Pellen ekuazioa

Pell-en ekuazio diofantoarra gisa honetako ekuazioa da: , zeinetan  zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan. 

Pellen ekuazioaren:  , parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: , eta  beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik  zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren  ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan. 

Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz:  zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea.  

Irudian , ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira:  

 Historia 
Ekuazio honen ikerketa antzinakoa da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.

Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.
Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots:    edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat (  ), (usategiaren printzipioa erabiliz). 

Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.

Oinarrizko ebazpena determinatzeko metodoa, zatiki jarraien bidez ebatziko dute: Euler(1748), Lagrange(1768) eta Galois(1828)-ek: zenbaki irrazional bikarratuak, zatiki jarraien bidezko garapenarekiko karakterizatuz.

 Oinarrizko ebazpena 
 zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: , bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak,  hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, , adieraziko da, hots: . Irudian agertu den kasuan: , ren oinarrizko ebazpena: . 

 Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.

Zatiki jarraien bidezko garapenaren . hondarra adieraziko da.

Zenbaki irrazionala:  , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: ,  berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.

Honela:  izango da zatiki jarraien bidezko garapena. 

Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:

 ,  bikoitia bada.

 ,  bakoitia bada.

Irudian agertu den kasuan: , ondorioz: , bakoitia. 

Eta oinarrizko ebazpena: 

 Bateragarritasuna 
Pellen ekuazioa, bateragarria da,   edozein zenbaki arrunt eta ez karratu izanik. Pell-en ekuazioak beti onartzen du ebazpen neutroa: , horregatik bateragarria dela diogunean, neutroa ez den ebazpen baten existentziaz mintzo gara.
Pell-en ekuazioa bateragarria dela frogatuko da,  edozein zenbaki arrunt eta ez karratu izanik. Honetarako Dirichlet-en bidea jarraituz: Lema bat, korolario bat eta proposizio bat frogatuz.

Oharra: Notazioetan,  bitartea erabiliko da, multzoa adierazteko, eta , berriz, -ren zati osoa adierazteko.

, aleph zero sinboloak infinitu kontagarria adierazten du, eta -k,  multzoaren elementu kopurua. 

Zenbaki arrazionalak:  

 Lema 
 emanik, -rentzat  non  eta .

 Froga. 
 zenbaki arrazionala,  eta  suposatzen da orokortasuna galdu gabe.

 emanik, ondorengo segida eraikiko da:  non  .

, -rentzat.

Honela  zenbaki ,  bitarte disjuntutan banatu dira, eta usategi printzipioa erabiliz, existitzen da bitarte bat, gutsienez bi zenbaki bere baitan dituena. 

, eta  non 

, eta  . Honela  eta  aukeratuz.

 non  eta .

 Korolarioa (Dirichleten teorema) 
 eta 

 Froga 
, hartuaz . Ondorioz .

Absurdura bideratuz suposa bedi,  dela (finitua).

Zenbaki arrazionalen arkimedesen ezaugarriagatik: .

 eta  zenbakiei, aurreko Lema  aplikatuz: 

Ondorioz, 

Eta bestalde 

Absurdua denez ezinezkoa da  finitua izatea

 Proposizioa 
 zenbaki arrunt eta ez karratua bada, Pell-en ekuazioak:  , badu ebazpen ez neutro bat.

 Froga 
 zenbaki arrunt eta ez karratua bada,  ez da zenbaki arrazionala: .

 zenbakiari aurreko korolarioa aplikatuz,  , zeinetan: 

. 

 Ondorengo emaitza frogatuko da hiru pausotan:

 non .

Zeinetan  multzoa den.

Bat: , forgatuko da, zeinetan  .                              Ondorengo desberdintzak betetzen dituzte  multzoko zatikiek:  emanik: , eta desberdintza triangeluarra erabiliz:

  .

Bi zenbakien biderketa eginez:

 . Honela: . Eta emaitza frogatzen da: .

Bi  zeinetan .   

Ondorengo aplikazioa sortuko da: , zeinetan .

Erraz frogatzen da ondo definitutako aplikazioa dela, eta supraiektiboa dela.

 supraiektiboa .

infinitua denez,  ere infinitua da: .

Hiru:  non  .

Zeinetan multzoa den.

Multzoen arteko ondorengo berdintza betetzen da:

.

Absurdura bideratuz    suposatzen bada.

. Multzo finituen batura finitua finitua izateagatik.

Honela,  ondorioztatu da, zeinak , ukatzen duen: absurdua.

Existitzen da beraz multzoren bat infinitu elementu dituena.
 Behin  aukeratu dugularik ( ) eta ,  multzoan Pellen ekuazioa betetzen duen ebazpen ez neutro bat existitzen dela frogatuko da. Ondorengo atalak frogatuz:
Bat: Ondorengo emaitza frogatuko da:

: ,  .

, aplikazioa eraikiko da zeinetan   ,  eraztuneko elementuak izanik.

