چندضلعی منتظم

مجموعه n-ضلعی‌های منتظم کوژ60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px60px
چندضلعی‌های منتظمضلع و رأسn نماد{n}گروه تقارنDn, order 2nچندضلعی همزادخود همزادمساحت(با a=طول ضلع)زاویه داخلیمجموع زوایای داخلیویژگی‌هاکوژ، سیکلیک، متساوی‌الاضلاع، Isogonal، Isotoxal
در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

 ویژگی‌ها 
ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است. 

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

 چندضلعی‌های منتظم 
همهٔ چندضلعی‌های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی‌های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می‌شود.

80pxمثلثمتساوی‌الاضلاع{۳}80pxمربع{۴}80pxپنج‌ضلعی{۵}80pxشش‌ضلعی{۶}80pxهفت‌ضلعی{۷}80pxهشت‌ضلعی{۸}80pxنه‌ضلعی{۹}80pxده‌ضلعی{۱۰}80pxیازده‌ضلعی{۱۱}80pxدوازده‌ضلعی{۱۲}80pxسیزده‌ضلعی{۱۳}80pxچهارده‌ضلعی{۱۴}80pxپانزده‌ضلعی{۱۵}80pxشانزده‌ضلعی{۱۶}80pxهفده‌ضلعی{۱۷}80pxهجده‌ضلعی{۱۸}80pxنوزده‌ضلعی{۱۹}80pxبیست‌ضلعی{۲۰}80pxسی‌ضلعی{۳۰}80pxچهل‌ضلعی{۴۰}80pxپنجاه‌ضلعی{۵۰}80pxشصت‌ضلعی{۶۰}80pxهفتادضلعی{۷۰}80pxهشتادضلعی{۸۰}80pxنودضلعی{۹۰}80pxصدضلعی{۱۰۰}

 زاویه‌ها 
برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:
   یا    درجه
یا  رادیان

و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با  درجه.

 قطرها 
برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با ، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

 مساحت 
بندانگشتی|چپ|پنج‌ضلعی منتظم با طول ضلع s، شعاع دایره محیطی R و شعاع دایره محاطی a
مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:

(زوایا برحسب رادیان است.)

که در آن R برابر است با:

مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده‌است:

