Froga matematiko

Matematikan, proposizio matematiko bat egiaztatzeko erabiltzen den argudio deduktibo bat da froga edo frogapen bat. Argudiaketan, aurretik ezarritako baieztapenak erabil daitezke, hala nola teoremak eta hasierako baieztapenak edo axiomakEdward. R. Scheinerman. Matemáticas discretas Mexiko Hiria. (2001). .. Froga, printzipioz, funtsean frogarik behar ez duten baieztapenak lortu arte garatu daiteke, axioma izenekoakCupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press. (2001). 3.orr.Eric Gossett. (2009). Discrete Mathematics with Proof (definition 3.1, 86.orr). John Wiley and Sons. .. Frogantzak dedukziozko arrazoibideen adibideak dira, eta indukzio bidezkoak eta enpirikoak bereizten dira. Frogapen batek frogatu behar du (batzuetan, kasu posible guztiak zerrendatu eta horietako bakoitzean baliozkoa dela ikusita) baieztapen bat beti egiazkoa dela eta ez kasu askotan onartzen dela. Egiazkotzat jotzen den frogatu gabeko baieztapen bati, aieru deritzo.
Frogapenetan, normalean, logikaz gain hizkuntza naturala ere erabiltzen da, anbiguotasunen bat izan dezakeena. Egia esan, frogantza matematiko gehienak logika informal zorrotzaren aplikaziotzat jo daitezke. Froga formal hutsak, hizkuntza sinbolikoan (ez hizkuntza naturalean) idatziak, froga-teorian hartzen dira kontuan. Froga formal eta informalen bereizketak logika matematiko historikoa eta gaur egunekoa, kuasienpirismo matematikoa eta formalismo matematikoa ikertzea eragin du. Matematikaren filosofia hizkuntzaren eginkizunaz eta frogapenen logikaz arduratzen da.

Teorema baten frogapena ez ezagutzeak ez du esan nahi egiazkoa ez denik; faltsua dela esango bada, ezeztapena frogatu behar da.

 Etimologia eta historia 
«Froga» hitza latinetik dator, probare hitzetik, 'frogatu' esan nahi du. Erlazionatutako hitz modernoak gaztelaniazko probar ('dastatu', 'usaindu' edo 'entseatu'), probidad, probo (edo «proba») eta probabilidadNew Shorter Oxford English Dictionary. Oxford: Oxford University Press. (1993). hitzak dira; alemanezko probieren ('saiatu'), italierazko probare ('saiatu'); eta ingelesezko probe eta probation hitzak. Probity ('zintzotasuna') ingelesezko terminoaren hasierako erabilerak 'ebidentzia legalaren aurkezpena' esan nahi zuen. Agintaritzako pertsona bat –oro har, diru asko zuen edozein pertsona–  'proba' pertsona zela esaten zen, eta haren ebidentziak beste edozein testigantza edo erakustaldi enpirikok baino pisu handiagoa zuen.Hacking, Ian. The emergence of probability.

