چندضلعی ستاره‌ای

+ مجموعه چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای80px{۵/۲}80px{۷/۲}80px{۷/۳}80px{۸/۳}80px{۹/۲}80px{۹/۴}80px{۱۰/۳}... نماد اشلفلیgcd(p,q)=۱{p/q} رأس‌ها و اضلاعp چگالیq گروه تقارندوسطحی (Dp) چندضلعی همزادخودهمزاد اندازه زاویه داخلی(درجه)
یک چندضلعی ستاره‌ای منظم، یک چندضلعی منتظم غیرمحدب است. در ریاضیات، تنها چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و چندضلعی‌های ستاره‌ای عمومی (غیرمنتظم)، به‌صورت رسمی تعریف نشده‌اند.

در هندسه، یک چندضلعی ستاره‌ای منتظم، چندضلعی است که اضلاع آن یکدیگر را قطع می‌کنند، اندازه اضلاع و زوایای داخلی آن برابر بوده و با اتصال یک رأس یک چندضلعی p-وجهی منتظم ساده به یک رأس غیرمجاور و ادامه‌دادن این روند تا رسیدن دوباره به همان رأس ایجاد می‌شود. 
در یک چندضلعی ستاره‌ای، هر ضلع آن تنها دو ضلع دیگر را قطع می‌کند.
برای اعداد صحیح p و q، این چندضلعی می‌تواند با اتصال هر نقطهٔ qام از p نقطه که به فاصله یکسان بر روی یک دایره قرار گرفته‌اند، ایجاد شود. نماد چنین چندضلعی {p/q} بوده که معادل {p/p-q} است. چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم زمانی ایجاد خواهند شد که p و q متباین باشند.

600px

 محیط و مساحت 
مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:
بندانگشتی|five-pointed regular star area

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.

 پانویس 

رده:چندضلعی‌ها
رده:نمادهای ستاره