ابعاد بالاتر، منیفلد توپولوژیکی‌های بسته و همبند طبقه‌بندی ساده‌ای ندارند، که حل آسان حدس پوانکاره را غیرممکن می‌سازد.

 منابع 

 Poincaré, Henri, Papers on topology. Analysis situs and its five supplements. Translated and with an introduction by John Stillwell. History of Mathematics, 37. American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, London, 2010. xx+228 pp. 

 Milnor, John, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of Math. (2) 64 (1956), 399–405.
 Smale, Stephen, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 1961 391–406.
 Freedman, Michael, The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 3, 357–453.
 Perelman, Grigori (2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159.
 Perelman, Grigori (2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109.
 Perelman, Grigori (2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245.
 Milnor, John (2004). "The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report".

رده:۳-منیفلدها
رده:توپولوژی دیفرانسیل
رده:توپولوژی هندسی
رده:توپولوژی
رده:حدس‌هایی که اثبات شده‌اند
رده:قضیه‌ها در توپولوژی
رده:مسائل هزاره
رده:معرفی‌شده‌های ۱۹۰۴ (میلادی)
رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر
رده:منیفلدها
رده:ویکی‌سازی رباتیک
رده:هندسه دیفرانسیل