Argudio onargarriek erabiltzen zituzten baliabide heuristikoak, adibidez, irudiak eta analogiak, matematikako froga zorrotzen aurretikoak izan ziren.The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. (2007ko otsailak 5). Hasiera bateko ondorio bat frogatzearen ideia, segur aski, geometriarekin lotuta egon zen; izan ere, geometriaren jatorrizko definizioa ‘Lurraren neurri’ edo ‘lur-neurketa’ izan zen.Kneale, 2.orr. Froga matematikoaren garapena Antzinako greziar matematikaren oinarrizko emaitza da, eta baita haren lorpen handienetako bat ere. Tales Miletokoak (K.a. 624-546) geometriako teorema batzuk frogatu zituen. Eudoxok (K.a. 408-355) eta Teetetok (K.a. 417-369)  teorema batzuk adierazi zituzten, baina ez zituzten frogatu. Aristotelesek (K.a. 384-322) zioen: definizioek jadanik ezagunak ziren beste kontzeptu batzuen terminoen gainean deskribatu behar zutela definitu beharreko kontzeptu berria. Metodo axiomatikoak, gaur egun oraindik matematikako frogapenetarako erabiltzen direnak, Euklidesek (K.a. 300) erabili zituen lehenengo aldiz; termino mugagabeekin eta axiomekin (egiazkotzat hartutako termino mugagabeei dagozkien proposizioak; grekotik, axios) hasten zen, eta, horien bidez, teoremak frogatu zituen dedukziozko logika erabiliz. XX. mendearen erdialdera arte, mendebaldean bere burua ondo hezitakotzat zeukan edonork irakurri zuen ElementuakHoward Eves. (1990). An introduction to the history of mathematics, Saunders, {{ISBN|0-03-029558-0}}, 141.orr: «No work, except The Bible, has been more widely used....»., Euklidesen liburua. Liburu horrek, geometriako ohiko teoremez gain (Pitagorasen teorema, adibidez) jasotzen ditu bi zenbakiaren erro karratua irrazionala dela eta infinitu zenbaki lehen daudela erakusten duten frogak.

Horren ostean arlo berean egindako aurrerapenak Erdi Aroko matematika islamikoen eskutik izan ziren. Greziako frogapen goiztiar gehienak froga geometrikoak izan ziren. Matematikari islamikoek garatutako aritmetikari eta aljebrari esker, ordea, geometriaren mende ez zeuden frogapen orokorragoak lortu ziren. X. mendean, Al-Hashim matematikari irakiarrak zenbakientzako frogapen orokorragoak eman zituen: besteak beste, «lerroen araberako» biderketa eta zatiketak. Metodo hori erabili zuen zenbaki irrazionalen existentzia frogatzeko.Matvievskaya, Galina. (1987). «The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics», Annals of the New York Academy of Sciences 500: 253–277 [260], doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x

Sekuentzia aritmetikoak frogatzeko indukzio matematiko bidezko metodoa, Al-Karaji matematikari persiarrak sartu zuen Al-Fakhri liburuan (K.o. 1000), zeinak binomioaren teorema eta Pascal-en triangelua frogatzeko erabili zituen. Alhazen-ek kontraesanezko frogapen metodoa garatu zuen paraleloen postulatu euklidearra frogatzeko lehen saiakera gisa.Eder, Michelle. (2000). Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, 2008ko urtarrilak 23an kontsultatua.

Frogapenen teoria modernoak indukzio bidez definituriko datu-egitura gisa tratatzen ditu frogak. Egun, ez da onartzen axiomak «egiazkoak» direnik; horrek, axiomen multzo alternatuetan, teoria matematiko paraleloak sortzea ahalbidetzen du (ikus multzo-teoria eta geometria ez-euklidearra adibide gisa).

 Helburua 
Frogapen bat hizkuntza naturalean idazten da, esan den moduan, eta haren helburua da emandako argumentuaren egiazkotasuna frogatzea. Frogapena modu desberdinetan aurkez daiteke, espero den hartzailearen arabera. Onarpena lortzeko asmoarekin, frogantzak ohiko zorroztasun parametroak bete behar ditu: argumentu osagabeak errefusatuko ditugu.

Frogapenaren kontzeptua logika matematikoaren esparruan formalizatzen da.Buss. (1997). 3. orr. Frogapen formala hizkuntza naturalean beharrean, hizkuntza formalean idazten da. Frogantza formal bat hizkuntza formalean adierazitako formulen sekuentzia bat da, non formula bakoitza aurrekoen ondorio logikoa den. Hain zuzen ere, frogapen teoriaren arloak frogapen formalak eta horien propietateak aztertzen ditu; horren aplikazio bat da frogatzea baieztapen esanezin batzuek ezin dutela izan frogapenik.

