Galoisen teoria

Matematikan, Galoisen teoriak, Évariste Galois matematikariak abiaraziak, gorputz teoria eta talde teoriaren arteko lotura ezartzen du. Lotura horrek, Galoisen teoriaren oinarrizko teorema izenez ezagunak, gorputz teoriako zenbait problema talde teoriaren bidez ebaztea ahalbidetzen du; problemak sinplifikatu eta ulerterrazagoak bihurtuz.

Galoisen motibazioa alor hau garatzeko polinomioen erroak aztertzea izan zen. Bere lanak ahalbidetu zion erradikalen bidez ebazgarriak diren ekuazio polinomikoak beraien erroen permutazioen taldearen propietateen arabera karakterizatzea - ekuazio bat erradikalen bidez ebazgarria dela esaten da, baldin eta bere erroak zenbaki oso, n. erro eta oinarrizko lau eragiketa aritmetikoen bidez adieraz badaitezke. Honek, Abel-Ruffiniren teorema era nabarian orokortzen du, zeinak dion 5. maila edo handiagoko polinomio orokor bat ezin dela erradikalen bidez ebatzi.

Galoisen teoria hainbat problema klasiko ebazteko erabili da, tartean, antzinako bi problema ebazgarriak ez direla frogatzeko (kuboaren bikoiztea eta angeluaren trisekzioa). Horrez gain, eraikigarriak diren poligono erregularren karakterizazioa ere ahalbidetzen du (karakterizazioa Gaussek eman zuen lehenik, baina karakterizazioa erabatekoa dela ziurtatzen duten froga ezagun guztiek Galoisen teoria beharrezkoa dute).

Galoisen lana Joseph Liouvillek argitaratu zuen, bere heriotzatik hamalau urtetara. Hala ere, matematikarien artean ondo ulertua izan eta arrakastatsu bihurtu arte urte gehiago pasa ziren.

Galoisen teoria Galoisen konexio eta Grothendiecken Galoisen teoriara orokortua izan da.

 Erabilerak problema klasikoetan 
Galoisen teoriaren iturria eta garapena XIX. mendearen hasieran eta egunera arte erantzungabeko matematikako galderarik garrantzitsuenetariko batengatik:Bosgarren edo maila altuagoko edozein polinomiorako existitzen al da formula bat haren koefizienteen menpe, soilik ergiketa aljebraikoak (batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa) eta radikalak (erro karratua, erro kubikoa...) erabiliz haren erroak kalkulatzeko?Abel-Ruffiniren teoremak kontraadibideak ematen ditu, eta bosgarren mailako polinomio batzutarako halako formulak ez direla existitzen frogatzen da. Hala ere, Galoisen teoria emaitza zabalago bat ematen du. Ekuazio polinomiko batzuk zergatik ebatz daitekeen goian aipatutako moduan azaltzen du, baita zergatik bosgarren eta maila altuagoko ekuazioetarako ezinezkoa den. Are gehiago, ekuazio polinomiko bat noiz ebatz daitekeen irizpide bat ematen du.

Galoisen teoriak ikuspuntu argi bat ematen du eskuaira eta kartaboia erabiltzen diren galdera batzuk erantzuetako. 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Galoisen teoria