Autobalioak eta autobektoreak

Aljebra linealean, eragile lineal baten bektore propioa edo autobektorea (eigenvector ingelesez) bektore ez-nulu bat da, eta, operadoreak transformatzen duenean, bere buruaren multiplo eskalarra eratzen du, eta, beraz, ez du norabidea aldatzen. Bektoreari  dagokion  balio propioa, eigenvalue-a edo  autobalioa, askotan -ren bidez adierazten dena, autobektorea eskalatzeko faktore hura da.

Geometrikoki, autobektore bat, autobalio erreal ez-zero bati dagokiona, transformaziotik luzatzen den norabidea adierazten du, eta autobalioa bektorea luzatzen den faktorea da. Autobalioa negatiboa bada, norabidea alderantzikatu egiten da.

Oro har, dimentsio anitzeko bektore-espazio batean, autobektorea ez da biratzen.

 Definizio formala 
T aplikazioa V espazio bektorial baten transformazio lineala bada F eremu baten gainean definituta, eta  zero ez den bektore bat bada V bektore espazioan, orduan v T-ren autobektore bat da baldin eta T(v) v-ren multiplo eskalar bat bada. Honela idatz daiteke hori:non  baita F eremuan eskalar bat, autobalioa, balio bereizgarria edo v-rekin lotutako erro bereizgarria.

Zuzeneko korrespondentzia dago nxn matrize karratuen eta espazio bektorial baten transformazio linealen artean, espazio bektorialaren edozein oinarri hartuta. Hala, dimentsio finituko bektore espazio batean, autobalioak eta autobektoreak definitzea baliokidea da, matrizeen hizkuntza edo transformazio linealen hizkuntza erabiliz.

V dimentsio finituko espazio bat bada, aurreko ekuazioa  honela geratuko danon  baita T-aplikazioaren adierazpen matriziala, eta  baita v-ren bektore koordenatua.

 Sinopsia 
Autobalioak eta autobektoreak leku nabarmena hartzen dute transformazio linealen azterketan. Eigen aurrizkia alemaniar eigen hitzetik hartzen da (cognate con la palabra inglés own) 'egokia', 'karakterisitkoa', 'berekoa' hitzetarako.  Gorputz zurrunen errotazio-mugimenduaren ardatz nagusiak aztertzeko erabiltzen diren jatorrian, autobalioek eta autobektoreek aplikazio-sorta zabala dute; adibidez, egonkortasun-analisian, bibrazioen analisian, orbita atomikoetan, aurpegiaren azterketan eta matrizearen diagonalizazioan.

Funtsean, T transformazio linealeko v autobektorea zero ez den bektore bat da, eta, T bektoreari aplikatzen zaionean, ez da norabidea aldatzen. T autobektoreari aplikatzean, autobektorea soilik eskalatzen da λ balio eskalarraren bidez, autobalioa deritzona. Baldintza hori honela idatz daiteke:autobalioen ekuazioa edo auto-ekuazioa deitzen zaio. Oro har, λ edozein eskalar izan daiteke. Adibidez, λ negatiboa izan daiteke; kasu horretan, autobektorearen norabidea alderantzikatzen, edo zero edo konplexua izan daiteke.
Hemen erakusten den Mona Lisa-ren irudiak adibide  sinple bat erakusten du. Pinturaren puntu bakoitza bektore gisa adieraz daiteke, pinturaren erdigunetik puntu horretara. Adibide honetako transformazio linealari ebaketa-mapa deritzo. Goiko erdiko puntuak eskuinera mugitzen dira, eta beheko erdiko puntuak ezkerrera mugitzen dira, pinturaren erditik pasatzen den ardatz horizontaletik urrun dagoenaren proportzioan. Beraz, jatorrizko irudiaren puntu bakoitza seinalatzen duten bektoreak eskuinerantz edo ezkerrerantz okertzen dira, eta luzeagoak edo laburragoak bihurtzen dira transformazioan. Ardatz horizontaleko puntuak ez dira inolaz ere mugitzen eraldaketa hori aplikatzen denean. Beraz, osagai bertikalik gabe zuzenean eskuinera edo ezkerrera begira dezakeen edozein bektore eraldaketa horren autobektore bat da, mapatzeak ez baitu bere norabidea aldatzen. Gainera, autobektore horiek guztiek balio bera dute, mapatzeak ere ez baitu luzera aldatzen.

Transformazio linealek hainbat forma har ditzakete, bektore-espazio desberdinetan bektoreak mapatuz; beraz, autobektoreek ere forma asko har ditzakete. 