Frogapenaren kontzeptua praktika matematikoan erabiltzen den moduan ulertzeko, frogapen formalaren definizioa erabiltzen da. Definizio horrekin ikus dezakegu zabaldutako frogapen bat, printzipioz, frogapen formalean itzul dezakegula. Hala ere, praktikan, bihurketa horiek laguntzaile automatikoen arloan bakarrik egiten dira. Filosofiako galdera klasikoetariko batek galdetzen du ea frogapen matematikoak analitikoak edo sintetikoak diren. Kant-ek adierazi zituen analitikoen eta sintetikoen arteko desberdintasunak, eta hark uste zuen frogapen matematikoak sintetikoak zirela.

Objektu estetikotzat kontsidera ditzakegu frogapenak, horien edertasun matematikoagatik miretsiak. Paul Erdős matematikariak Liburua lanean agertzen ziren frogapen matematiko, bere iritziz, dotoreenak deskribatu zituen. 2009.urtean argitaratutako Liburuko frogapenak saiakuntzak, editoreek hautatutako 32 frogapen biltzen ditu kontsideratzen delako frogapen horiek direla existitzen diren egokienak edo zuzenenak.

 Frogatzeko metodoak 
Tesiak frogatzeko prozedura bakarra ez badago ere, frogapen-mota asko erabiltzen dira matematikan:
 Kontraposizio bidezko frogapena (Aristotelesen silogismoetan formalizatua eta erabilia).
 Reductio ad absurdum: Absurdoraino txikitzearen bidezko frogapena (Aristotelesek formalizatua eta erabilia), eta, kasu partikular gisa, jaitsiera infinitua.
 Indukzio matematikoa.
 Indukzio indartsua.

Bestalde, nahiz eta gizakiaren esku-hartzea oso beharrezkoa izan frogapen bat egiteko, badira teknika konputazionalak ere, frogapen automatikoak egiteko aukera ematen dutenak, batez ere geometria euklidearraren esparruan.

 Froga zuzena 
Hipotesi batetik abiatuz, ondorio bat ematen duten proposizioak frogatzeko erabili ohi da froga zuzena. Adibidez, euria egiten badu, orduan pista bustiko da; egunerokotasunean erabiltzen den esaldia hartzen badugu, badakigu euria egitea baldintza nahikoa dela pista bustita egon dadin; bestalde, euria egiten badu, badakigu ezinbestean pista bustiko dela. Matematikaren testuinguruan, mota horretako proposizioak, hipotesitik abiatuz, aurretik ezagutzen diren beste proposizio batzuk erabiliz ondorioztatzen dira.Bush- Obreanu. Introducción a la matemática superior, Editorial trillas, Mexiko Hiria. (1968).

Orokorrean, froga zuzena erabiltzen denean, aurretik erabilitako axioma, definizio eta teoremak konbinatuz lortzen da ondoriora iristea.Cupillari, 20. orr. Zenbaki bikoitien batura bikoitia dela frogatzeko erabiltzen da, adibidez, metodo hau.

Har ditzagun  eta  bi zenbaki bikoiti. Orduan, bi zenbaki oso existitzen dira:  eta , non  eta  diren. Ondorioz, bi zenbaki bikoitiak batuz,  beteko da, bikoitia dena. Beraz, bi zenbaki bikoitiren batura bikoitia da, eta frogatuta gelditzen da.

Froga hori egiteko, zenbaki oso bikoitien propietateak erabiltzen dira, eta baita erabiltzen da zenbaki osoak baturarekiko eta biderkadurarekiko itxiak direneko propietatea ere, hau da, bi zenbaki oso (edo bi baino gehiago, edozein) hartuz, batuz edo biderkatuz, berriro ere zenbaki oso bat lortzen dela.

