قانون بنفورد

قانون بِنفورد  یا قانون رقم اول می‌گوید که در فهرست عددهایی که در بسیاری از (البته نه همهٔ) پدیده‌های زندگی واقعی رخ می‌دهند، رقم اول عددها به‌طور خاص و غیریکنواختی توزیع می‌شود. بر طبق این قانون، تقریباً در یک‌سوم موارد رقم نخست ۱ است، و عددهای بزرگ‌تر در رقم نخست به ترتیب با بسامد کمتری رخ می‌دهند، و عدد ۹ کمتر از یک بار در هر بیست عدد ظاهر می‌شود.

علیرغم اینکه توزیع اعداد یا پدیده‌های طبیعی معمولا از توزیع نرمال تبعیت می‌کنند رقم اول این اعداد از قانون بنفورد تبعیت می‌کنند. به بیان دیگر می‌توان گفت که قانون بنفورد نوع دیگری از نمایش توزیع اعداد است که در آن اگر مجموعه اعدادی که رقم اول آنها ۱ و ۲ و ۳ و… است را کنار یکدیگر بگذاریم کل مجموعه را نمایش داده‌ایم. هرگاه که خود عددها به‌طور لگاریتمی توزیع شده باشند، این توزیع رقم‌های نخست منطقی خواهد بود. بنابر دلایلی، عددهایی که در سنجش‌های واقعی ثبت می‌شوند، معمولاً توزیع لگاریتمی دارند.

این قانون به نام فرانک بنفورد فیزیکدان نامیده شده‌است، هرچند که پیش از آن سیمون نیوکام در سال ۱۸۸۱ آن را بیان کرده بود.

اگر چه قانون بنفورد قطعاً به بسیاری از مجموعه داده‌ها اعمال می‌شود، توضیح علمی آنHill, T. P. "The First Digit Phenomenon." Amer. Sci. 84, 358-363, 1998 اخیراً و در سال ۱۹۹۸ توسط هیل، ریاضیدان، با استفاده از قضایای حد مرکزی-گونه داده شده‌است.Benford's Law, Wolfram Mathworld در حقیقت تا پیش از سال ۱۹۹۶ هیچ‌کس نتوانست علت قانون بنفورد را به درستی توضیح دهد. سرانجام تئودور هیل (T. Hill) ثابت کرد که این قانون در سراسر جهان و حتی در دیگر دستگاه‌های شمارش مثل مبنای ۸ نیز صدق می‌کند. امروزه این قانون در حسابرسی‌های قانونی به شکل گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد، چرا که اگر حساب‌ها با قانون بنفورد مطابقت نداشته باشند به این معنی خواهد بود که حساب‌ها و اعداد به احتمال فراوان جعلی هستند. , Benford's law in auditing
در کل قانون بنفورد یکی از بنیان‌های روش‌های کشف تقلب و کلاه‌برداری است.

این قانون به ظاهر عجیب در بسیاری از داده‌ها برقرار است، مثلاً در صورتحساب‌های برق، شمارهٔ خیابان‌ها، قیمت سهام، مقدار جمعیت، آمار مرگ‌ومیر، طول رودخانه‌ها، ثابت‌های فیزیک و ریاضیات، و فرایندهایی که از توزیع توانی پیروی می‌کنند (که در طبیعت بسیار فراوانند). این قانون مستقل از پایه‌ای که عددها در آن بیان می‌شوند برقرار است، هرچند که احتمال تکرار عددها در هر پایه متفاوت از پایه‌های دیگر است. بین آماردانان و دانشمندان علوم سیاسی در مورد اعمال پذیری قانون بنفورد به داده‌های انتخاباتی اختلاف نظر وجود دارد. برخی مانند والتر میبین،Walter R. Mebane, Jr. استاد آمار و علوم سیاسی دانشگاه میشیگان معتقدند که رقم دوم داده‌ها از توزیع بنفورد پیروی می‌کند، Retrieved on 2009-06-15. در حالی که گزارش مرکز کارترCarter Center (2005). Observing the Venezuela Presidential Recall Referendum: Comprehensive Report, Claim 4, p. 134 این دیدگاه را رد می‌کند.
وسط|بندانگشتی|800px|یک مقیاس لگاریتمی. اگر یک نقطهٔ X تصادفی را روی محور انتخاب کنیم، تقریباً در ۳۰٪ موارد رقم نخست عدد متناظر ۱ خواهد بود. (پهن‌ترین نوار در هرکدام از توان‌های ده).

 منابع 



رده:آمار
رده:توزیع‌های احتمالات
رده:توزیع‌های گسسته
رده:زبان‌شناسی رایانشی
رده:قوانین آماری
رده:نظریه توزیع‌های احتمالی