 تعداد اضلاع نام چندضلعی مساحت با طول ضلع ۱ مساحت با شعاع دایره محیطی ۱ مساحت با شعاع دایره محاطی ۱دقیقتقریبیدقیقتقریبیتقریبی به‌صورت کسری از دایرهدقیقتقریبیتقریبی به‌صورت کسری از دایرهn n-ضلعی منتظم             ۳مثلث متساوی‌الاضلاع    ۰٫۴۳۳۰۱۲۷۰۲    ۱٫۲۹۹۰۳۸۱۰۵  ۰٫۴۱۳۴۹۶۶۷۱۴    ۵٫۱۹۶۱۵۲۴۲۴  ۱٫۶۵۳۹۸۶۶۸۶۴مربع  ۱  ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰  ۲  ۲٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰  ۰٫۶۳۶۶۱۹۷۷۲۲  ۴  ۴٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰  ۱٫۲۷۳۲۳۹۵۴۴۵ پنج‌ضلعی منتظم    ۱٫۷۲۰۴۷۷۴۰۱    ۲٫۳۷۷۶۴۱۲۹۱  ۰٫۷۵۶۸۲۶۷۲۸۸    ۳٫۶۳۲۷۱۲۶۴۰  ۱٫۱۵۶۳۲۸۳۴۷۶ شش‌ضلعی منتظم    ۲٫۵۹۸۰۷۶۲۱۱    ۲٫۵۹۸۰۷۶۲۱۱  ۰٫۸۲۶۹۹۳۳۴۲۸    ۳٫۴۶۴۱۰۱۶۱۶  ۱٫۱۰۲۶۵۷۷۹۱۷هفت‌ضلعی منتظم   ۳٫۶۳۳۹۱۲۴۴۴   ۲٫۷۳۶۴۱۰۱۸۹  ۰٫۸۷۱۰۲۶۴۱۵۷   ۳٫۳۷۱۰۲۲۳۳۳  ۱٫۰۷۳۰۲۹۷۳۵۸هشت‌ضلعی منتظم    ۴٫۸۲۸۴۲۷۱۲۵    ۲٫۸۲۸۴۲۷۱۲۵  ۰٫۹۰۰۳۱۶۳۱۶۰    ۳٫۳۱۳۷۰۸۵۰۰  ۱٫۰۵۴۷۸۶۱۷۵۹نه‌ضلعی منتظم   ۶٫۱۸۱۸۲۴۱۹۴   ۲٫۸۹۲۵۴۴۲۴۴  ۰٫۹۲۰۷۲۵۴۲۹۰   ۳٫۲۷۵۷۳۲۱۰۹  ۱٫۰۴۲۶۹۷۹۱۴۱۰ده‌ضلعی منتظم   ۷٫۶۹۴۲۰۸۸۴۳    ۲٫۹۳۸۹۲۶۲۶۲  ۰٫۹۳۵۴۸۹۲۸۴۰    ۳٫۲۴۹۱۹۶۹۶۳  ۱٫۰۳۴۲۵۱۵۱۵۱۱یازده‌ضلعی منتظم   ۹٫۳۶۵۶۳۹۹۰۷   ۲٫۹۷۳۵۲۴۴۹۶  ۰٫۹۴۶۵۰۲۲۴۴۰   ۳٫۲۲۹۸۹۱۴۲۳  ۱٫۰۲۸۱۰۶۳۷۱۱۲ دوازده‌ضلعی منتظم    ۱۱٫۱۹۶۱۵۲۴۲  ۳  ۳٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰  ۰٫۹۵۴۹۲۹۶۵۸۶    ۳٫۲۱۵۳۹۰۳۰۹  ۱٫۰۲۳۴۹۰۵۲۳۱۳ سیزده‌ضلعی منتظم   ۱۳٫۱۸۵۷۶۸۳۳   ۳٫۰۲۰۷۰۰۶۱۷  ۰٫۹۶۱۵۱۸۸۶۹۴   ۳٫۲۰۴۲۱۲۲۲۰  ۱٫۰۱۹۹۳۲۴۲۷۱۴چهارده‌ضلعی منتظم   ۱۵٫۳۳۴۵۰۱۹۴   ۳٫۰۳۷۱۸۶۱۷۵  ۰٫۹۶۶۷۶۶۳۸۵۹   ۳٫۱۹۵۴۰۸۶۴۲  ۱٫۰۱۷۱۳۰۱۶۱۱۵پانزده‌ضلعی منتظم   ۱۷٫۶۴۲۳۶۲۹۱   ۳٫۰۵۰۵۲۴۸۲۲  ۰٫۹۷۱۰۱۲۲۰۸۸   ۳٫۱۸۸۳۴۸۴۲۶  ۱٫۰۱۴۸۸۲۸۲۴۱۶شانزده‌ضلعی منتظم    ۲۰٫۱۰۹۳۵۷۹۷    ۳٫۰۶۱۴۶۷۴۶۰  ۰٫۹۷۴۴۹۵۳۵۸۴    ۳٫۱۸۲۵۹۷۸۷۸  ۱٫۰۱۳۰۵۲۳۶۸۱۷ هفده‌ضلعی منتظم   ۲۲٫۷۳۵۴۹۱۹۰   ۳٫۰۷۰۵۵۴۱۶۳  ۰٫۹۷۷۳۸۷۷۴۵۶   ۳٫۱۷۷۸۵۰۷۵۲  ۱٫۰۱۱۵۴۱۳۱۱۱۸ هجده‌ضلعی منتظم   ۲۵٫۵۲۰۷۶۸۱۹   ۳٫۰۷۸۱۸۱۲۹۰  ۰٫۹۷۹۸۱۵۵۳۶۱   ۳٫۱۷۳۸۸۵۶۵۳  ۱٫۰۱۰۲۷۹۱۸۱۱۹ نوزده‌ضلعی منتظم   ۲۸٫۴۶۵۱۸۹۴۳   ۳٫۰۸۴۶۴۴۹۵۸  ۰٫۹۸۱۸۷۲۹۸۵۴   ۳٫۱۷۰۵۳۹۲۳۸  ۱٫۰۰۹۲۱۳۹۸۴۲۰ بیست‌ضلعی منتظم    ۳۱٫۵۶۸۷۵۷۵۷    ۳٫۰۹۰۱۶۹۹۴۴  ۰٫۹۸۳۶۳۱۶۴۳۰    ۳٫۱۶۷۶۸۸۸۰۶  ۱٫۰۰۸۳۰۶۶۶۳۱۰۰صدضلعی منتظم   ۷۹۵٫۵۱۲۸۹۸۸   ۳٫۱۳۹۵۲۵۹۷۷  ۰٫۹۹۹۳۴۲۱۵۶۵   ۳٫۱۴۲۶۲۶۶۰۵  ۱٫۰۰۰۳۲۹۱۱۷۱۰۰۰هزارضلعی منتظم   ۷۹۵۷۷٫۲۰۹۷۵   ۳٫۱۴۱۵۷۱۹۸۳  ۰٫۹۹۹۹۹۳۴۲۰۰   ۳٫۱۴۱۶۰۲۹۸۹  ۱٫۰۰۰۰۰۳۲۹۰۱۰۰۰۰ده‌هزارضلعی منتظم   ۷۹۵۷۷۴۶٫۸۹۳   ۳٫۱۴۱۵۹۲۴۴۸  ۰٫۹۹۹۹۹۹۹۳۴۵   ۳٫۱۴۱۵۹۲۷۵۷  ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۳۳۱٬۰۰۰٬۰۰۰میلیون‌ضلعی منتظم      ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۴  ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰   ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۴  ۱٫۰۰۰۰۰۰۰۰۰

در بین همهٔ n-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به n-ضلعی منتظم است.Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

 چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای 
بندانگشتی|150px|چپ|یک ستاره پنج‌پر {5/2}
یک چندضلعی منتظم غیرکوژ، یک چندضلعی منتظم ستاره‌ای است. متداول‌ترین نمونه، ستاره پنج‌پر است که رأس‌های آن دقیقاً مشابه پنج‌ضلعی منتظم هستند، ولی هر رأس به دو رأس متفاوت با پنج‌ضلعی متصل شده است.

 جستارهای وابسته 
 چندضلعی متساوی‌الاضلاع

 منابع 

رده:انواع چندضلعی‌ها
رده:چندضلعی‌ها