مشخصه اویلر

مشخصه اویلر یا مشخصه اویلر-پوانکاره، در ریاضیات و به‌ویژه در توپولوژی جبری و ترکیب‌شناسی چندوجهیها، یک ناوردای توپولوژیکی بوده و عددی است که شکل فضای توپولوژیک را صرف‌نظر از چگونگی خم‌شدن آن توصیف می‌کند. این پارامتر، معمولاً با  (حرف یونانی خی) نمایش داده می‌شود.

مشخصهٔ اویلر، در آغاز برای چندوجهی‌ها تعریف شده و برای اثبات قضیه‌های مختلفی در مورد چندوجهی‌ها و تقسیم‌بندی اجسام افلاطونی به کار رفت. لئونارد اویلر که این پارامتر به نام اوست، عمدهٔ این کارهای اولیه را انجام داد. بعدها در ریاضیات مدرن، این مفهوم در همولوژی کاربرد پیدا کرد.

 چندوجهی‌ها 
مشخصه اویلر  ابتدا برای چندوجهی‌ها به‌صورت زیر تعریف شد:

که V, E و F به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند. مشخصهٔ اویلر برای هر چندوجهی کوژ به‌صورت زیر است:

این نتیجه با عنوان فرمول چندوجهی اویلر یا قضیهٔ چندوجهی اویلر شناخته می‌شود. بررسی این رابطه در مورد چندوجهی‌های مختلف در جدول زیر نشان داده شده‌است:

NameImageرأس‌هاVاضلاعEوجه‌هاFمشخصهٔ اویلر:V − E + Fچهاروجهی50px۴۶۴۲ مکعب50px۸۱۲۶۲هشت‌وجهی50px۶۱۲۸۲دوازده‌وجهی50px۲۰۳۰۱۲۲بیست‌وجهی50px۱۲۳۰۲۰۲

سطح چندوجهی‌های غیرکوژ، می‌تواند مشخصه‌های اویلر متفاوتی داشته باشد:
Imageرأس‌هاVاضلاعEوجه‌هاFمشخصهٔ اویلر:V − E + F100px۶۱۲۷۱100px۱۲۲۴۱۲۰100px۱۲۲۴۱۰−۲100px۱۲۳۰۲۰۲

 مثال 
مشخصه اویلر می‌تواند برای سطوح عمومی به آسانی و با چندضلعی‌کردن سطوح و استفاده از تعریف بالا محاسبه شود:

NameImageEuler characteristicبازه100px۱دایره100px۰قرص100px۱کره100px۲چنبره100px۰چنبره دوتایی100px۲-چنبره سه‌تایی100px۴-نوار موبیوس100px۰بطری کلاین100px۰دو کره100px100px۴=۲+۲سه کره100px100px100px۶=۲+۲+۲

 توپ فوتبال 
معمولاً ساخت توپ‌های فوتبال از طریق دوخت قطعات پنج ضلعی و شش ضلعی، با رسیدن سه قطعه به هم در هر رأس صورت می‌گیرد. اگر از P پنج ضلعی و H شش ضلعی استفاده شود، F = P + H وجه، V = (5 P + 6 H) / ۳ رأس و E = (5 P + 6 H) / ۲ ضلع وجود دارد پس مشخصه اویلر برابر با  است.

از آنجا که کره دارای مشخصه اویلر ۲ است، از این رو P = ۱۲ نتیجه می‌شود؛ یعنی یک توپ فوتبال که به این روش ساخته می‌شود، همیشه دارای ۱۲ پنج ضلعی است. در اصل، تعداد شش ضلعی‌ها محدود نیست. این نتیجه در مورد فولرن‌ها و چندوجهی‌های گلدبرگ قابل استفاده است.ویکی‌پدیا انگلیسی

 جستارهای وابسته 
 یادواره‌های لئونارد اویلر

 پانویس 

رده:توپولوژی جبری
رده:لئونارد اویلر
رده:نظریه گراف توپولوژیکی