Adibidez, transformazio linealak nxn matrize karratuaren forma har lezake, eta, kasu horretan, autobektoreak nx1 matrizeak dira. Transformazio lineala  n  ordeneko A matrize karratuaren bidez adierazten bada, orduan, aurrean ikusitako auto-ekuazioa  matrize biderketa gisa berridatz daitekenon v autobektorea nx1 matrize bat baita. Matrize baterako, autobalioak eta autobektoreak erabil daitezke matrizearen deskonposizioa egiteko, adibidez, diagonalizazioaren bidez.

Autobalioek eta autobektoreek lotura estua duten matematika-kontzeptu asko sortzen dituzte, eta auto aurrizkia modu liberalean aplikatzen da horiek izendatzen dituenean:

 Transformazio lineal baten autobektore guztien multzoari, bakoitza bere autobalioarekin parekatuta, eraldaketa horren autosistema deritzo. 
 autobalioa berari dagozkion T-ren autobektore guztien multzoari, zero bektorearekin batera, autoespazio deritzo, edo autobalio horri lotutako T-ren espazio bereizgarria. 
 T-ren autobektore-multzo bat T-ren domeinuaren oinarri bat bada, oinarri horri auto-oinarri deritzo.

 Historia 
Autobalioak aljebra linealaren edo matrizearen teoriaren testuinguruan sartzen dira maiz. Historikoki, ordea, forma koadratikoen eta ekuazio diferentzialen azterketan sortu ziren.

XVIII. mendean, Leonhard Euler-rek aztertu zuen gorputz zurrun baten errotazio-mugimendua eta ardatz nagusien garrantzia aurkitu zuen. Joseph Louis Lagrange konturatu zen ardatz nagusiak inertzia-matrizearen autobektoreak zirela. 

XIX. mendearen hasieran, Augustin-Louis Cauchyk ikusi zuen nola erabil zitekeen bere lana lauki-gainazalak sailkatzeko, eta nola orokortu nahi zituen.  Cauchy arrazne caractéristique ere sortu zen (sustrai bereizgarria), eta, beraz, orain balio propioa(eigenvalue) du izena; termino hori ekuazio karakteristikoan bizi da. {{Efn| Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (Memoir on the integration of linear equations), Comptes rendus, 8: 827–830, 845–865, 889–907, 931–937.  From p. 827: "On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les racines d'une certaine équation que j'appellerai léquation caractéristique, le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."  (One knows, moreover, that by following Lagrange's method, one obtains for the general value of the principal variable a function in which there appear, together with the principal variable, the roots of a certain equation that I will call the "characteristic equation", the degree of this equation being precisely the order of the differential equation that must be integrated.)}}:

Geroago, Joseph Fourier-ek Lagrangeren eta Pierre Simon Laplace-ren lana erabili zuen aldagaiak banatzearen bidezko bero-ekuazioa ebazteko 1822ko Théorie analytique de la chaleur liburu ezagunean. [12] François Sturmek are gehiago garatu zituen Fourier-en ideiak, eta Cauchyri jakinarazi zizkion; hark bere ideiekin konbinatu zituen, eta benetako matrize simetrikoek autobalioak dituztela ikusi zuen. [11] Hori Charles Hermite-k zabaldu zuen 1855ean, eta orain matrize hermitiarrak deitzen zaie. 

Aldi berean, gutxi gorabehera, Francesco Brioschik frogatu zuen matrize ortogonalen eigenbalueak zirkulu unitarioan daudela,[11], eta Alfred Clebschek aurkitu zuen inklinazioaren matrize asimetrikoei dagokien emaitza. [13] Azkenik, Karl Weierstrass-ek Laplacek hasitako egonkortasunaren teoriaren alderdi garrantzitsu bat argitu zuen, matrize akastunek ezegonkortasuna eragin dezaketela konturatu baitzen. 

Bitartean, Joseph Liouville-k eigenvalue arazoak aztertu zituen, Sturm-en antzekoak; orain, Sturm–Liouville-ren teoria da bere lanetik sortu zen diziplina. [14] Schwarzek Laplaceren ekuazio-ko lehen eigenvalue aztertu zuen XIX. mendearen amaieran, eremu orokorretan; Poincaré-k, berriz, Poisson-en ekuazioa aztertu zuen urte batzuk geroago. 

