مشتق کل

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

مشتق کل یک تابع  با چندین متغیر، برای نمونه ، ،  و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند  با مشتق پاره‌ای آن () نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع  نسبت به ، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که  تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به  وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع  نسبت به  باشد. برای مثال، مشتق کل  نسبت به  به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

که به‌صورت زیر ساده می‌شود:

با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل :

نتیجه، تغییر جزئی  در مقدار تابع  خواهد بود. با توجه به اینکه تابع  به متغیر  وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از مشتق پاره‌ای  نسبت به  خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع  نسبت به متغیرهای  و  خواهد بود.

مشتق کل می‌تواند به یک عملگر دیفرانسیلی مانند عملگر زیر اشاره کند:

که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به ) محاسبه می‌کند.
 مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل  یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن فرم‌های دیفرانسیلی اشاره کند.

یک دیفرانسیل به فرم

مشتق کل یا مشتق دقیق نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و مشتق خارجی تعبیر شود.

 مشتق کل به‌عنوان نام دیگر مشتق به عنوان یک نگاشت خطی به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر  یک تابع مشتق‌پذیر از  به  باشد، سپس مشتق کل  در ، یک نگاشت خطی از  به  خواهد بود که ماتریس آن، ماتریس ژاکوبی  در  است.

 مشتق کل به‌عنوان مترادف گرادیان که مشتق یک تابع از  به  است، به‌کار می‌رود.

 مشتق کل، گاهی اوقات به‌عنوان مترادف مشتق مادی () در مکانیک شاره‌ها به‌کار می‌رود.

 پانویس 

رده:آنالیز ریاضی
رده:حساب دیفرانسیل
رده:حسابان چندمتغیره
رده:عملگرهای دیفرانسیلی
رده:مکانیک لاگرانژی