آنالیز تابعی

آنالیز تابعی، گرایشی از آنالیز ریاضی است که فضاهای برداری مجهز به ساختار حد (مانند فضاها با ضرب درونی و نُرم) و عملگرهای خطی روی این فضاها را مطالعه میکند. آنالیز تابعی در دهه‌های اخیر به یکی از پایه‌های اساسی مکانیک کوانتوم، نظریه و حل عددی معادلات دیفرانسیل، روش اِلِمان محدود (FEM)، بهینه‌سازی، نظریه احتمال، نظریه موجک، تصویربرداری پزشکی و پردازش تصویر تبدیل شده است.

کلمهٔ تابعی (یا تابعک)  ریشه در حساب تغییرات دارد و به معنای تابعی است که ورودی آن یک تابع می‌باشد. این اصطلاح را اولین بار آدامار در کتاب ۱۹۱۰ خود که در همین موضوع نوشته شده بود به کار برد. با این حال، مفهوم عمومی یک تابعک پیش از آن نیز در ۱۸۸۷ توسط ریاضیدان و فیزیکدان ایتالیایی، ویتو وولترا به کار رفته‌است.History of the Mathematical Sciences  p. 195 نظریه تابعک‌های غیر خطی توسط شاگردان هادامارد بخصوص فرشه و لوی ادامه یافت. همچنین هادامارد مکتب مدرن آنالیز تابعک‌های خطی را بنیان نهاد که پس از او توسط ریس (Riesz) و گروهی از ریاضیدانان لهستانی اطراف استفان باناخ توسعه و ادامه یافت.

در کتب مقدماتی مدرن آنالیز تابعی، این موضوع به عنوان مطالعه فضاهای برداری مجهز به توپولوژی در نظر گرفته شده که یکی از ویژگی‌های خاصشان بی‌نهایت بعدی بودن است. اگر بخواهیم آنالیز تابعی را با جبر خطی مقایسه کنیم، جبر خطی عموماً با فضاهای متناهی بعدی سروکار دارند که از توپولوژی در آن‌ها استفاده نمی‌شود. بخش مهمی از آنالیز تابعی، توسعه قضایای مربوط به نظریه اندازه، انتگرال‌گیری و احتمالات به فضاهای بی‌نهایت بعدی است که به آن آنالیز بی‌نهایت بعدی نیز گفته می‌شود.

 منابع