Homotopia

Topologian, topologia aljebraikoan bereziki, espazio batetik beste batera doazen bi funtzio jarraitu (bi grafo jarraitu) homotopikoak direla esaten da baldin eta, itsatsi eta moztu gabe, horietako funtzio (grafo) bat besteraino deforma badaiteke. Deformazio horri homotopia deitzen zaio.

Hitza grekotik dator: Homos = berdin, topos = lekua.

 Definizio formala 
Izan bitez  eta  bi espazio topologiko. Orduan, bi aplikazio jarraitu  homotopoak direla esaten da baldin eta existitzen bada beste aplikazio bat () jarraitua dena eta honako hau betetzen duena: 





-ren bigarren parametroa denbora gisa hartzen badugu,  funtzioa -ren -rako deformazio jarraitua izango da: 0 unean  funtzioa dugu, eta 1 unean, .

Homotopiaren ohiko adibide bat:

, non  den,  eta  jarraituak diren edozein funtzio izanik.

Izan ere,  balioan -k  balio du, eta  balioan, berriz, . Gainera, adibide hau gehiago orokortu daiteke,  hartuz,  azpiespazio konbexua izanik. Homotopia honi homotopia lineala deritzo.

 Propietateak 

 Bi funtzio jarraitu,  eta , homotopoak badira  homotopiaren bidez, -k deskribatzen dituen bitarteko funtzio guztiak jarraituak izango dira.

 Bi funtzio,  eta , homotopoak direla adierazteko,  idazten da, hau da, homotopoak izatea baliokidetasun-erlazioa da -tik -ra doazen funtzio jarraitu guztien multzoan. Erlazio honen baliokidetasun-klaseei homotopia klaseak deritze.

 Homotopiak konposaketarekin bateragarriak dira hurrengo eran:  homotopoak badira, eta  homotopoak badira, orduan haien konposaketak  eta  ere homotopoak izango dira.
 Izan bitez  funtzio analitiko bat -n, eta  bi kurba itxi, zatika deribagarriak eta deribatu jarraituekin (hots, zatika ). Horrela,  eta  -n homotopikoak badira, orduan: . Hau da, funtzio batek ibilbide baten gainean eragindako efektu totala ez da aldatzen kurba homotopikoetan, bereziki, kurba hori espazioan zehar mugitzen bada, translazio hori homotopia bat baita.

 Adibideak 
Lehenengo adibidea

Izan bitez  eta  espazio bateko bi puntu eta  eta  bi puntu horien arteko bi ibilbide ezberdin. Egoera horretan,  homotopia baten bitartez, -tik -ra pasa gaitezke ibilbidea itsatsi eta moztu gabe.

 homotopia horren adierazpena hurrengoa litzateke: , non  eta   diren.

Bigarren adibidea

Izan bedi  erradioko  zirkunferentzia bat. Orduan,  zirkunferentzia horren erradio bikoitza duen  zirkunferentzia baterako transformazioa homotopia sinple bat izango litzateke.

-ri dagokion adierazpena hauxe da: , non  den.

Beraz,  zirkunferentziaren adierazpena, -ren erradio bikoitza duenez,  da,  izanik. 

Azkenik, ohartu  dela eta, hori dela-eta, -tik -rako homotopia hurrengoa izango da: , non  eta  diren. Ohartu -k hurrengoa betetzen duela: 

, 

. 

 Erabilerak 
Homotopiek erabilera anitz dituzte eta, aurretik aipatutako kasuetan, hurrengo erabilerak eman ahal zaizkie:

Lehenengo erabilera (lehenengo adibideari dagokiona)

Errepide-sareen arloan, homotopiak erabilgarriak izan daitezke baldin eta dagoeneko eginda dagoen bide baten ibilbidea aldatu nahi bada.

Izan bitez  eta  bi herri eta  eta  bi funtzio. Demagun lehenengoaren (hots, -ren) grafoak  eta  herrien arteko errepidea irudikatzen duela. Orain, demagun errepide hori desbideratu nahi dela, eta bide berriak  funtzioaren grafoaren irudi berdina izatea nahi dela.

Kasu honetan, hau izango da defini daitekeen homotopietariko bat:  non  eta  diren.

