Reissner eta Nordströmen metrika

Fisika eta astronomian, Reissner eta Nordström-en metrika Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen soluzio estatikoa da. M masa estatiko, q karga eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen grabitazio-eremu baten kasuan. Soluzio hau Kerr eta Newman-en metrikaren kasu partikularra da non masa biratzen ari den.

1916an eta 1921ean Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström eta George Barker Jeffery-k deskubritu zuten era independentean. 

 Metrika 
Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

non  energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

Gainera,  Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu 

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez (t,r,θ,Φ) koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

non  angelu solidoaren infinitesimala den.

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz 

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan  eta  q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero  aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz,  ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean  dago. Ondorioz  eta infinituan . Beraz, r guztietarako,

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

non  Schwarzschilden erradioa eta  diren,  gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota ) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu  limitean.  eta  limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.

Masa r koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka baliokidetasunaren printzipioaren arabera.

 Horizonteak 
Izan bedi hurrengo koefizientea;

non 

Q kuadratikoaren diskriminantea  da.


Kuadratikoak ez du soluzio errealik eta ondorioz positiboa da r-ren balio guztietarako. Honek esan nahi du ez dagoela gertaeren mugarik. Ondorioz, singularitate bakarra  jatorrian dago eta biluzia dela esaten da. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen q karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.

 planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:


Geodesiko nulu erradiala hurrengo eran idazten da;

Ondorioz, hurrengo moduan idazten da metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

I eremua,  gertaera-horizontea da eta ondorioz ezin da zeharkatu. 
 II eremua,  eskualde honetan dauden partikula eta fotoiek  gainazala zeharka dezakete.
 III eremua,  eremu hau ez da zertan  singularitatera iritsi behar.

Aurreko kasuaren limite bat da non gertaeren horizontea degeneratua den,  gertaeren-horizontean izan ezik, r koordenatua espazio motakoa da.  puntua Schwartzilden  kasuaren antzekoa da. Geodesika nulu erradialen ekuazioa honako hau da;

eta metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

 Denboraren zabalkuntza grabitazionala 
Denboraren zabalkuntza grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;

ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;

 Christoffel-en ikurrak 
Christofellen ikurrak

hurrengo adierazpenak dakarzkite

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.Leonard Susskind: The Theoretical Minimum: Geodesics and Gravity, (General Relativity Lecture 4, timestamp: 34m18s)Eva Hackmann, Hongxiao Xu: Charged particle motion in Kerr–Newmann space-times

 Higidura ekuazioak 
Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, θ erabiliko dugu φ-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan  q kargako partikula baten higidura

da eta ondorioz,

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, 

Higidura konstanteak -rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,



Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da

 eta , -en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

Berriro ere -rekin biderkatuz eta integratuz

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa

da.

 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta lehen deribatuak -ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

Proba-partikularen energia orbital espezifikoa

eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira.   eta abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

izango da,

 Zuzenketa kuantikoak 
Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa. Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:



non  energia eskala den. Alde batetik,   eta  koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde,  eta  koefizienteak kalkulagarriak dira.  operadorea integral baten bidez adierazi daiteke



Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika,  ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:



non




 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 

Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
 Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
 Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations

Kategoria:Erlatibitate orokorra
Kategoria:Eponimoak
Kategoria:1918 zientzian