XX. mendearen hasieran, operadore integralen autobalioak aztertu zituen David Hilbert-ek, operadoreak matrize infinitu gisa ikustean.  Alemaniako eigen hitza, "norberarena" esan nahi duena, erabili zuen lehena izan zen eigenvalues eta eigenvektoreak denotatzeko 1904an,[modest-alpha 3], nahiz eta Herman von Helmholtz-en erabilera bati jarraitu ahal izan zion. Denbora batez, ingelesezko termino estandarra "berezko balioa" izan zen, baina "eigenvalue" terminorik bereizgarriena gaur egungo estandarra da. 

Eigenvalues eta eigenvektoreak konputatzeko lehen zenbakizko algoritmoa 1929an agertu zen, Richard von Mises-ek potentzia-metodoa argitaratu zuenean. Gaur egungo metodo ezagunenetako bat, QR algoritmoa, John G. F. Francis[18] eta Vera Kublanovskaya[19] autoreek proposatu zuten 1961ean. [20][21]

 Autobalioak eta matrize-autobektoreak 
Eigenbalueak eta eigenvektoreak askotan sartzen zaizkie ikasleei, matrizeetan oinarritutako aljebra linealeko ikastaroen testuinguruan.Cornell University Department of Mathematics (2016) Lower-Level Courses for Freshmen and Sophomores. Accessed on 2016-03-27.
Gainera, bektore-espazio finitu baten gaineko transformazio linealak matrizeen bidez adieraz daitezke,[2][3], eta hori oso ohikoa da zenbakizko aplikazioetan eta aplikazio konputazionaletan. 
eskuinera|thumb|250x250px|A matrizeak x bektorea luzatuz jarduten du, haren norabidea aldatu gabe; beraz, x A-ren eigenvektore bat da.
Har itzazu  eskalarren zerrenda gisa eratzen diren n-dimentsioko bektoreak, hala nola bektore tridimentsionalak.Esaten da bektore horiek elkarrekiko multiplo eskalarrak direla, edo paraleloak edo kolinealak, baldin eta  eskala bat badago:Kasu honetan 

Har dezagun, orain, n dimentsioko bektoreen transformazio lineal bat 

nxn dimentsioko A  matrize batek  definitutakoa,edonon, ilara bakoitzeko,Gertatzen bada  eta  multiplo eskalarrak direla, hau da:

orduan,  transformazio linealeko autobektore bat da, eta  eskala-faktorea autobalioa da, autobektore horri dagokiona. () ekuazioa A matrizearen autobalio ekuazioa da.

() ekuazioa honela adieraz daiteke:

non  baita nxn identitate-matrizea, eta 0 baita zero bektorea.

 Autobalioak eta polinomio bereizgarria 

() ekuazioak badu zero ez den  soluzioa baldin eta (A–λI) matrizearen determinantea zero bada. Beraz, ekuazio hau betetzen duten λ balioak dira A-ren autobalioak:Leibniz-en formula determinatzaileetarako erabiliz, () ekuazioaren eskuineko aldea λ aldagaiaren funtzio polinomiala da, eta polinomio horren maila n da, A matrizearen ordena. Haren koefizienteak A-ren sarreren araberakoak dira, n gradu-terminoa beti (–1)nλn denean izan ezik. Polinomio horri Aren polinomio bereizgarria deitzen zaio. () ekuazioari A-ren ekuazio karakteristikoa edo ekuazio sekularra deritzo.

Aljebraren oinarrizko teoremak adierazten du nxn A matrize baten polinomio bereizgarria, n graduaren polinomio bat izanik, n termino linealen biderkaduran faktoriza daitekeela,   bakoitza erreala izan daiteke, baina, oro har, zenbaki konplexua da. Polinomioaren erroak zenbatzeko   zenbakiak erabiltzen dira baina litekeena da balio ezberdinak ez izatea, eta A-ren autobalioak dira.

Adibide labur gisa, aurrerago adibideen atalean zehatzago deskribatzen dena, har ezazu ondoko matrizea  matrizearen determinatzailea hartuta, A matrizearen polinomio bereizgarria kalkulatuko da:Polinomio bereizgarriaren balioa zero denean, λ=1 eta λ=3 erroak ditu, A-ren bi autobalioak. Autobalio bakoitzari dagozkion autobektoreak aurkitzeko ondoko ekuazioa ebatzi  

eta v-ren osagaiak lortu. Adibide honetan, honako hauen multiplo eskalar ez-nuluak dira autobektoreak:A matrizeko sarrerak zenbaki errealak badira, polinomio karakteristikoaren koefizienteak ere zenbaki errealak izango dira, baina autobalioek irudimenezko zati ez-nuluak izan ditzakete. Beraz, autobektoren sarrerek ere irudimenezko zati ez-nuluak izan ditzakete. Era berean, autobalioak zenbaki irrazionalak izan daitezke, baita A sarrera guztiak zenbaki arrazionalak badira edo denak osoak badira ere. Hala ere, A-ren sarrerak zenbaki aljebraiko guztiak badira, arrazionalak barne, autobalioak zenbaki aljebrako konplexuak dira.

