ISO 31-11

ISO 31-11 ISO 31 nazioarteko estandarraren parte bat zen, zeinean «matematikako zeinuak eta sinboloak definitzen diren, zientzia fisikoetan eta teknologian erabil daitezen». Geroago, 2009an, ISO 80000-2 nazioarteko estandarrak ordeztu zuen ISO 31-11 araua.

 Logika matematikoa 
ZeinuaAdibideaIzenaEsanahia eta ahozko irakurbideaOharrak∧p ∧ qkonjunkzio-zeinuap eta q∨p ∨ qdisjunkzio-zeinuap edo q (edo biak)¬¬ pukazio-zeinuap-ren ukazioa
ez p⇒p ⇒ qinplikazio-zeinuabaldin p, orduan q
p  izateak q izatea dakarHonela ere idatz daiteke: q ⇐ p.
Batzuetan → erabiltzen da.∀∀x∈A p(x)(∀x∈A) p(x)kuantifikatzaile    unibertsalaedozein x A-ren barnekoa izanik, p(x) proposizioa egiazkoa da"∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz.∃∃x∈A p(x)(∃x∈A) p(x)kuantifikatzaile    existentzialaexistitzen da A-ren barnekoa den x balio bat p(x) proposizioa    egiazkoa egiten duena"∈A" hori ezabatu egin daiteke, A-ren esanahia argia bada testuinguruz.
∃! erabiltzen da, x bakarra dagoenean p(x) egiazkoa egiten duena.

 Multzoak 
ZeinuaAdibideaEsanahia eta ahozko irakurbideaOharrak∈x ∈ Ax elementua A multzoaren barnekoa da;
x elementua A multzokoa da; x barne A∉x ∉ Ax elementua ez da A multzoaren barnekoa
x ez-barne AUkazioa adierazten duen barra bertikala izan daiteke.∋A ∋ xA multzoak x elementua dauka bere barneanx ∈ A adierazpenak bezalako esanahia∌A ∌ xA multzoak ez dauka x elementua bere barneanx ∉ A adierazpenak bezalako esanahia{ }{x1, x2, ..., xn}bere barnean x1, x2, ..., xn elementuak dauzkan multzoaHonela ere idatz daiteke: {xi ∣ i ∈ I}, non I sinboloak indizeen multzo bat adierazten duen.{ ∣ }{x ∈ A ∣ p(x)}A multzokoak izanik p(x) proposizioa egiazkoa egiten duten elementuen multzoaAdibidea: {x ∈ ℝ ∣ x > 5}
Testuinguruan argi badago, ∈A sinboloa ezabatu egin daiteke.cardcard(A)zenbat elementu dauden A multzoan;
A multzoaren kardinala∖A ∖ BA eta B multzoen arteko kendura;
A minus BA multzokoak bai, baina B multzokoak ez diren elementuak
A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B }

Ez da erabili behar A − B idazkera.∅multzo hutsa, elementurik ez daukanaℕzenbaki naturalen multzoa;
zenbaki oso positiboak eta zero zenbakia daude bertanℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Zero kontuan hartzen ez bada, asterisko bat gehitzen: ℕ* = {1, 2, 3, ...}

ℕk = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}ℤzenbaki osoen multzoaℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
ℤ* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}ℚzenbaki arrazionalen multzoaℚ* = ℚ ∖ {0}ℝzenbaki errealen multzoaℝ* = ℝ ∖ {0}ℂzenbaki konplexuen multzoaℂ* = ℂ ∖ {0}[,][a,b]ℝ multzoko tarte itxia, a elementutik b elementura doana, biak barnean hartuta[a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b}],]
(,]]a,b]
(a,b]ezkerretik irekitako tartea ℝ multzoan, a kanpoan eta b barnean]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b}[,[
[,)[a,b[
[a,b)eskuinetik irekitako tartea ℝ multzoan, a barruan eta b kanpoan[a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b}],[
(,)]a,b[
(a,b)open interval in ℝ from a (excluded) to b(excluded)
tarte irekia ℝ multzoan, a eta b kanpoan]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}⊆B ⊆ AB multzoa A multzoaren barnean dago;
B multzoa A-ren azpimultzoa daB multzoaren elementu guztiak A-ren barnean daude;
⊂ sinboloa ere erabiltzen da⊂B ⊂ AB multzo osoa dago "garbiki" A-ren "barnean";
B multzoa A-ren azpimultzoa daB-ren elementu guztiak daude A-ren barnean, baina B ez da A-ren berdina. Baldin ⊂ sinboloa erabiltzen bada "barnean" dagoela esateko, orduan ⊊ erabili behar da, "garbiki barruan" dagoela adierazteko.⊈C ⊈ AC multzoa ez dago A multzoaren barneean;
C ez da A-ren azpimultzoa⊄ sinboloa ere erabiltzen da.⊇A ⊇ BA multzoak bere barnean dauka B multzoa (azpimultzo gisa)A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean; ⊃ sinboloa ere erabiltzen da.
B ⊆ A eta A ⊇ B idazkerak baliokideak dira.⊃A ⊃ B.A  bere barnean dauka B multzoa "garbiki".A multzoak B-ren elementu guztiak dauzka bere barnean, baina A eta  B ez dira berdinak.
Baldin ⊃ "barnean" adierazteko erabiltzen bada, orduan, ⊋ "garbiki barnean" adierazteko erabiltzen da.⊉A ⊉ CA multzoak ez dauka bere barnean C multzoa (hau ez da haren azpimultzoa)Halaber erabiltzen da ⊅ sinboloa: A ⊉ C eta C ⊈ A adierazpenek gauza bera esan nahi dute.∪A ∪ BA eta B multzoen bilduraA edo B multzoetako baten barnean dauden elementuen multzoa, edo aldi berean A-ren eta B-ren barnean
A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }∪multzo sorta baten bildura horrek esan nahi du gutxienez  sortako multzoren baten barnean dauden elementuak hartzen dituela bldurak∩A ∩ BA eta B multzoen ebakiduraAldi berean A eta B multzoen dauden elementuen multzoa.
A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }⋂multzo sorta baten ebakidura, horrek esan  nahi du   sortako multzo guztien barnean dauden elementuak biltzen dituela ebakidurak.∁∁ABA-ren barneko B azpimultzoaren multzo osagarriaA multzokoak izanik B azpimultzokoak ez diren elementuen multzoa. Batzuetan, testuinguruan argi badago, ez da idazten A sinboloa.
∁AB = A ∖ B eran ere idazten da(,)(a, b)a, b bikote ordenatua;
a, b bikotea(a, b) = (c, d) izango da, balbin eta soilik baldin a = c eta b = d badira;
⟨a, b⟩ eran ere idazten da.(,…,)(a1, a2, …, an)n-kote ordenatua⟨a1, a2, …, an⟩ eran ere idazten da.×A × BA eta B multzoen arteko biderketa kartesiarra(a, b) bikote ordenatuen multzoa, non a ∈ A eta b ∈ B  diren.
A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B }

