Mercatorren serie

Matematikan, Mercator seriea edo Newton–Mercator seriea logaritmo naturalen Taylorren seriea da:



Idazkera batukaria erabiliz idatzia,



Serieak logaritmo naturalarekin bat egiten du (aldagaia 1 mugitua) −1 < x ≤ 1 denean.

 Historia 
Nicholas Mercator, Isaac Newton eta Gregory Saint-Vincentek aurkitu zuten seriea, bakoitzak bere aldetik. Mercator-ek lehen aldiz argitaratu zuen 1668ko Logarithmo-technica tratatuan.

 Deribazioa 
Seriea Taylorren teorema aplikatuz lor daiteke, ln x funtzioaren n. deribatua indukzioaren bidez kalkulatua x = 1 puntuan,

  baldintzatik hasiz.

Bestela



serie geometriko finituarekin has daiteke (t ≠ −1) eta hau lortzen da:



Beraz:



eta gaiz gai integratuz,



Baldin eta −1 < x ≤1 bada, hondarrak 0-ra jotzen du,  doanean.

Adierazpen hori k aldiz gehiago integra daiteke iterazioz, hau lortzeko:



non



eta



x-ren polinomioak diren.

 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Logaritmoak
Kategoria:Serie matematikoak