Beste proposizio eta teorema batzuek baldintza bikoitza izaten dute; hau da, hipotesiak ondorioa inplikatzen du, eta, alderantziz, ondorioak hipotesia inplikatzen du. Praktikan, mota horretako enuntziatuak froga zuzenarekin edo kontraesanezko metodoa erabiliz frogatzen dira.Scheinerman., Op. cit.

 Kontraesanezko metodoa 
Kontraesanezko metodoa erabiltzen dugunean (reductio ad absurdum izenez ere ezagutua), pauso logiko batzuei jarraitu ondoren, baieztapen batera heltzen gara, eta baieztapen hori ez dator bat hasierako hipotesiren batekin, edo, beste era batera esanda, logikoki, absurdoa da, eta ,ondorioz, baieztapena faltsua da.

Metodo hau erabiltzen duen frogapen ezagunenetako bat da: biren erroa () zenbaki irrazionala dela frogatzen duena.

Jotzen da, absurdora eramanez,  zenbaki arrazionala dela; orduan, definizioz,  existitzen dira, biak ez-nuluak, non  den eta  (hau da,  zatiki laburtezina da).

Orain,  bakanduz, , eta berdintzaren bi aldeak birekin berretuz, , ikusten da  bikoitia izan behar duela, eta -k ere, zenbaki osoa denez, bikoitia izan behar du; bestela esanda, , non  ez-nulua den. Adierazpen berri hori hasierako ekuazioan ordezkatuz,  eta sinplifikazioa eginez,  da. Ohartu, berriro ere, hasierako kasua lortzen dela eta, orduan, -rekin argudiatu den moduan,  ere bi zenbakiaren multiploa da. Ondorioz, 2 zenbakiak,  eta  zatitzen ditu, eta horrek esan nahi du  dela, baina hasieran jo da  dela. Beraz, kontraesan bat lortzen da, eta, orduan,  ez da zenbaki arrazionala. Ondorioz,  zenbaki irrazionala dela frogatuta dago (zenbaki erreala da , eta zenbaki errealak zenbaki irrazionalen eta arrazionalen bildura dira).

 Indukzio matematikoa 

Indukzio matematikoa ez da metodo induktiboa erabiltzen duen frogapen mota bat. Indukzio matematikoaren bidez,  aldagaiaren mende dauden proposizioak froga daitezke;  edozein zenbaki oso da. Hasierako kasu bat frogatzen da (-ren balio txiki bat erabiliz proposizioa betetzen dela ikasten da), eta baita indukzio-erregela bat ere, zeinaren bidez ezartzen baita kasu konkretu batek hurrengoa dakarrela. Indukzio-erregela behin eta berriz erabili behar da aurretik frogatutako hasierako kasutik abiatuz. Nahiz eta orokorrean hasierako kasua bakarra izan, batzuetan, bi edo gehiago behar dira frogapena egin ahal izateko. Modu sinplean azalduta, hurrengo arrazoibideak laburtzen du indukzio matematikoaren ideia:Izan bedi  zenbaki osoa (hasierako kasua),  propietatea betetzen duena. Hortik abiatuta, edozein zenbaki osok  propietatea betetzeak  zenbakiak ere propietate hori betetzen duela inplikatzen badu, orduan,  zenbakia baino handiagoak diren zenbaki guztiek beteko dute propietate hori.Frogapen hau indukzioa matematikoaren printzipioan oinarrituta dago."Diccionario de Matemáticas". Christopher Clapham. (1998). .
Indukzio matematikoaren ohiko aplikazioa da ezen propietate bat zenbaki natural baterako betetzen bada zenbaki natural guztietarako betetzen dela:

Izan bedi  zenbaki naturalen multzoa eta ,edozein  zenbaki naturaletarako frogatu nahi dugun baieztapena; orduan:

  egiazkoa da; hau da,  betetzen da n=1 denean.
  egiazkoa da  egiazkoa bada; hau da,  betetzeak  inplikatzen du.

