تبدیل فوریه

در ریاضیات، تبدیل فوریه  یا (FT) یک تبدیل ریاضیاتی است که توابعی را که بر حسب زمان یا فضا هستند، به توابعی بر حسب فرکانس زمانی یا فضایی تجزیه می‌کند، مانند بیان یک آکورد موسیقی بر حسب حجم‌ها و فرکانس‌های نت‌های تشکیل دهنده آن. اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش دامنه فرکانس و هم به عملیات ریاضی مربوط به آن که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می‌کند گفته می‌شود.

تبدیل فوریه یک تابع از زمان، یک تابع مقدار مختلط از فرکانس است، که اندازه آن (قدر مطلق)، فرکانس موجود در تابع اصلی را نشان می‌دهد، و آرگومان آن اختلاف فاز سینوسی پایه در آن فرکانس است. تبدیل فوریه فقط محدود به توابع زمان نیست، اما به دامنه عملکرد اصلی، معمولاً دامنه زمان گفته می‌شود. معکوس تبدیل فوریه نیز وجود دارد که به صورت ریاضی تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانسی آن تولید می‌کند، که توسط قضیه عکس فوریه اثبات شده‌است.

عملیات‌های خطی انجام شده در یک دامنه (زمان یا فرکانس) در دامنه‌های دیگر دارای عملیات‌های متناظر هستند، که گاهی انجام آنها آسان‌تر است. عملیات مشتق‌گیری در دامنه زمان معادل با ضرب در فرکانس است، در نتیجه تجزیه و تحلیل برخی معادلات دیفرانسیلی در دامنه فرکانس راحت تر است. همچنین، کانولوشن در دامنه زمان معادل با ضرب معمولی در دامنه فرکانس است (به قضیه کانولوشن مراجعه کنید). پس از انجام عملیات مورد نظر، می‌توان نتیجه را به حوزه زمان برگرداند. آنالیز هارمونیک یک مطالعه سیستماتیک از رابطه بین دامنه‌های فرکانس و زمان است، از جمله انواع توابع یا عملیاتی که در یکی یا دیگری «ساده‌تر» هستند و با بسیاری از زمینه‌های ریاضیات مدرن ارتباط عمیقی دارد.

 تعریف 
تبدیل فوریه، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک تبدیل انتگرالی است که هر تابع  را به یک تابع دیگر  منعکس می‌کند. در این صورت، به  تبدیل فوریهٔ تابع  می‌گویند. حالت خاص تبدیل فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع  متناوب باشد، یعنی:  . چنانچه تابع متناوب نباشد یا به عبارتی، تناوب آن برابر بی‌نهایت باشد ()، از سری فوریه عبارت زیر به دست می‌آید:

تبدیل فوریه و به همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوان دارد.

 کاربرد 
بندانگشتی|299x299پیکسل|انیمیشن تبدیل فوریه یک سیگنال منتقل شونده در زمان را نشان می‌دهد. [در قسمت بالا] سیگنال اصلی (نارنجی)، به‌طور مداوم با زمان جابجا می‌شود (آبی). [در قسمت پایین] نتیجه تبدیل فوریه نشان داده شده‌است. به سرعت بالای چرخش مولفه‌های فرکانس بالا در صفحه مختلط نسبت به مولفه‌های سرعت پایین توجه کنید.
تبدیلات فوریه در طیف وسیعی از مسائل حوزه‌های مهندسی و فناوری و همچنین در مخابرات و محاسبات تصویری کاربردهای وسیعی دارند. به‌طور مثال در ام‌آرآی در فیزیک پزشکی برای ایجاد تصویر نهایی اطلاعات امواج ساطع شده از هسته‌های هیدروژن از حوزهٔ فرکانسی (frequency domain) به حوزهٔ فضایی (spatial domain) تبدیل فوریه می‌شوند.

همچنین در علم دینامیک سازه‌ها و ارتعاشات مکانیکی برای تعیین پاسخ سازه در برابر تحریکات غیر هارمونیک از تبدیلات فوریه برای تبدیل این تحریکات به اجزای هارمونیک استفاده می‌شود. پس از آن می‌توان اقدام به حل معادله دیفرانسیل حرکت سازه نمود.

