برهان خلف

برهان خُلف (به لاتین: Reductio ad absurdum به معنی "کاهش به پوچی")، یکی از روش‌های اصلی اثبات غیرمستقیم در منطق و فلسفه است. در این روش، برای اثبات درستی یک گزاره (یا نادرستی یک ادعا)، ابتدا نقیض آن را به عنوان یک فرض صحیح در نظر می‌گیریم و سپس با استفاده از استدلال‌های منطقی، نشان می‌دهیم که این فرض به یک نتیجهٔ متناقض یا پوچ می‌انجامد. از آنجا که یک فرض صحیح هرگز نمی‌تواند به تناقض منجر شود، نتیجه می‌گیریم که فرض اولیه نادرست بوده و بنابراین، گزاره اصلی الزاماً صحیح است.Suppes, Patrick. Introduction to Logic. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1957, pp. 29-31.

این روش استدلال، ابزاری قدرتمند برای ارزیابی اعتبار ادعاها و شناسایی تناقضات درونی در یک استدلال است.Hardy, G. H. A Mathematician's Apology. Cambridge: Cambridge University Press, 1967, p. 94.

 کاربرد در تحلیل گزاره‌ها 
برهان خلف ابزاری عالی برای تحلیل ادعاهایی است که ممکن است در نگاه اول معقول به نظر برسند اما در درون خود تناقض دارند.

 مثال ۱: گزاره «هیچ حقیقتی مطلق نیست» 
این یک مثال کلاسیک در فلسفه برای نشان دادن یک گزاره خود-متناقض است.
 **ادعا:** فردی می‌گوید: «هیچ حقیقتی مطلق نیست.»
 **تحلیل با برهان خلف:**
    1.  فرض خلف: فرض می‌کنیم ادعای «هیچ حقیقتی مطلق نیست» گزاره‌ای صحیح باشد.
    2.  اگر این گزاره صحیح باشد، پس باید خودش یک حقیقت باشد.
    3.  حال این سؤال پیش می‌آید: آیا این حقیقت (که هیچ حقیقتی مطلق نیست) یک حقیقت نسبی است یا یک حقیقت مطلق؟
    4.  اگر نسبی باشد، پس می‌توان موقعیتی را تصور کرد که در آن «حقایق مطلق وجود دارند» که این خود ادعای اصلی را نقض می‌کند.
    5.  اگر مطلق باشد، پس ما حداقل یک حقیقت مطلق پیدا کرده‌ایم: خود همین گزاره که «هیچ حقیقتی مطلق نیست».
    6.  تناقض: وجود یک حقیقت مطلق (گزاره مورد بحث) با محتوای خود گزاره (که می‌گوید هیچ حقیقت مطلقی وجود ندارد) در تناقض مستقیم است.
    7.  نتیجه‌گیری: از آنجا که فرض صحیح بودن این ادعا به تناقض منجر شد، پس این ادعا نمی‌تواند به صورت منطقی صحیح باشد و یک گزاره خود-متناقض است.Damer, T. Edward. Attacking Faulty Reasoning: A Practical Guide to Fallacy-Free Arguments. 6th ed., Belmont, CA: Wadsworth, 2009, pp. 118-120.

 مثال ۲: گزاره «من همیشه دروغ می‌گویم» 
این مثال، نسخه‌ای ساده‌شده از پارادوکس دروغگو است که با برهان خلف قابل تحلیل است.
 **ادعا:** فردی می‌گوید: «من همیشه دروغ می‌گویم.»
 **تحلیل با برهان خلف:**
    1.  فرض خلف: فرض می‌کنیم ادعای «من همیشه دروغ می‌گویم» یک گزاره صحیح (راست) باشد.
    2.  اگر این گزاره راست باشد، پس گوینده آن در این لحظه یک جمله راست گفته است.
    3.  اما اگر او یک جمله راست گفته باشد، پس این با محتوای ادعای خودش که «همیشه دروغ می‌گوید» در تضاد است.
    4.  تناقض: صحیح بودن این گزاره مستلزم این است که گوینده حداقل یک بار راست گفته باشد، که این امر محتوای گزاره را نقض می‌کند.
    5.  نتیجه‌گیری: فرض صحیح بودن این ادعا به تناقض می‌انجامد. بنابراین، این گزاره نمی‌تواند راست باشد و یک ادعای خود-متناقض است. (توجه: اگر فرض کنیم گزاره دروغ باشد، به تناقض نمی‌رسیم؛ این نتیجه به این معناست که «گوینده گاهی راست می‌گوید» که منطقاً ممکن است).Smullyan, Raymond. What Is the Name of This Book?: The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1978, pp. 17-22.

 ساختار برهان خلف 
برهان خلف از دو استدلال قیاسی تشکیل می‌شود و یک قیاس مرکب است.
در استدلال نخست، ما می‌گوئیم که:

اگر  درست نباشد،  درست است.

اگر  درست باشد،  درست است.

پس اگر  درست نباشد،  درست است.

نتیجهٔ این استدلال، خود مقدمهٔ قیاس استثنایی دیگری می‌شود. در این قیاس می‌گوئیم:

اگر  درست نباشد،  درست است.

اما در واقع  درست است (بنا بر فرض قبلی یا چون یکی از اصول موضوع ماست).

پس فرض خلف باطل و  درست است.https://cohn.mit.edu/contradiction
 تاریخچه و جایگاه در منطق 
ریشه‌های برهان خلف به فلسفه یونان باستان و پارادوکس‌های زنون الئایی بازمی‌گردد. در منطق مدرن، این روش یک قاعده استنتاج معتبر در منطق کلاسیک است. با این حال، برخی مکاتب فلسفی و منطقی، مانند منطق شهودگرایانه، استفاده نامحدود از آن را نمی‌پذیرند، زیرا معتقدند چنین اثباتی لزوماً سازنده نیست.

 پانویس 

 منابع 
 Suppes, Patrick (1957). Introduction to Logic. Princeton, NJ: Van Nostrand. ISBN 978-0486406879.
 Hardy, G. H. (1967). A Mathematician's Apology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521427067.
 Damer, T. Edward (2009). Attacking Faulty Reasoning: A Practical Guide to Fallacy-Free Arguments. 6th ed. Belmont, CA: Wadsworth. ISBN 978-0495095064.
 Smullyan, Raymond (1978). What Is the Name of This Book?: The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0139550881.

 جستارهای وابسته 
 منطق گزاره‌ای
 اصل طرد شق ثالث
 پارادوکس دروغگو

رده:برهان‌های ریاضیات
رده:شیوه‌های اثبات
رده:قضیه‌ها در حساب گزاره‌ای