 Erkatze bidezko metodoa 
Hipotesi batetik abiatuz, ondorio bat ematen duten proposizioak frogatu ohi dira metodo horren bidez, baina, kasu honetan ondorioa betetzen ez bada, orduan, hipotesia betetzea ezinezkoa dela ikusten da. Matematikoki  baieztapenak  baieztapena inplikatzen badu, orduan,  ez betetzeak  ez dela betetzen inplikatzen du, eta baieztapen hori hasierakoaren kontrajarria dela esaten da ().

Adibide logiko ez-matematiko bat hau izan liteke: jo dezagun jatetxe batek ostegunero paella eskaintzen duela menuan. Bistakoa da «osteguna» gertakizunak «paella» gertakizuna dakarrela. Baliteke asteko beste egun batean joanez gero jatetxeak paella eskaintzea, baina ziur, ostegunero paella egongo dela. Aurreko baieztapenetik, ondorio logiko bakarra lortzen da: egun batean jatetxe horretara joanez gero eta menuan paella ez badago, orduan ez da osteguna izango.

Adibide matematiko bat izan daiteke bakoitia bada,  bakoitia dela frogatzeko prozedura. Horretarako,  bakoitia ez bada -rekin zer gertatzen den ikusten da.  zenbaki bikoitia izango da orduan, eta, bere buruaz biderkatuz gero, berriro ere, zenbaki bikoiti bat lortzen da; beraz,  ez da bakoitia izango, eta frogatuta geratzen da proposizioa.

Zenbaki errealen multzoan, oso ezaguna da honako proposizioa: ; alegia, bi zenbaki errealen biderkadura nulua bada, orduan, bi zenbakietako batek nulua izan beharko du. Horrek proposizio kontrajarri hau dakar:  eta  betetzen bada, orduan,  da.S. M. Nikolski Elementos del análisis matemático. Mir Editoriala. Mosku. (1984).

 Ordenagailu bidezko metodoa 
XX. mendera arte, frogapen bat baieztatzeko matematikari aditu batek berrikusi behar zuela uste zen. Edonola ere, teoremak frogatzeko eta gizakiontzat zailak edo luzeak diren kalkuluak burutzeko, ordenagailuak erabiltzen dira gaur egun. Lau koloreen teoremaren lehen frogapena ordenagailu bidezko frogapenen adibide bat da.

Ordenagailuko programa batean edo programa horren exekuzioan frogapena ezeztatuko duen errore bat egiteak kezkatzen ditu matematikariak. Praktikan, ordenagailu bidezko frogapen bat baliogabetzen duen errore bat egiteko probabilitatea murritz daiteke. Horretarako, erredundantzia eta autoberrikuspena eransten dira kalkuluetan. Erroreak egitea ezin da guztiz ekidin, baina hori gizakiok egindako frogapenetan ere ezinezkoa da.

 Froga probabilistikoa 
Froga probabilistikoetan, adibide baten existentzia frogatzen da probabilitate teoria erabiliz. Teorema bat onargarria (teorema segur aski egiazkoa izatea) izatea eta probabilitate bidez frogatzea ez da gauza bera. Existentzia teoremak frogatzeko erabili ohi da metodo probabilistikoa.

 Konbinatoria bidezko metodoa 
Modu desberdinetara azaldutako bi objekturen arteko baliokidetasuna frogatzeko erabili ohi da konbinatoria bidezko metodoa. Gehienetan, bijekzio bat definitzen da objektu horien artean, eta gauza beraren bi adierazpen desberdin direla frogatzen da.

 Froga konstruktiboa 
Froga konstruktiboa edo adibide bidezko froga ezaugarri espezifiko bat duen adibide konkretu bat eraikitzean datza propietate hori duen elementuaren existentzia frogatzeko. Joseph Liouville-k, adibidez, froga konstruktiboa erabili zuen zenbaki transzedenteen existentzia frogatzeko. Batzuetan, proposizio bat elementu guztientzat egiazkoa ez dela frogatzeko erabiltzen da froga konstruktiboa; horretarako, kontra-adibide bat eraikitzen da.

