Bisekzio-metodoa

Oso metodo sinple eta sendoa da, baina nahiko motela ere bai. Hori dela eta, askotan erabiltzen da erro baten hurbilketa on bat lortzeko; gero, hurbilketa hori finduko da azkarrago konbergitzen duten metodoen bitartez. Existitzen dira helburu bera duten beste metodo batzuk; hauen artean ezagunenetako bat Regula falsi metodoa da.  

 Metodoa 
Metodoa,  aldagai errealerako,  ekuazioa ebazteko erabiltzen da, non   tarte batean definitutako funtzio jarraitu bat den eta  eta  aurkako zeinukoak diren. Kasu horretan, Bolzanoren teoremaren arabera,  funtzio jarraituak erro bat izan behar du gutxienez  tartean.

Metodoa urraska aplikatzen da. Urrats edo iterazio bakoitzean, metodoak tartea erdibitzen du, tartearen   erdiko puntua eta  funtzioaren balioa puntu horretan kalkulatuz.  zenbaki erreala erro bat bada, orduan prozesua amaitzen da. Bestela, bi aukera daude:  eta  aurkako zeinukoak badira,  tartean erro bat egongo da; aldiz,  eta  badira aurkako zeinukoak, erroa  tartean egongo da. Metodo honen bidez, hurrengo iterazioan erabiliko den azpitartea kalkulatu da jada,  edo  tartea, lehen esan bezala,  zeinuaren araberakoa dena. Horrela, -ren erro bat duen tarte bat erdira murrizten da iterazio bakoitzean. Prozesua errepikatzen jarraitzen da tartea nahiko txikia izan arte, tarte hori lortu eta gero egindako iterazioetan kalkulatzen diren erroen hurbilpenak oso antzekoak baitira.

Esplizituki, f(c)=0 bada, orduan c har daiteke soluziotzat, eta prozesua gelditu egiten da. Bestela, -k eta -k zeinu bera badute,

 orduan,   egin behar da hurrengo iteraziorako →  tartea hartuko da.
 bestela,   egin behar da hurrengo iteraziorako →  tartea hartuko da.

Bi kasuetan,  eta  berriek kontrako zeinua dute; beraz, metodoa tarte txikiago horretan aplika daiteke. 

Behin prozesua hasita, tartearen ezkerreko eta eskuineko muturretako zeinuak berdin mantentzen dira iterazio guztietan.

Metodo honetan,  segida bat sortuko da non . Iterazioa noiz gelditu behar den zehazteko, finkatutako tolerantzia batekiko  hainbat gelditze-irizpide posible hartu behar dira kontuan . Horretarako lau gelditze-irizpide identifika daitezke:

 Zehaztasun absolutua: 
 Zehaztasun erlatiboa: , 
 Zehaztasun maximoa: 
 Iterazio kopuru maximoa:  bat finkatzea

Erroaren balioari buruz ez badakigu ezer, orduan zehaztasun erlatiboa da gelditze-irizpiderik onena.

 Iterazio prozesua 
Metodorako sarrerak  funtzio jarraitu bat eta  tarte bat dira, non  eta  irudiek kontrako zeinua duten. Horrek tarte horretan gutxienez funtzioaren erro bat dagoela bermatzen du. Iterazio bakoitzak urrats hauek jarraitzen ditu:

  kalkulatu, tartearen erdiko puntua .
 Kalkulatu funtzioaren balioa  erdiko puntuan.
  bada,  da erroa eta amaitu da; bestela jarraitu.
 Konbergitzen badu, hau da,  nahi bezain txikia bada,  da erroa eta amaitu; bestela jarraitu.
  bada, erroa  tartean dago. Orduan  ez da aldatzen eta  egin hurrengo iterazioan.  bada, erroa  tartean dago. Orduan  egin eta  berdin mantendu hurrengo iterazioan.

 Adibidea 
Demagun bisekzio-metodoa erabili nahi dugula polinomio honen erroak aurkitzeko.

Lehenik, aukera ditzagun bi zenbaki,  eta , non  eta  zeinu desberdinekoak diren. Aurreko funtzioaren kasuan,  eta  aukeratuz honakoa dugu:

eta

Beraz, ikus dezakegu  eta -ren irudien zeinuak kontrakoak direla. Gainera,  funtzioa jarraitua denez, erro bat egongo da  tartean, bisekzio-metodoaren bidez lor daitekeena:
+Iterazioa1121.5−0.12521.521.751.609375031.51.751.6250.666015641.51.6251.56250.252197351.51.56251.53125000.059112561.51.53125001.5156250−0.034053871.51562501.53125001.52343750.012250481.51562501.52343751.5195313−0.010971291.51953131.52343751.52148440.0006222101.51953131.52148441.5205078−0.0051789111.52050781.52148441.5209961−0.0022794121.52099611.52148441.5212402−0.0008289131.52124021.52148441.5213623−0.0001034141.52136231.52148441.52142330.0002594151.52136231.52142331.52139280.0000780

Taulan bisekzio-metodoaren 15 iterazio ageri dira. Lehen errenkadan ikus daitekeen bezala, hasierako tartea  da,  eta  izanik. Iterazio bat aplikatuz, erdiko puntua  dela lortzen da, bere irudia  izanik. Hori dela eta,  denez,  da eta hurrengo iterazioko tartea kalkulatzeko  hartuko dugu. Hortaz, bigarren iterazioko tartea  izango da eta prozesu berdina aplikatuko diogu tarte horri.

13 iterazioren ondoren nabaria da bisekzio-metodoak 1.521 zenbakira konbergitzen duela. Beraz,  funtzioaren  tarteko erroa 1.521 zenbakitik oso hurbil egongo da. 

 Abantailak eta desabantailak 

 Abantailak 
Metodo sendoa da, hau da,  bada, beti lortuko du hurbilpen bat.

 Desabantailak 

 Metodoa motela da beste batzuekin alderatuta.
 Ez die hurbilpen onei probetxurik ateratzen; izan ere, iterazio batean lortutako hurbilpena aurreko iterazioko hurbilpena baino okerragoa izan daiteke.
 Funtzio jakin batzuetan ezin daiteke aplikatu. Erroa maximo edo minimo erlatibo batean badago, ezin da aplikatu,  izan baitaiteke nahiz eta erro bat izan barruan.

 Erreferentziak