Benetako koefizienteak dituen polinomio erreal baten erro ez-errealak multzokatu egin daitezke konjokatu konplexuen bikoteetan, hau da, bikote bakoitzeko bi kideekin, zeinuan eta parte erreal berean soilik bereizten diren irudizko zatiak dituztela. Gradua bitxia bada, erdiko balioaren teoremagatik, gutxienez sustraietako bat erreala da. Beraz, ordena bakoitia duen edozein matrize errealek autobalio erreal bat du gutxienez, eta ordena bikoitia duen matrize erreal batek, berriz, baliteke autobalio errealik ez izatea. Autobalio konplexu horiei lotutako autobektoreak ere konplexuak dira, eta bikote konjugatu konplexuetan ere agertzen dira.

 Aniztasun aljebraikoa 
 n ordeneko  A matrizeko autobalio bat izanik,  aniztasun aljebraikoa''' autobalio polinomio karakteristikoaren erro gisa duen aniztasuna da, hau da, k osoko handiena, non polinomio hori uniformeki zatitzen baita. [9][25][26

Demagun A matrizeak n eta d·n dimentsio autobalio desberdinak dituela. () ekuazioak Aren polinomio bereizgarria zehazten du termino linealak errepikakor izan daitezkeen zenbait terminorekin biderkatzean; polinomio bereizgarria, berriz, autobalio bati dagozkion d terminoen biderkadura gisa idatz daiteke, eta biderkadura hori aniztasun aljebraikoaren potentziarekiko desberdina eta handia da.d = n bada, eskuineko aldea n termino linealen biderkadura da, eta hori () ekuazioaren berdina da. Autobalio bakoitzaren aniztasun aljebraikoaren tamaina n'' dimentsioarekin lotuta dago, honela:μA(λi) = 1 bada, esan ohi da λi autobalio sinplea dela.  μA(λi) hurrengo atalean definitutako λi-ren aniztasun geometrikoaren berdina bada, γA(λi) esaten da λi autobalio semisimple dela.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

 Aplikazioak 

 Eraldaketa geometrikoen eigenbalioak 
+Eraldaketa geometrikoen eigenvaluesaEskalaEskala desberdinaErrotazioaEbakitzaile horizontalaErrotazio hiperbolikoaIrudiaalt=Equal scaling (homothety)|100x100pxalt=Vertical shrink and horizontal stretch of a unit square.|100x100pxalt=Rotation by 50 degrees|100x100pxalt=Horizontal shear mapping|erdian|100x100px100x100pxMatrizeaEzaugarriakEigenbalueak, Multo algebraikoa,Isun geometrikoa,EigenvektoreakBektore ez-nulu guztiak
Errotazio baten ekuazio karakteristikoa ekuazio koadratiko bat da, diskriminatzailea duena, eta zenbaki negatiboa da  ez denean 180º-ren multiplo osoa. Beraz, kasu berezi horietan izan ezik, bi eigenbalueak zenbaki konplexuak dira, ; eta eigenvektore guztiek sarrera ez-errealak dituzte. Izan ere, kasu berezi horietan izan ezik, biraketa batek zero ez den bektore bakoitzaren norabidea aldatzen du planoan.

Lauki bat zona bereko laukizuzen batera daraman transformazio linealak (mapa zukutua) autobalio elkarkariak ditu.

 Osagai nagusien azterketa(PCA) 
eskuinera|thumb|Aldagai anitzeko banaketa gaussiarraren ACP, direkzioan 3 inguruko desbiderapen estandarra eta norabide ortogonalean 1 ingurukoa duena. Erakutsitako bektoreak kobariantza-matrizearen (simetrikoa, errepikatua-erdifinitua) bektore unitarioak dira, eta dagokion eigenvaludearen erro karratutik eskalatzen dira. Dimentsio bakarreko kasuan bezala, erro karratua hartzen da desbiderapen estandarra bariantza baino errazago ikusten delako.

 Oharrak 

 Erreferentziak 

 Bibliografia 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Fisika matematikoa
Kategoria:Aljebra lineala
Kategoria:Aljebra abstraktua
Kategoria:Testuan alemana duten artikuluak
Kategoria:Gainbegiratu gabeko itzulpenak