Frogapen metodo hori Cantor-ek erabili zuen zenbaki errealen multzoa zenbakigarria ez dela frogatzeko. Horretarako, zenbaki erreal guztiak zenbakigarriak zirela jo zuen, eta segida bat osatu zuen zenbaki horiekin; ondoren, segida horretan azaltzen ez zen zenbaki bat eraiki zuen. Ondorioz, zenbaki errealen multzoa zenbakigarria izatea absurdoa dela lortu zuen; eta, beraz, zenbaki errealen multzoa ez dela zenbakigarria frogatu zuen.

 Zehaztasun bidezko metodoa 
Zehaztasun bidezko metodoetan ondorioa lortzeko, kasu finitu kopuru batean banatzen da frogatu beharrekoa, eta kasu bakoitza banan-banan frogatzen da. Kasu kopuru asko ditugunean, ez da gomendatzen metodo hori erabiltzea, izan ere, oso luzea izan baitaiteke frogapena. Adibidez, lau koloreen teorema frogatzeko lehen saiakeran, metodo hori erabili zen, eta, guztira, 1936 kasutan banatu zen froga; ondorioz, kasu gehienak ordenagailu bidez egin ziren.

 Baieztapen frogaezinak 
Sententzia bat betetzen dela ezin bada frogatu axioma multzo batetik abiatuta, baina ezta ez dela betetzen ere, baieztapen frogaezin bat izango da axioma horiekin. Horren adibide da paraleloen postulatua, ezin dena, ez baieztatu, ez baliogabetu geometria euklidearraren gainerako axiomekin.

Matematikariek erakutsi dute, hautapen-axiomatik abiatuta, baieztapen frogaezin ugari daudela Zermelo-Fraenkel-en multzo-teorian.

Göbel-en osagabetasunaren lehen teoreman ikusten da interes matematikoa duten sistema axiomatiko askok baieztapen frogaezinak dituztela.

 Frogapen matematikoen eragina beste arloetan 
Hainbat matematikari eta filosofo, esate baterako Baruch Spinoza, argumentu filosofikoak estilo axiomatikoan formulatzen saiatu ziren, non frogapen matematikoaren estandarrak argumentazio filosofiko orokorrean aplika zitzaketen. Beste filosofo eta matematikari batzuk, frogapen matematikoaren estandarrak eta arrazoia erabiltzen ere saiatu ziren enpirismoa erabili gabe, adibidez, cogito argumentua Descartesek.

 Adibideak 
Kontraesanezko metodoaren adibide bat: 1>0 daBaieztapenaren frogapena axioma batzuetan oinarritzen da; horrela, pauso guztiak zuzenak badira, froga egiazkoa izaten da.

Hauek dira erabili behar diren zenbaki errealen axiomak:


  eta  badira (,  eta  zenbaki errealak izanik), orduan, 

Hori kontuan hartuta, frogapena hasteko, espero den emaitzaren kontrakoa onartzen da: 1<0. Orduan, honako bi baieztapenak betetzen dira:

  da.
 2. axioma erabiliz, eta  eta <0 izanik, .

Beraz, aurreko bi baieztapenak betetzea ezinezkoa da, eta ezarritako hipotesia () ez da zuzena. Horrekin baiezta daitekeena  da. Baina 1. axiomaren arabera,  da. Beraz,  da, eta frogapena bukatu da.

Indukziozko frogapenaren adibide bat:

Frogatu dezagun

 betetzen dela.

Frogapena

  denean, egia dela frogatu behar dugu, batukaria k=1etik hasten baita.

Izan bedi , orduan,

izango dugu, eta erako egia dela ikusi dugu.

  finko baterako egiazkotzat jota, ikus dezagun -en kasuan zer gertatzen den.

Batukarien propietateengatik badakigu,

.