یکی دیگر از کاربردهای آن در تجزیه و تحلیل مدارات مخابراتی و مدارات قدرت است که برای بدست آوردن هارمونیک‌های پدیدآورنده یک شکل موج استفاده می‌شود.

 تبدیل سریع فوریه 

تبدیل سریع فوریه (Fast Fourier transform - FFT) نام الگوریتمی‌ست برای انجام تبدیلات مستقیم و معکوس گسستهٔ فوریه به صورتی سریع و بسیار کارآمد. تعداد زیادی الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع مجزا وجود دارد که شامل محدوده عظیمی از ریاضیات می‌شوند: از محاسبات ساده به وسیله اعداد مختلط تا نظریه اعداد.

 جدول تبدیل‌های فوریه مهم 
جداول زیر برخی از تبدیل‌های فوریه نوع بسته را نشان می‌دهد. برای توابع  ,  و  تبدیل فوریه آنها را به ترتیب با ،  و  نشان داده می‌شوند. فقط سه نمایش رایج در جدول گنجانده شده‌است. توجه داشته باشید که ورودی ۱۰۵ رابطه ای بین تبدیل فوریه یک تابع و تابع اصلی ایجاد می‌کند، که می‌تواند به عنوان رابطه تبدیل فوریه و عکس آن باشد.

 روابط تابعی، یک بعدی 
تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در  یا . یافت.
تابعتبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادیتبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ایتبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحدملاحظاتتعریف۱۰۱خطی بودن۱۰۲تغییر در دامنه زمان۱۰۳تغییر در دامنه فرکانسی، جفت ۱۰۱۱۰۴تغییر مقیاس در دامنهٔ زمان. اگر  زیاد باشد، آنگاه  به سمت صفر متمرکز می‌شود و پهن‌تر و صاف‌تر می‌شود.۱۰۵دوگان خود تبدیل فوریه. در این‌جا لازم است  با همان روش ستون تبدیل فوریه محاسبه شود. نتیجهٔ جابه جایی متغیرهای آزاد  و  یا  یا .۱۰۶۱۰۷این دوگان ۱۰۶ است۱۰۸علامت  کانولوشن توابع  و  را نشان می‌دهد — به این قاعده قضیهٔ کانولوشن می‌گویند۱۰۹این دوگان ۱۰۸ است.۱۱۰For  purely realHermitian symmetry.  indicates the complex conjugate.۱۱۱For  purely real and even,  and  are purely real even functions.۱۱۲For  purely real and odd,  and  are purely imaginary odd functions.۱۱۳برای  موهومی خالص indicates the complex conjugate.۱۱۴Complex conjugation, generalization of 110 and 113۱۱۵This follows from rules 101 and 103 using Euler's formula:۱۱۶This follows from 101 and 103 using Euler's formula:

 توابع انتگرال‌گیری شونده مربعی، یک بعدی 
تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در Campbell & Foster (1948)، Erdélyi (1954)، یا Kammler (2000، قسمت ضمیمه) یافت.
تابعتبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادیتبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ایتبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحدملاحظات ۲۰۱The rectangular pulse and the normalized sinc function, here defined as ۲۰۲Dual of rule 201. The rectangular function is an ideal low-pass filter, and the sinc function is the non-causal impulse response of such a filter. The sinc function is defined here as ۲۰۳The function  is the triangular function۲۰۴Dual of rule 203.۲۰۵The function  is the Heaviside unit step function and .۲۰۶This shows that, for the unitary Fourier transforms, the Gaussian function  is its own Fourier transform for some choice of . For this to be integrable we must have .۲۰۷This is known as the complex quadratic-phase sinusoid, or the "chirp" function.۲۰۸For . That is, the Fourier transform of a two-sided decaying exponential function is a Lorentzian function.۲۰۹Hyperbolic secant is its own Fourier transform۲۱۰ is the th-order Hermite polynomial. If  then the Gauss–Hermite functions are eigenfunctions of the Fourier transform operator. For a derivation, see Hermite polynomial. The formula reduces to 206 for .

