ترانهاده

در جبر خطی تَرانَهادهٔ  یک ماتریس یعنی ماتریسی که در آن جای سطرها و ستون‌ها برعکس شده است.

ترانهاده یعنی سطر و ستون را جابه‌جا کنیم، و این ابزار ساده در خیلی از محاسبات پایهٔ جبر خطی، آمار، فیزیک و یادگیری ماشین ضروری است.

ماتریس ترانهاده برای هماهنگ‌سازی عملیات‌های جبری خیلی مهم است. مثلاً در ضرب ماتریس‌ها، جابه‌جایی سطر و ستون کمک می‌کند که شکل داده‌ها با هم سازگار شود یا عملیات‌ها ساده‌تر انجام شوند.

ماتریس ترانهاده مانند A ماتریس دیگری است که با نماد AT (به شکل‌های دیگر A′، Atr یا tA نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است:

به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛

در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.

کاربردها 
کاربردهای مهم ترانهاده:

۱. محاسبات برداری و هندسی: مثلاً در ضرب داخلی دو بردار، باید یکی را به شکل سطری و دیگری را به شکل ستونی بنویسیم. اینجاست که ترانهاده به‌کار می‌آید.

۲. ماتریس متقارن: وقتی ترانهاده یک ماتریس با خودش برابر باشد، آن ماتریس متقارن است. این ماتریس‌ها در فیزیک و آمار کاربرد زیادی دارند.

۳. حل دستگاه معادلات خطی: در روش‌هایی مثل کمترین مربعاتLeast Squares، ترانهاده نقش مهمی دارد.

۴. یادگیری ماشین و آمار: در ماتریس داده‌ها، برای ضرب و ترکیب درست ویژگی‌ها و نمونه‌ها، مرتب از ترانهاده استفاده می‌شود.

 مثال‌ها 




 خواص ترانهاده 
برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند

 ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر AT وارون‌پذیر باشد

 ضرب داخلی دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.

که در نمادگذاری اینشتینai bi نوشته می‌شود.

 اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.

 ماتریس‌های خاص 
ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد

ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که:

 &nbsp؛ که I ماتریس همانی است. GT = G-۱.
ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود

همیوغ ترانهاده ماتریس A، به شکل A*، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن.

 جستارهای وابسته 
 ماتریس وارون‌پذیر

 پیوند به بیرون 
 کلاس درس دانشگاه ام‌آی‌تی درباره جبر خطی
 ترانهاده، mathworld.wolfram.com
 ترانهاده ، planetmath.org

رده:جبر خطی
رده:جبر مجرد
رده:ماتریس‌ها