تابع توزیع تجمعی

بندانگشتی|300px|تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..تابع توزیع تجمعی  یا تابع توزیع انباشتی تابعی غیر صفر و هم نوای صعودی است که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد،http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047 یعنی Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, .

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

که در اینجا  به معنی حد چپ تابع  است وقتی که  به  میل می‌کند

 خواص تابع توزیع تجمعی 
 تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

 تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

 تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً اکیدا صعودی) و از راست پیوسته هستند.

 اگر  باشد، آنگاه :

 اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.

 مثال 
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

 تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع 
در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

 توزیع طبیعی استاندارد 
تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای    به شکل زیر تعریف می‌شود :

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

 نمودار 

 توزیع پواسون 
تابع جرم احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...}   و   به شکل زیر تعریف می‌شود:

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

 نمودار 

 توزیع نمایی 
تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای  به شکل زیر تعریف می‌شود :

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

 نمودار 

 تابع توزیع تجمعی برای توابع توام 
تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

بندانگشتی|توزیع توام
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره  به این شکل خواهد بود:

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_2_joint_cdf.php

 منابع 

رده:توابع مرتبط با توزیع‌های احتمال