-ren kasurako baieztapena egiazkotzat jo denez, hurrengoa daukagu

, eta aurreko adierazpenean ordezkatuz:

.

Ondorioz,

.

 ez denez, sinplifika dezakegu  terminoa, eta ondokoa lortzen dugu:

.

Frogatu nahi genuena lortu dugu.

Ondorioz, baieztapena -en kasuan ere betetzen da.

Beraz, baieztapena  guztietarako betetzen da.

 Matematika heuristiko eta esperimentala 
Matematikari goiztiarrek, hala nola Eudoxo Knidokoa, frogapenik erabiltzen ez bazuten ere, Euklidesengandik hasi eta XIX. eta XX. mende berantiarreko matematikaren sorrerako garapenetara arte, frogapenak matematikaren funtsezko zati bihurtu ziren"What to do with the pictures? Two thoughts surfaced: the first was that they were unpublishable in the standard way, there were no theorems only very suggestive pictures. They furnished convincing evidence for many conjectures and lures to further exploration, but theorems were coins of the realm ant the conventions of that day dictated that journals only published theorems", David Mumford, Caroline Series and David Wright, Indra's Pearls, 2002. Hirurogeiko hamarkadan botere konputazionala handitu zenean, matematika esperimentalean lan esanguratsua egiten hasi ziren froga-teorema esparrutik kanpoko objektu matematikoak ikertuz"Mandelbrot, working at the IBM Research Laboratory, did some computer simulations for these sets on the reasonable assumption that, if you wanted to prove something, it might be helpful to know the answer ahead of time". «A Note on the History of Fractals»..​ Metodo horien aitzindari goiztiarrek, azkenean, nahi zutena zen lan froga-teorema esparru klasikora itzultzea, adibidez, geometria fraktalaren garapen goiztiarra«[…] brought home again to Benoit [Mandelbrot] that there was a “mathematics of the eye”, that visualization of a problem was as valid a method as any for finding a solution. Amazingly, he found himself alone with this conjecture. The teaching of mathematics in France was dominated by a handful of dogmatic mathematicians hiding behind the pseudonym “Bourbaki”» (Nigel Lesmoir-Gordon: Introducing Fractal Geometry)., azkenean oso preziatua izan zena.

 Lotutako kontzeptuak 
 Ikusizko frogapena
Frogapen formala ez izan arren, teorema matematiko baten frogapen bisualari «hitzik gabeko frogapena» deritzo batzuetan. Behean agertzen den ezkerreko irudia Pitagorasen teoremaren ikusizko frogapen historikoaren adibidea da (3,4,5) neurriko aldeak dituen triangeluan.

 Oinarrizko frogapena 
Oinarrizko frogapen bat oinarrizko teknikak bakarrik erabiltzen dituen frogapen bat da. Terminoa, zehazkiago, zenbakien teorian erabiltzen da analisi konplexua erabiltzen ez duten frogapenak adierazteko. Garai batean uste zen zenbait teorema, hala nola zenbaki lehenen teorema, «goi-mailako matematika» erabiliz soilik froga zitekeela. Hala ere, denborarekin, emaitza horietako asko oinarrizko teknikak erabiliz bakarrik probatu ahal izan ziren berriro.

 Bi zutabeko frogapena 
Frogapen bat antolatzeko modu berezi bat, bi zutabe paralelo erabiltzen dituena, geometria elementaleko klaseetan erabiltzen da AEBnPatricio G. Herbst, Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century, Educational Studies in Mathematics, Vol. 49, No. 3 (2002), págs. 283-312,. Frogapena bi zutabetan idatzitako lerro sorta gisa idazten da. Lerro bakoitzean, ezkerreko zutabeak proposizio bat dauka; eskuineko zutabeak, berriz, azalpen labur bat, non agertzen den ezkerreko zutabeari dagokion proposizioa axioma bat edo hipotesi bat dela edo, logikoki, aurreko preposizioetatik eratorria izan daitekeela. Ezkerreko zutabeari «Baieztapenak» esan ohi zaio, eta, eskuinekoari, «Arrazoiak»Carol Fisher: «Introduction to the two-column proof»..

