معادله لوتکا-ولتررا

معادله لوتکا-ولتررا  که همچنین معادلهٔ شکارچی-شکار  نامیده می‌شود، یک زوج معادله دیفرانسیلی غیرخطی است که به‌عنوان مدلی برای سیستم‌های زیستی که در آن‌ها دو گونه به صورت شکارچی و شکار وجود دارند، بکار می‌رود. این معادلات اولین بار توسط آلفرد لوتکاA.J. Lotka, Elements of physical biology, Williams and Wilkins, Baltimore, Md, USA, 1925. در ۱۹۲۵ و ویتو ولتراV. Volterra, Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi, Memorie dell'Accademia Nazionale dei Lincei, Vol. 2 (1926) pp. 31-113. ۱۹۲۶ ارائه شدند. این معادلات به صورت زیر بیان می‌شوند:

که در آن‌ها y تعداد شکارچی‌ها، x تعداد شکارها، t زمان و α، β، γ و δ پارامترهای مشخصه برهم‌کنش شکارچی‌ها و شکارها است.
 معادله شکارها می‌شود:

رشد لجستیک شکارها توسط x نشان داده شده که به میزان α در dx تأثیر می‌گذارد و y نشان دهندهٔ تعداد گونهٔ شکارچی در رشد لجستیک است و به این معناست که به میزان تعداد برخوردهای گونه x و y که برابر است با xy و نرخ شکار شدن β میزان تعداد کم شدن x را نشان می‌دهد پس به میزان βxy (یا شکار شدن x) از جمعیت لجستیک x در هر وهله تغییراتی زمانی از جمعیت αx کم می‌کنیم.
 معادله شکارچی‌ها می‌شود:

در این معادله  نشان دهنده افزایش جمعیت شکارچی‌ها است و  نشانگر مرگ طبیعی آنهاست (که یک نوع ثابت واپاشی می‌باشد).

 همشیب نمودار لوتکا-ولترا 
برای هر معادله دیفرانسیلی می‌توان نمودار ترسیم نقطه‌ای  کشید اما چنانچه نموداری را در ترسیم نقطه‌ای رسم کنیم که در هر نقطه از آن dx/dt صفر شود همشیب آن نام دارد و از نظر زیستی هر شکلی از آن تحلیل خاصی دارد.
بندانگشتی|همشیب صید و صیاد دارای یک نقطه تعادل و پایداری دو گونه

 همشیب صید و صیاد دارای یک نقطه تعادل و پایداری دو گونه 
برای هر نقطه در نمودار، تمایل شیب رشدها به سمت نقطه تقاطع دو نمودار است.

 همشیب صید و صیاد دارای سه نقطه تعادل 
بندانگشتی|همشیب صید و صیاد دارای سه نقطه تعادل
برای برخی نقاط انقراض صید و برخی صیاد مدنظر است و در نقاطی به تعادل در نقطه تعادل می‌رسیم.

 همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صیاد 
برای هر نقطه در نمودار، صیاد منقرض می‌شود.
بندانگشتی|همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صیاد

 همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صید 
بندانگشتی|همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صید
برای هر نقطه در نمودار، صید منقرض می‌شود. (دقت کنید این مدل فقط ریاضیاتی است و تا حد خوبی بر طبیعت منطبق است و نه کاملاً)

 منابع 

 منابعی برای مطالعه 

 Carl I.I. Pistorius, James M. Utterback, A Lotka-Volterra model for multi-mode technological interaction: modeling competition, symbiosis and predator prey modes In: Technology Management in a Changing World, Proceedings of the Fifth International Conference on Management of Technology, Miami, Florida, February 27-March 1, 1996, Pages 3929-96

رده:بوم‌شناسی باهمستان
رده:بوم‌شناسی جمعیت
رده:زنجیره‌های غذایی
رده:شکارگران
رده:مدل‌های جمعیت
رده:معادلات دیفرانسیل معمولی
رده:معادلات دیفرانسیل
رده:نقاط ثابت