نقطه حدی

در ریاضیات، نقطهٔ انباشتگی یا نقطهٔ حدیِ مجموعهٔ S در فضای توپولوژیک X، نقطه‌ای مانند x (درون فضای X و نه لزوماً مجموعهٔ S) است که هر همسایگی آن، شامل نقطه‌ای از S غیر از x باشد یا S را در نقطه‌ای بجز x قطع کند. توجه شود که در این تعریف همسایگی دلخواه نقطه حدی باید محذوف باشد (یعنی شامل خود نقطه x نباشد) همچنین نقطه حدی می‌تواند عضو مجموعه S باشد یا نباشد و این موضوع در تعریف مذکور تأثیری ندارد. مجموعهٔ نقاط حدی S را با 'S نشان می‌دهیم و به آن مجموعهٔ مشتق S می‌گوییم.

نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد.
400px|بندانگشتی|چپ|نگاره نقاط دنباله  از اعداد گویا را نشان می‌دهد. ۱ و ۱- نقاط حدی آن هستند.

 مثال‌ها 
250px|بندانگشتی|چپ|نگاره اعداد گویای مثبت را نشان می‌دهد. بنابر قضیه چگالی، هر نقطه در مجموعه اعداد حقیقی یک نقطه حدی مجموعه اعداد گویا است.
 با در نظر گرفتن خط حقیقی ، اگر  آنگاه نقطهٔ ۰ یک نقطهٔ حدی A است. همچنین  نیز نقطه حدی دیگر آن است. در واقع هر نقطهٔ بازهٔ  یک نقطه حدی A است؛ ولی هیچ عضو دیگر  نقطه حدی A نیست.
 یک مجموعه متناهی دارای نقطه حدی نیست.
 مجموعه نامتناهی  (مجموعه اعداد طبیعی) نقطه حدی ندارد.
 تنها نقطه حدی مجموعهٔ  نقطهٔ ۰ است. هیچ‌یک از نقاط دیگر A نقطهٔ حدی آن نیست.

 قضیه‌ها 
 فرض کنید  یک فضای متریک باشد،  و  آن‌گاه احکام زیر معادلند:
 p یک نقطه حدی A است.
 هر همسایگی p شامل تعدادی نامتناهی نقطه از A است.
 دنباله‌ای مانند (xn) از نقاط A وجود دارد که همواره  ولی .

 دانستنی‌ها 
 نقطهٔ p در فضای متری X را یک نقطهٔ تراکم مجموعهٔ  نامند هرگاه هر همسایگی p تعداد شمارش ناپذیری نقطه از E را داشته باشد. نقطه تراکم نوع خاصی از نقطه حدی است.
 هرگاه  و p نقطهٔ حدی S نباشد، آنگاه p یک نقطهٔ تنهای S نام دارد.
 S بسته است هرگاه هر نقطهٔ حدی S یک نقطه از S باشد.
 S کامل است هرگاه S بسته و هر نقطهٔ آن یک نقطه حدی آن باشد.

 پانویس 

 منابع 





رده:توپولوژی عمومی
رده:توپولوژی