عدد طبیعی

بندانگشتی|اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می‌شوند (یک سیب، دو سیب، سه سیب …)

اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبتchap.sch.ir صفحهٔ ۷. اعدادی هستند که از یک (۱) شروع می‌شوند و تا بینهایت ادامه دارند. این مجموعه شامل صفر نمی‌شود(با این‌حال برخی از ریاضیدانان صفر را به این مجموعه اضافه می‌کنند) و برای شمارش و ترتیب استفاده می‌شود. به‌طور مثال، در «شش سکه روی میز است»، برای شمارش و در «این سومین شهر بزرگ است» برای ترتیب کاربرد دارند. در اصطلاح ریاضی، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت {...، ۱، ۲، ۳، ...} است که شامل اعداد مرکب، اعداد اول و یک می‌شود.

به بیان ساده، اعداد طبیعی اعدادی هستند که در طبیعت برای شمردن عناصر استفاده می‌شوند. عدد صفر و اعداد منفی در طبیعت وجود ندارند و در مجموعهٔ اعداد طبیعی جای ندارند.

برای بودن یا نبودن صفر در مجموعهٔ اعداد طبیعی سه تعریف وجود دارد. طبق استاندارد ISO 80000-2، صفر به عنوان عدد صحیح غیرمنفی پذیرفته شده است.https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number در برخی تعاریف دیگر، صفر به عنوان عضو مجموعه اعداد طبیعی شناخته نمی‌شود و با افزودن آن مجموعه اعداد حسابی شکل می‌گیرد. مجموعهٔ اعداد طبیعی، یک مجموعه نامتناهی است و زیرمجموعهٔ اعداد حسابی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی محسوب می‌شود.

در ریاضیات، اعداد صحیح و حسابی با حروف Z و W نمایش داده می‌شوند و N از ابتدای واژهٔ انگلیسی «Natural» گرفته شده است.

 اصل استقرای ریاضی 
اصلی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی، اصل استقرای ریاضی است. این اصل بیان می‌کند که اگر  ویژگی یک عدد x باشد، برای اینکه P برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند، کافی است:
  صادق باشد، و
 اگر  صادق است، بتوان نشان داد  نیز صادق است.

با تکرار این فرایند، ویژگی P برای همهٔ اعداد طبیعی اثبات می‌شود.

 مثال: جمع اعداد طبیعی 
فرمول جمع اعداد طبیعی از ۱ تا n:

اثبات با استقرا:

۱. برای n=۱،  صدق می‌کند.
۲. فرض می‌کنیم برای n=k صادق است: 
۳. بنابراین برای n=k+1 داریم:

بنابراین فرمول برای همهٔ n صادق است.

 بیان صوری استقرا 
فرض کنید A مجموعه‌ای ناتهی از اعداد طبیعی باشد، و شرایط زیر برقرار باشند:
 عدد ۱ عضو A باشد
 اگر k عضو A باشد، آنگاه k+1 نیز عضو A باشد

آنگاه A شامل همهٔ اعداد طبیعی خواهد بود.

 تعریف بازگشتی 
اعداد طبیعی در برنامه‌نویسی و محاسبات، از طریق تعریف بازگشتی نیز بیان می‌شوند. برای مثال، فاکتوریل n:

تعریف بازگشتی:



جمع اعداد طبیعی نیز می‌تواند بازگشتی تعریف شود:



 تعریف صوری: اصول پئانو 

اعداد طبیعی با مجموعهٔ N یا  و نماد ثابت ۰ و تابع تک‌متغیرهٔ S تعریف می‌شوند:
 ۰ یک عدد طبیعی است
 برای هر عدد طبیعی x, x=x
 برای x و y طبیعی، اگر x=y آنگاه y=x
 اگر x=y و y=z آنگاه x=z
 اعداد طبیعی تحت تساوی بسته‌اند
 S(n) تابعی یک‌به‌یک از n به n+1 است
 هیچ n طبیعی ندارد که S(n)=۰ باشد

 تاریخچه 
 ریشه‌های باستانی 
اولین نمایش اعداد طبیعی با علامت برای هر شی بود. سپس مصریان باستان سیستم عددی قدرتمندی با هیروگلیف‌های ۱، ۱۰ و مضارب آن تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند.
بابلی‌ها از سیستم ارزش مکانی با پایه ۶۰ استفاده می‌کردند.

صفر ابتدا توسط بابلی‌ها و سپس در تمدن اولمک و مایا به کار رفت، و در دوران معاصر توسط ریاضیدان هندی Brahmagupta معرفی شد.

 تعاریف مدرن 
در قرن نوزدهم، اروپا دربارهٔ ماهیت اعداد طبیعی بحث کرد. هنری پوانکاره و لئوپولد کرونکر دیدگاه‌های متفاوتی ارائه دادند.
گوتلوب فرگه و چارلز سندرز پیرس تعاریف رسمی اعداد طبیعی را با نظریه مجموعه‌ها و اصول پئانو ارائه کردند.

 جستارهای وابسته 

 منابع 
 ابراهیم اسرافیلیان، عبدالله شیدفر. ریاضی عمومی ۱. دالفک، ۱۳۸۲

 Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers. Wiley.
 L. Kirby; J. Paris, Accessible Independence Results for Peano Arithmetic, Bulletin of the London Mathematical Society.

رده:اعداد صحیح
رده:اعداد کاردینال
رده:ریاضیات مقدماتی
رده:نظریه اعداد