 Lagunarteko «frogapen matematiko» adierazpenaren erabilera
«Frogapen matematiko» adierazpena erabiltzen da metodo matematikoak erabiltzeko edo, objektu matematikoetan oinarrituta —zenbakiak, adibidez—, eguneroko bizitzako zerbait frogatzeko edo eztabaida batean erabilitako datuak zenbakizkoak direnean eztabaidatzeko. Batzuetan, «frogapen estatistiko» ere esan nahi du (beherago), batez ere datuekin eztabaidatzeko erabiltzen denean.

 Datuak erabiliz egindako frogapen estatistikoa 
Datuak erabiliz egiten den «frogapen estatistikoa» estatistikaren aplikazioari, datu-analisiari edo analisi bayestarrari dagokio datuen probabilitateari buruzko proposizioak inferitzeko. Estatistikan, teoremak ezartzeko frogapen matematiko bat erabiltzen denean, frogapen horiek, normalean, ez dira frogapen matematikoak, hau da, probabilitatezko sententziak ondorioztatzen dituzten onarpenek matematikatik kanpoko ebidentzia enpirikoak behar dituztela egiaztatzeko. Fisikan, gehikuntzan edo estatistika-metodoetan, «estatistika-frogapena» izan daiteke partikulen fisikako esperimentuetan edo kosmologiako behaketa-azterketetan datuak analizatzeko erabiltzen diren fisikako metodo matematiko espezializatuei buruzkoa. «Frogapen estatistikoa», halaber, izan daiteke landu gabeko datuak edo datuak erabiltzen dituen diagrama sinesgarri baten adierazpena, hala nola scatter plots direlakoak, non datuek edo diagramak egokiro konbentzitzen duten ondoren beste azterketarik egin gabe.

 Logika induktiboko frogak eta analisi bayesiarra 
Logika induktiboa erabiltzen duten frogapenek, naturan matematikotzat hartzen badira ere, ziurtasun-gradu batekin proportzioak ezartzea bilatzen dute, probabilitatearen antzera jokatzen duena eta ziurtasun bat baino gutxiago izan daitekeena. Azterketa bayesiarrak asertzio batzuk ezartzen ditu, hala nola pertsonaren sinesmen subjektiboaren maila. Logika induktiboa ez da nahastu behar indukzio matematikoarekin.

 Frogapenak objektu mental gisa 
Psikologismoak objektu psikologiko edo mental gisa ikusten ditu frogapen matematikoak. Matematikaren filosofoak, hala nola Leibniz, Gottwoll Frege eta Rudolf Carnap, semantika bat garatzen saiatu ziren pentsamenduaren lengoaia zela uste zutenarentzat, non frogapen matematikoaren estandarrak zientzia enpirikoari aplikatzeko modukoak izan zitezkeen.

 Frogapeneko metodo matematikoen eragina matematikatik kanpo 
Baruch Spinoza gisako filosofo eta matematikariak argudio filosofikoak estilo axiomatikoan formulatzen saiatu ziren, non frogapen matematikoaren estandarrak aplika baitaitezke argudiaketa filosofiko orokorrean. Beste filosofo eta matematikari batzuk, enpirismorik gabe, frogapen matematikoaren eta arrazoimenaren estandarrak erabiltzen saiatu ziren, hala nola Descartesen cogitoaren argudioa.

 Erreferentziak 

 Bibliografia 

 .
 .
 .
 .
 .

 Kanpo estekak 

Kategoria:Matematika
Kategoria:Logika matematikoa
Kategoria:Matematika-terminologia
Kategoria:Ezagutza iturriak
Kategoria:Frogaren teoria
Kategoria:Froga matematikoak