D’Alembert irizpidea

D'Alemberten irizpidea (edo zatiduraren irizpidea) gai positiboetako serientzat erabiltzen da, hauen izaera aztertzeko. Demagun  gai positiboetako seriea daukagula, eta demagun ondorengo limitea existitu egiten dela: 

(i) Baldin eta  bada, orduan  konbergentea da.

(ii) Baldin eta  bada, orduan  dibergentea da.

Bestetik,   bada, orduan  konbergentea zein dibergentea izan daiteke.

 Froga 

 Lehenengo atala 
Lehenik eta behin lehengo atala frogatuko dugu:

 denez,  hartuko dugu, eta bestetik badakigu gai positiboetako seriea denez 

Segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz: 

Ezkerretan daukagun ""  hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

Edo beste era batera esanda:

bakandutako adierazpenari  deituko diogu ( izango dena  delako), eta badakigu  dela, beraz:

Hau da  bada, , beraz konparazio irizpidearen ondorioz:

 eta  gai positiboko serieak, 

Kasu honetan  izanik, eta  denez  konbergentea da, eta ondorioz  ere konbergentea izango da.

Beraz lehengo atala frogatuta geratzen da.

 Bigarren atala 
Orain bigarren atala frogatuko dugu:

Kasu honetan  edo  izan daiteke.

  bada,  hartuz, existitzen da  non  guztietarako   izango den.
  bada, eta  izanik,  kasu honetan hau frogatzeko  hartuko dugu. Oraingoan ere segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz: 

Ezkerretan daukagun "" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

Hau da, bi kasuetan adierazpen berdinera iristen gara, existitzen da  non  guztietarako   izango den.

Beraz, , hau da, gai positibotako segida gorakorra dugu eta ondorioz,  ezin da 0 izan eta, hortaz,  dibergentea da.

Bigarren atala ere frogatu dugu.

 Adibidea 
 konbergentea da.

Lehenik eta behin  finkatuko dugu:

 da  guztietarako, beraz aplikatu dezakegu D'Alemberten irizpidea:

Sinplifikatuz:

Eta lehenengo atalaren ondorioz badakigu  bada, orduan  konbergentea dela. Beraz,  konbergentea da.

 Kanpo estekak 

Kategoria:Analisi matematikoa
Kategoria:Konbergentzia frogak