 Multzoa infinitua izateagatik eta , multzoa berriz finitua, irudi berdineko bi elementu desberdin existitzen direla ondoriozta daiteke ( zentzu zorrotzean infinitu ere exititu arren). , eta  .

 eta .  non

 , honela :

 eta .

Bi: Ondorengo erlazioa frogatuko da: .

frogatuko da, lehenik. . 

Eta modu berean argudiatzen da: .

Ondorioz:.

Hiru: frogatuko da.

.

.

Lau:  eta frogatuko da.

Kenketa eginez: 

.

.

Bost: Pellen ekuazioaren ebazpen bat existitzen dela frogatuko da. 

 non 

.

Ondorioz Pell ekuazioaren ebazpen bat existitzen da: .

Sei: Ebazpena ez dela neutroa frogatuko da: .

Absurdura bideratuz,  baldin bada: .

 denez ondorengo zenbakiak sortuko dira:

.

Zenbaki hauen zatitzaile komunetako handiena: 

.

Eta: 

. 

Zenbaki oso bat bere alderantzizkoaren berdina bada, zenbaki oso hori: 1 edo -1 da.

 bada, bietako bat negatiboa da, eta aukeraketa  multzotik egin da ezinezkoa.

, bada   . Zeinak osagaien aukeraketa ukatzen duen, ezinezkoa.

Ondorioz: .

Kategoria:Ekuazio diofantikoak

 Adibideak 
Lehena:

, ez da karratua, eta beraz: , bateragarria.

, zatiki jarraien bidezko garapena. 

, bikoitia denez:   

Ebazpen minimoa: . 

. 

Lehen koadranteko ebazpen guztiak: 

Bigarrena:

, ez da karratua, beraz: , bateragarria da.

, zatiki jarraien bidezko garapena.

, bakoitia denez:

Ebazpen minimoa: 

Eta lehen koadranteko ebazpen guztiak: 

 Ebazpenak 
 -ren edozein baliorentzat  edo ,  beti dira , ekuazioaren ebazpen. Ebazpen hauek ebazpen neutroak edo berealakoak izendatzen dira.

,   ekuazioaren ebazpena bada eta bi osagaiak positiboak badira: , ebazpen hori ebazpen positibo izendatuko da .(Testuinguru honetan).

 Definizioa 
 Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik, ,   ekuazioaren oinarrizko ebazpena izendatuko da,  positiboa bada ( hots: ), eta edozein ebazpen positibo emanik: .

Ondorengo proposizioan oinarrizko ebazpena existitzen dela frogatuko da.

 Proposizioa 
 Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik,   ekuazioak badu oinarrizko ebazpena.

Froga

Dirichleten emaitzagatik:   Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik,    ekuazioak badu ebazpen ez neutro bat: , eta beraz:  eta zenbakiak ere ebazpen ez neutroak dira. Horietako bakar bat da positiboa:  positiboa dela suposatuko da orokortasuna galdu gabe. Honela: 



 aukeratuz ebazpen minimoa edo oinarrizko ebazpena existitzen da.

 Proposizioa 
 Zenbaki arrunt eta ez karratua izanik, ,   ekuazioaren oinarrizko 

ebazpena bada. Ebazpen positibo guztiak ondorengo multzoan daude:

Froga

  Ebazpena dela frogatuko da.

 Ebazpena denez: 

, adierazpena  aldagaia duen . graduko polinomio gisara ikus daiteke. Newtonen bidezko binomioaren garapena eginez:  adierazten bada: koefizienteak modu bakarrean determinatzen dira:

,  -ren berretzaile bakoitiak ezabatzen dira.

,   -ren berretzaile bikoitiak ezabatzen dira.

 Edozein ebazpen positibo  gisakoa dela frogatuko da.

Absurdura bideratuz suposa bedi, ebazpen positiboa dela eta ez dela  gisakoa.

 segida ertsiki gorakorra denez, -rekiko: . 
   adieraziz ondorengo emaitza lortu da: .
 Ikus dezagun ebazpena dela. 
 Ikus dezagun ebazpen positiboa dela. Edozein ebazpen positibok: , ondorengo desberdintza betetzen du. ,  eta positiboak direnez:.
 Ikus dezagun beste osagaia:  positiboa dela. Absurdura bideratuz  bada. . Eta bestalde: , ezinezkoa. Eta ondorioz positiboa da.
 Ondorengo errekurrentzi araua ondorioaztatu da. Baldin eta existizen bada ebazpen  postiboa eta ez dena  gisakoa, orduan existitzen da  :ebazpen positiboa, ez denagisakoa, eta  baino txikiagoa.  Araua  aldiz errepikatuz: Existizen da :, ebazpen positboa non:. Eta bestalde ebazpen minioa izateagatik: . Ezinezkoa da.
 Ondorioa: edozein ebazpen positibo  gisakoa da.

 Erreferentziak 

 Ikus, gainera 
 Pellen ekuazioaren bateragarritasuna
 Pellen ekuazioaren ebazpen guztiak

 Kanpo estekak 

Kategoria:Ekuazio diofantikoak