مجموعه باز

مجموعه باز مجموعه‌ای است که هیچ یک از نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شود. متمم هر مجموعه باز یک مجموعه بسته است و برعکس. مجموعه‌هایی هستند که نه بازند و نه بسته، یعنی نه هیچکدام و نه همهٔ نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شوند.

 تعریف 

به‌طور کلی مجموعه‌های باز به دو صورت تعریف می‌شوند. براساس تعریف نخست یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هیچ‌کدام از نقاط مرزی خود را شامل نشود و بر طبق تعریف دوم یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هر یک از نقاطش نقطه درونیش باشد. ثابت می‌شود که این دو تعریف معادلند.

 در توپولوژی 

اگر X فضایی توپولوژیک با توپولوژی  باشد، زیر مجموعه U از X را یک مجموعهٔ باز X خوانیم هرگاه U متعلق به  باشد.

 قضیه‌ها 
 اجتماع تعداد دلخواه از مجموعه‌های باز، باز است.
 اشتراک تعداد متناهی از مجموعه‌های باز، باز است.
 هر فضای توپولوژیک هم باز است و هم بسته.
 مجموعه تهی هم باز و هم بسته است.

 مثال‌ها 

 بر خط حقیقی، بازهٔ  یا مجموعهٔ اعداد حقیقی بین ۱– و ۳، باز است. زیرا دو نقطهٔ ۱– و ۳ که نقاط مرزی این مجموعه هستند عضو آن نمی‌باشند. همچنین تمام نقاط این مجموعه (بازه) نقاط درونی هستند.

 منابع 





رده:توپولوژی عمومی