استقلال خطی

بندانگشتی|یک مجموعه بردار مستقل خطی
در جبر خطی، زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای یک فضای برداری  مانند  را وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد . به عبارتی دیگر (طبق تعریف اسپن) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد .

اگر  وابستهٔ خطی نباشد می‌گوییم این بردارها استقلال خطی (به انگلیسی: Linear Independence) دارند یا مستقل خطی هستند.

 تعریف 
مجموعهٔ  را مستقل خطی می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ  جواب بدیهی  باشد.

در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می‌گوییم. به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ  یک جواب غیربدیهی  داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می‌گوییم. از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد: 

از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد:  یا 

 نتایج و قضایا 
یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار  را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد .

یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها  را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند .

هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر  وابستهٔ خطی است.

مجموعهٔ بردارهای  با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند  وجود داشته باشد که بردار  با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی  از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد .

 برای توابع 
طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:

اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند  برای مجموعهٔ توابع  پیدا کرد که  باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع   مستقل خطی نیستند. در غیر این صورت  را مستقل خطی می‌نامیم.

 استفاده از یک قضیه 
اگر توابع  (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ  اُم باشند و همچنین اگر  رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:

توابع  مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک  پیدا کرد که .

این مفهوم در موارد زیر کاربرد دارد:

 تعیین خطی بودن یک مجموعه بردارها-
 تعیین رتبه ماتریس
 بررسی ابعاد فضاهای بردار
 طراحی و تحلیل سیستم‌های خطی در مهندسی

 جستارهای وابسته 
 فضای برداری
 زیرفضای خطی
 پوشش خطی (اسپن)
 پایه‌های فضا
 بعد (فضای برداری)

 منابع 

 مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی 

 Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole,    

رده:جبر مجرد
رده:جبر خطی
رده:مقاله‌های دربردارنده برهان