LU faktorizazio

Aljebra linealean, LU faktorizazioa edo LU deskonposaketa (ingelesezko Lower-Upper-etik) matrize bat faktorizatzeko modu bat da, zeinak emaitza gisa bi matrize ematen dituen: bata behe-triangeluarra eta bestea goi-triangeluarra. Faktorizazio modu hau gehienbat ekuazio-sistemak eraginkorrago ebazteko erabiltzen da, edo alderantzizko matrizeak aurkitzeko, besteak beste. LU faktorizazioa burutzeko oinarrizko matrizeak erabili ohi dira.

 Definizioa 
Izan bedi  matrize alderantzikagarri bat (ez balitz baliteke emaitza desberdinak egotea). Jakina da  dela, non  eta  matrize behe- eta goi-triangeluarrak diren hurrenez hurren.

 motako matrizeentzat honakoa dugu:.

Bestalde, PLU deskonposaketak honako itxura du:

Non  matrize behe-triangeluarrak diren,  permutazio-matrizeak eta  matrize goi-triangeluarra.

 zein den jakin nahi badugu, honakoa egin behar da:

 bakoitza honakoa delarik:

 = 

Hori hala da  -ren berdina delako, baina azpidiagonaleko elementuak permutatuta dituela. Permutazio matrizea alderantzikagarria da eta bere alderantzikoa bere iraulia ere bada.

Faktorizazio modu hau ikusteko beste modu bat honakoa da: . Permutazio matrizea alderantzikagarria da eta bere alderantzikoa bere iraulia ere bada.

 Aplikazioak eta adibideak 

 Ekuazio-sistemen ebazpena 
LU faktorizazioak ekuazio-sistemen ebazpena erraztu dezake, ekuazio edo ezezagun ugariko sistemetan. Hartarako, Gauss-Jordanen metodoa gogoratzea komeni da lehenik.

Izan bedi honako ekuazio-sistema:

Sistemari matrize-forma emanez honakoa dugu:

Eta hura garatuz, oinarrizko matrizeak erabiliz:

Jakina denez L-1 matrizea erabilitako oinarrizko matrize guztien arteko biderketa dela:

Haren alderantzizkoa izango da L matrizea, zeina kalkulatzeko oinarrizko matrizeen propietateak erabil daitezkeen:

Beraz, ateratako L eta U matrizeen arteko biderketa izango da A matrizearen LU faktorizazioa:

Definizioan esan bezala, goiko adierazpenean ikus daiteke L eta U matrizea triangeluarrak direla, lehena behe-triangeluarra eta bigarrena goi-triangeluarra. Behin LU faktorizazioa edukita, interesgarria izan daiteke haren U osagaia erabiltzea ekuazio-sistema ebazteko, izan ere, matrizea forma triangeluarrekoa izanda, ekuazio-sistema berehalakoa bihurtzen da. Hartarako U kalkulatu bitartean eskuratu dugun  gai-askeen zutabe-matrizea berreskuratu behar dugu eta honakoa gogoratu:

Beraz, matrizeak ekuazio-sistema gisa adierazita:

Eta ekuazio-sistema hori berehalakoa da: ,  eta .

LU faktorizazioari errendimendu handiagoa ateratzeko, ekuazio sistema honela ere ebatz daiteke:

 Lehenik,  ebatzi,  aldagaia ateraz.
 Ondoren,  ebatzi,  aldagaia ateraz.

 Alderantzizko matrizearen kalkulua 
Alderantzizko matrizeak kalkula daitezke LU faktorizazioa erabiliz, honako formula jarraituz:

Zenbait programa informatiko formula horretan oinarritzen dira.

 Kanpo estekak 

Kategoria:Aljebra lineala