اثبات مستقیم

در ریاضیات و منطق، اثبات مستقیم (به انگلیسی: Direct proof) راهی است برای نشان دادن درستی یا نادرستی یک گزارهٔ داده شده با ترکیب کردن سر راست حقایق مسلم؛ یعنی معمولاً اصل موضوع‌ها و قضیه‌هایی که وجود دارند، بدون اینکه بخواهیم فرضیه‌های بیشتری بسازیم.
برای اثبات مستقیم یک گزارهٔ شرطی به شکل "اگر ، آنگاه "، تنها کافی است حالتی را در نظر بگیریم که گزارهٔ  درست باشد. استنتاج منطقی، برای رسیدن از فرائض به نتایج استفاده می‌شود. نوع منطقی که استفاده می‌شود، اکثر اوقات منطق مرتبۀ اول است که از سورهای وجود دارد و برای هر استفاده می‌کند. قاعده‌های اثباتی که معمولاً استفاده می‌شوند وضع مقدم (Modus ponens) و Universal instantiation هستند.

از سوی دیگر، اثبات غیر مستقیم ممکن است با زمینه‌ها و مقدمه‌های فرضی مشخص شروع کند و پس از آن با برطرف کردن هر گونه ابهام از هر یک از این مقدمه‌ها، روال را ادامه دهد تا به یک نتیجهٔ غیرقابل اجتناب برسد. برای مثال، به‌جای اینکه مستقیماً نشان دهیم ، عکس نقیض آن را ثابت می‌کنیم:  (ابتدا  را فرض می‌کنیم و بعد نشان می‌دهیم که نتیجهٔ آن  می‌شود).
چون  و ، طبق قاعدهٔ جابجایی، هم‌ارز هستند (مراجعه کنید به اصل طرد شق ثالث)، در نتیجه ، به شیوهٔ غیر مستقیم ثابت می‌شود.
برهان خلف نیز از روش‌های اثبات غیر مستقیم محسوب می‌شود.
اثبات به روش مستقیم شامل "اثبات با exhaustion" و "اثبات با استقرا" می‌شود.

 مثال‌ها 

 ثابت کنید که حاصل‌جمع دو عدد صحیح زوج، خود عددی زوج خواهد بود.

دو عدد صحیح زوج  و  را در نظر بگیرید. چون این دو عدد زوج هستند، می‌توان آن‌ها را اینگونه نوشت:  و . با توجه به اینکه  و  اعداد صحیح هستند، لذا خواهیم داشت: .
از اینجا واضح است که  دارای عدد ۲، به عنوان یک عامل است و بنابراین زوج است، پس حاصل‌جمع هر دو عدد صحیح زوج، زوج خواهد بود و حکم ثابت شد. 

این متن مرتبط با منطق، مبنا و پایه (متن خام) است.

 ثابت کنید که اگر  زوج باشد،  زوج است.

اتحاد  را در نظر بگیرید. طبق فرض،  زوج است و همچنین می‌دانیم  نیز زوج است (زیرا از هر دو عدد صحیح متوالی، دقیقاً یکی از آن‌ها زوج و دیگری فرد است و حاصل‌ضرب یک عدد زوج و یک عدد فرد، عددی زوج می‌شود). پس می‌توان نوشت:  و . بنابراین خواهیم داشت:

از اینجا واضح است که  دارای عدد ۲، به عنوان یک عامل است و بنابراین زوج است. پس حکم ثابت شد. 

 منبع 


رده:برهان‌های ریاضیات
رده:درست منطقی
رده:مقاله‌های خرد منطق
رده:منطق ریاضی