 توزیع‌ها، یک بعدی 
تابعتبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادیتبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ایتبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحدملاحظات۳۰۱The distribution  denotes the Dirac delta function.۳۰۲Dual of rule 301.۳۰۳This follows from 103 and 301.۳۰۴This follows from rules 101 and 303 using Euler's formula:۳۰۵This follows from 101 and 303 using۳۰۶This follows from 101 and 207 using۳۰۷This follows from 101 and 207 using۳۰۸Here,  is a natural number and  is the th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from rules 107 and 301. Combining this rule with 101, we can transform all polynomials.Dual of rule 308.  is the th distribution derivative of the Dirac delta function. This rule follows from 106 and 302.۳۰۹Here  is the sign function. Note that  is not a distribution. It is necessary to use the Cauchy principal value when testing against Schwartz functions. This rule is useful in studying the Hilbert transform.۳۱۰ is the homogeneous distribution defined by the distributional derivative۳۱۱This formula is valid for . For  some singular terms arise at the origin that can be found by differentiating 318. If , then  is a locally integrable function, and so a tempered distribution. The function  is a holomorphic function from the right half-plane to the space of tempered distributions. It admits a unique meromorphic extension to a tempered distribution, also denoted  for  (See homogeneous distribution.)Special case of 311.۳۱۲The dual of rule 309. This time the Fourier transforms need to be considered as a Cauchy principal value.۳۱۳The function  is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101, 301, and 312.۳۱۴This function is known as the Dirac comb function. This result can be derived from 302 and 102, together with the fact that

as distributions.۳۱۵The function  is the zeroth order Bessel function of first kind.۳۱۶This is a generalization of 315. The function  is the th order Bessel function of first kind. The function  is the Chebyshev polynomial of the first kind.۳۱۷ is the Euler–Mascheroni constant.۳۱۸This formula is valid for . Use differentiation to derive formula for higher exponents.  is the Heaviside function.

 توابع دو بعدی 
تابعتبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادیتبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ایتبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحدملاحظات۴۰۰The variables , , , , ,  are real numbers. The integrals are taken over the entire plane.۴۰۱Both functions are Gaussians, which may not have unit volume.۴۰۲The function is defined by  for , and is 0 otherwise. The result is the amplitude distribution of the Airy disk, and is expressed using  (the order-1 Bessel function of the first kind)..۴۰۳This is the Hankel transform of , a 2-D Fourier "self-transform".۴۰۴

 فرمول‌هایی برای توابع عمومی n بعدی 
تابعتبدیل فوریه
فرکانس واحد، عادیتبدیل فوریه
فرکانس واحد، زاویه ایتبدیل فوریه
فرکانس زاویه ای غیر واحدملاحظات۵۰۰۵۰۱The function  is the indicator function of the interval . The function  is the gamma function. The function  is a Bessel function of the first kind, with order . Taking  and  produces 402..۵۰۲See Riesz potential where the constant is given by

The formula also holds for all  by analytic continuation, but then the function and its Fourier transforms need to be understood as suitably regularized tempered distributions. See homogeneous distribution.In , with the non-unitary conventions of this table, the transform of  is given to be

from which this follows, with .۵۰۳This is the formula for a multivariate normal distribution normalized to 1 with a mean of 0. Bold variables are vectors or matrices. Following the notation of the aforementioned page,  and ۵۰۴Here. 

 جستارهای وابسته 

پردازش سیگنال پیوسته
تبدیل فوریه گسسته
تبدیل فوریه سریع
سری فوریه
تبدیل‌های سینوسی و کسینوسی
تبدیل فوریه کسری
تبدیل انتگرالی
تبدیل هنکل
تبدیل هارتلی
تبدیل لاپلاس
تبدیل ملین.
تبدیل فوریه کوانتومی
تبدیل فوریه زمان کوتاه
چگالی طیفی
تخمین طیفی
تبدیل (تابع)

 یادداشت‌ها

 پانویس 

 منابع 

.
.

پیوند به بیرون
 جدول تبدیل فوریه

رده:تبدیلات فوریه
رده:تبدیل‌های انتگرالی
رده:آنالیز فوریه
رده:ژوزف فوریه
رده:عمل‌گرهای یکانی
رده:مفاهیم فیزیکی
رده:ریاضی فیزیک