Hortaz,  -tik -rako transformazioa dela esan daiteke. 

Bigarren erabilera (bigarren adibideari dagokiona)

Izan bedi, baldintza arruntetan,  unitateko erradioa duen  eraztun elastikoa eta demagun eraztun horren tamaina bikoiztu nahi dugula, beti ere eraztun baten forma mantenduz, hau da, proportzioa mantenduz.

Demagun  eraztunak -ren adierazpena duela, non  den.

Ohartu -ren tamaina bikoitza duen  eraztun batek adierazpen hau duela: , non  den. Orduan, -tik -rako transformazioa hurrengoa da:

, non  eta  diren. 

 Ibilbide homotopia 
Izan bitez   ibilbideak, non  eta  diren. Orduan, baldin eta bi ibilbideen arteko eremuan zulorik ez badago, -ren -rako ibilbideen homotopia  funtzioa da, non  guztietarako  eta  betetzen den.

 ibilbidearen  ibilbiderako homotopia existitzen bada,  bezala denotatuko da eta baliokidetasun-erlazioa izango da, homotopia arrunten kasuan bezala.

 Propietatea 

 Izan bitez  bideak, -n definituta,  eta  betetzen direlarik. Orduan, .

 Zerora homotopoa 

 Ibilbideak

Izan bitez  eremua eta  ibilbide itxia. Orduan, esaten da  ibilbidea zerora homotopoa dela  multzoan, existitzen badira  eta  funtzio jarraitua, zeinetarako:

 betetzen den.

Hitzekin azalduta:

 ibilbidea zerora homotopoa dela esaten da, baldin eta existitzen badira  puntua eta  funtzio jarraitua, zeinetarako jurrengo bi baldintzak betetzen diren:

 Deformazioaren momentu orotan ibilbidea itxi mantentzen bada: . Edo, matematikoki berdina dena,  guztietarako  ibilbide itxia bada. Baldintza honek  homotopia izatea bermatzen du.
 Ibilbidea era jarraituan puntu bateraino (-tik atera gabe) deforma badaiteke: .

 bada, ibilbide itxi bat zerora homotopoa izango da baldin eta barruan geratzen den -ren eremua zulorik ez badu.thumb|150x150pxAplikazioak/funtzioakthumb|150x150px
 aplikazioa zerora homotopoa dela esaten da baldin eta  guztiak  finko bateraino eramaten dituen aplikazio konstante batera homotopoa bada.

Gaur egun, orokorrean, mapa bat zerora homotopoa den ala ez jakitea nahiko zaila da, eta ez dago hori egiaztatzeko erraza den irizpiderik. Hori dela eta, kohomologian oinarritutako egitura gehigarriak eta irizpide diferentzialak erabiltzen dira.

 Propietatea 
Cauchyren teorema integrala.

Izan bitez:

 ,
  funtzio analitikoa -n,
  kurba itxia eta zatika , hots, bere deribatua zatika jarraitua -n.

Horrela,  kurba -n zerora homotopoa bada, hots, puntu batera homotopoa bada, orduan, . Izan ere,  kurba  puntu batera homotopoa bada, orduan, kurba konstante batera homotopoa izango da (); eta, ondorioz, aurretik azaldutako propietateagatik,.

 Homotopiak kurba itxien parametrizazioetan 
Izan bitez  kurba jarraitu eta itxi baten parametrizazioa,  estaltze aplikazioa,  non  den, eta  lifting-a, non  den.

Horrela, -ren gradua ( moduan adieraziko duguna)  bada, orduan  -ren homotopoa den edozein  kurbaren gradua -ren berdina izango da ().

 Erreferentziak 

 Bibliografia 
Invitación a la teoría de Homotopía - Angélica M. Osorno: https://www.usfq.edu.ec/sites/default/files/2021-04/osorno.pdf

Notas del curso Variable Compleja 1 de la facultad de ciencias UNAM - Esteban Rubén Hurtado Cruz & Ofelia Cepeda Camargo & Selma Fernanda Espinosa Guevara: https://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/variable_compleja_2021_1/homotopia_2022.pdf
 Kanpo estekak 

Kategoria:Funtzioak
Kategoria:Topologia aljebraikoa