قضیه نیمسازهای داخلی مستطیل و تشکیل مربع

برخورد نیمسازهای داخلی هر مستطیل و تشکیل مربع قضیه‌ای است در هندسه که می‌گوید شکل ایجاد شده از تقاطع نیمسازهای زاویه‌های داخلی هر مستطیل یک مربع است.

مرحله اول:
 AY نیمساز زاویه A است و زاویه A قائمه است پس A1 برابر ۴۵ درجه است.
 DW نیمساز زاویه D است و زاویه D قائمه است پس D1 برابر ۴۵ درجه است.
در نتیجه مثلث AZD متساوی الساقین است و در زاویه Z قائمه می‌باشد.
درنتیجه: زاویه Z1 = زاویه Z2 برابر ۹۰ درجه و AZ=DZ (رابطه ۱)

مرحله دوم:
با استدلالی مشابه مرحله اول نتیجه می‌شود مثلث BXC و متساوی الساقین است و در زاویه X قائمه می‌باشد.
درنتیجه: زاویه X1 = زاویه X2 برابر ۹۰ درجه و BX=CX (رابطه ۲)

با توجه به روابط ۱ و ۲ و مستطیل بودن ABCD نتیجه می‌شود که دو مثلث ADZ و BXC همنهشت هستند. بنابراین DZ=CX

با استدلالی مشابه مرحله ۱ نتیجه می‌شود که مثلث CWD نیز متساوی الساقین است و قائم الزاویه است. یعنی: زاویه W=۹۰ و DW=CW (رابطه ۳)

مرحله سوم:
از روابط ۱ و ۲ و ۳ نتیجه می‌گیریم WXYZ مستطیل است. با توجه به رابطه‌های ۲ و ۳ می‌توان گفت:

DW-DZ=CW-CX یا WZ=WX (رابطه ۴)

رابطه ۴ نشان می‌دهد که طول و عرض مستطیل WXYZ با هم برابر است پس WXYZ یک مربع است. در نتیجه شکل ایجاد شده از تقاطع نیمساز زاویه‌های داخلی هر مستطیل یک مربع است.

 منابع 
 هندسه دوره آموزش متوسطه› متوسطه نظری› ریاضی فیزیک› سال سوم، صفحه ۱۱ و ۱۲

رده:قضایای هندسه مسطحه
رده:قضیه‌های ریاضی