Hurwitzen zeta funtzio

Matematikan, Hurwitzen zeta funtzioa zeta funtzio ugarietako bat da. Honela definitzen da formalki s argumentu konplexu baterako eta q argudio erreal baterako:



Segida hori konbergentea da q>0 eta Re(s)>1 direnean. q zenbaki ez-positibo osoa bada, jotzen da ez direla kontuan hartzen izendatzaile nulua duen ondorengoetako terminoak. Hala ere, oro har, bat 0 < q ≤ 1 baino ez da, eta horrek funtzio horri aplika dakizkiokeen formuletako asko sinplifikatzen ditu.

Kontuan izan behar da, berez, ez dagoela ezer q aldagaia konplexua ez izateko (kasu horretan, Re(q)>0 murrizketa naturala da, nahiz eta ezinbesteko baldintza ez izan). Hedapen hori beharrezkoa da Schwingerren formularako, elektroi bikoteen ekoizpen-erritmorako.

 Hedapen analitikoa 
Hurwitz-en zeta funtzioak s ≠ 1 duten zenbaki konplexu guztietarako zehaztutako funtzio meromorfiko baterako hedapen analitikoa izan dezake. s = 1 denean, 1 hondarreko polo bakuna du. Termino konstantea honela adierazten da:



non Γ baita Gamma funtzioa, eta ψ baita digamma funtzioa.

 Segidaren irudikapena 
1930ean, Helmut Hassek segida konbergente baten forma aurkitu zuen, q > −1ek definitua, eta zenbaki konplexu guztientzat s ≠ 1:Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.



Segida hori uniformeki bateratzen da s planoko azpimultzo trinko batean, funtzio oso batera. Barne-batuketak ren n-garren diferentzia progresibo gisa ulertu behar da, hau da,



non Δ baita eragile diferentzial progresiboa. Beraz, baliagarria da baildin eta





 Irudikapen integrala 
Funtzioak Mellinen transformatuaren araberako irudikapen integrala du. Hau da:



 denean.

 Hurwitzen formula 
Hurwitzen formulak teorema hau ezartzen du: 



izanik 



zetaren adierazpen bat da, eta balio du -rentzat. Non,  polilogaritmoa baiten. 

 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Zeta eta L funtzioak
Kategoria:Funtzio eponimoak