فضای برداری

در ریاضیات، فیزیک و مهندسی، فضای برداری (یا فضای خطی) (به انگلیسی: Vector Space) به مجموعه‌ای از اشیاء به‌نام بردار گفته می‌شود که روی آنها دو عمل «جمع» و «ضرب اسکالر در بردار» تعریف شده‌باشد. این اسکالر معمولاً عددی حقیقی است، اما در حالت کلی می‌توان آن را عضو هر میدانی مانند اعداد مختلط در نظر گرفت. این دو عمل باید طوری تعریف شده باشند که چند قاعده یا اصل موضوع را برآورند. برای مشخص کردن این‌که اسکالر ضرب نرده‌ای، حقیقی‌ست یا مختلط، از عبارت‌های فضای برداری حقیقی یا فضای برداری مختلط استفاده می‌شود.
بندانگشتی|جمع برداری و ضرب در مقدار نرده‌ای در فضای اقلیدسی: بردار  (آبی) با بردار  (قرمز) جمع شده‌است (تصویر بالایی). در تصویر پایین،  در اسکالر ۲ ضرب شده و مجموع آنها عبارت است از: 
مجموعهٔ بردارهای اقلیدسی نمونه ای از فضای برداری است. از بردارهای اقلیدسی در نمایش کمیت‌های برداری در فیزیک استفاده می‌شود. برای پیدا کردن نیروی خالص وارد بر یک جسم، همهٔ نیروهای وارد بر آن را جمع برداری می‌کنیم؛ همچنین، بردار نیرو از ضرب بردار شتاب در جرم (یک کمیت نرده‌ای) به‌دست می‌آید.

در حالت کلی، بردارهای یک فضای برداری لزوماً یک بردار اقلیدسی نیستند پس لزوماً با فلش نمایش داده نمی‌شوند. به عبارت دیگر، بردار یک چیز انتزاعی است و تنها گاهی می‌توان آنها را با پیکان (فلش) نمایش داد.

فضاهای برداری در ریاضیات، علم و مهندسی، گسترده استفاده می‌شوند. در جبر خطی، از فضای برداری در کار با دستگاه‌های معادلات خطی استفاده می‌شوند. همچنین از فضاهای برداری برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و بسط فوریه استفاده می‌شود. 

فضای برداری، سنگ بنایی برای تعمیم به چیزهای هندسی و فیزیکی کلی‌تر، مانند ماتریس و تنسورها هستند.

 تعریف 
یک فضای برداری  روی یک میدان اسکالر  (مانند میدان اعداد حقیقی ) یک مجموعه از بردارها  به‌همراه دو عمل جمع و ضرب اسکالر است.

 مجموعهٔ  ناتهی است.
 عمل جمع  یک عمل دوتایی روی دو بردار از  است.
 عمل ضرب  یک عمل دوتایی بین یک بردار از  و یک اسکالر از  است. ضرب در اسکالر، نباید با ضرب داخلی اشتباه شود، در ضرب داخلی دو بردار در هم ضرب می‌شوند و یک اسکالر به دست می‌آید، درحالی‌که در ضرب اسکالر، یک بردار در یک اسکالر ضرب می‌شود و یک بردار جدید به دست می‌آید.

 اصول موضوعی 
به ازای هر بردار  و  و  از مجموعهٔ  و هر اسکالر  و  از میدان  باید ده اصل موضوعی زیر رعایت شوند تا بتوان آنها را فضای برداری تعریف کرد:هافمن، صفحهٔ ۲۸
+قاعدهتوضیحدقیقبیان جبر مجردبیان سادهبستاربسته نسبت به جمعجمع  و  در  وجود داشته باشد.بسته نسبت به ضربضرب  و  در  وجود داشته باشد. نسبت به + گروه آبلی باشدگروه باشدهمانی در جمعیک عنصر همانی در  وجود دارد که جمع آن با هر برداری همان بردار شود.وارون در جمعیک عنصر وارون  در  وجود دارد که جمعش با  برابر عنصر همانی شود.شرکت‌پذیری در جمعپرانتزگذاری در جمع بی‌تأثیر باشد.جابه‌جاپذیری در جمعجابه‌جایی در جمع بی‌تأثیر باشد.این گروه یک -مدول باشدهمانی ضربضرب عنصر همانی میدان  در هر برداری همان بردار شود.توزیع‌پذیری ضربپخش‌پذیری اسکالرضرب اسکالرها در جمع بردارها پخش‌پذیر باشد.پخش‌پذیری بردارضرب بردارها در جمع اسکالرها پخش‌پذیر باشد.سازگاری ضرب میدان با ضرب فضای برداریپرانتزگذاری ضرب اسکالرها و ضرب بردار در اسکالر بی‌تأثیر باشد.
جمع و ضرب عملگر هستند و طبق تعریف عملگر، بسته بودن جزو قواعد آنها هست. در نتیجه دو قاعدهٔ ابتدایی در مورد بسته بودن تکراری است و در کتاب‌های منبع جدیدتر نوشته نمی‌شوند.

 نتایج 
از اصول یادشده می‌توان به نتایج زیر رسید:

 عنصر همانی یکتا است.
 وارون جمع هر برداری یکتا است.



 پوچساز 
هرگاه  فضایی برداری باشد بر میدان  و  زیرمجموعه‌ای از  باشد، در این صورت پوچساز  عبارتست از تابعک‌های خطی  روی  که به ازای هر  در  داریم . پوچساز را با  نشان می‌دهند.

در واقع داریم:

 جستارهای وابسته 
 زیرفضای خطی
 استقلال خطی
 پوشش خطی (اسپن)
 پایه (جبر خطی)
 بعد (فضای برداری)
 تحلیل مولفه‌های اصلی
 میدان برداری
 نرم‌ها

 فضاهای برداری با ساختار بیشتر 

 فضای اقلیدسی
 فضای هیلبرت
 فضای متریک کامل
 فضای ضرب داخلی
 فضای برداری نرم‌دار
 فضای متریک
 فضای برداری توپولوژیکی

 منابع 

 جبر خطّی عددی (انگلیسی)
 مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)
 فضای برداری

 Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, 


رده:بردارها
رده:جبر خطی
رده:جبر مجرد
رده:ساختارهای ریاضیاتی
رده:فضاهای برداری
رده:مفاهیم فیزیکی
رده:نظریه گروه‌ها