A × A × ⋯ × A adierazteko An idatzi ohi da, non n horrek elkarrekin biderkatu beharreko faktoreen kopurua adierazten duen.ΔΔA(a, a) ∈ A × A erako bikoteen multzoa, non a delakoa  A × A multzoko diagonala den.ΔA = { (a, a) ∣ a ∈ A }
idA eran ere adierazten da.

 Denetariko zeinu eta sinboloak 
HEMENDIK ITZULTZEKO DAGO (aste honetan egingo dut)
ZeinuaAdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrak≝a ≝ ba definizioz da b-ren berdina;
a definizioz berdin b:= idazkera ere erabiltzen da.=a = ba berdin b≡ ere idatz daiteke berdintza jakin bat identitatea dela azpimarratzeko.≠a ≠ ba ezberdin b ere idatz daiteke a eta b identikoki berdinak ez direla azpimarratzeko.≙a ≙ ba dagokio b-ri1:106 eskalako mapa batean: 1 cm ≙ 10 km.≈a ≈ ba eta b gutxi gorabehera berdinak dira;
a gutxi gorabehera  bBestalde, ≃ sinboloa "asintotikoki berdina" adierazteko erabiltzen da.∼
∝a ∼ b
a ∝ ba balioa b-ren proportzionala da;
a proportzional b<a < ba txikiago b>a > ba handiago b≤a ≤ ba txikiago edo berdin b≦ sinboloa ere erabiltzen da. ≥a ≥ ba handiago edo berdin b≧ sinboloa ere erabiltzen da.≪a ≪ ba askoz txikiago b≫a ≫ ba askoz handiago b∞infinituparentesiak
parentesi karratuak

kortxeteak

kortxete angeludunakOinarrizko aljebran habiaratzeko erabiltzen den , ,  eta  sekuentzia ez dago estandarizaturik. 
Bestalde, zenbait arlotan sinboloek erabilera bereziak dituzteAB  CDAB  eta CD lerroak elkarren paraleloak dira;
AB  paralelo CDAB CDAB  eta CD lerroak elkarren perpendikularrak dira;
AB  perpendikular CD

 Eragiketak 
ZeinuaAdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrak +a + ba gehi b−a − ba ken b±a ± ba gehi edo ken b∓a ∓ ba ken edo gehi b−(a ± b) = −a ∓ b............⋮

 Funtzioak 
AdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrakf funtzioak D barrutia dauka eta C da haren irudi-multzoa Horrela definitzen dira esplizituki funtzio baten barrutia eta irudi-multzoaf-ren barrutiko S azpimultzoaren irudi izan daitezkeen irteera posible guztien multzoa.⋮

 Funtzio esponentzial eta logaritmikoak 
AdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrakelogaritmo naturalen oinarriae = 2.718 28...exx-ren e-oinarriko funtzio esponentziala;
e esponentzial ixa;

e ber ixalogaxx-ren logaritmoa a-oinarrian; 
logaritmo a-oinarrian ixalb xx-ren logaritmo bitarra;
logaritmo bitar ixalb x = log2xln xx-ren logaritmo natural;
logaritmo natural ixaln x = logexlg xx-ren logaritmo arrunta (10-oinarrian);

logaritmo arrunt ixalg x = log10x.........⋮

 Funtzio zirkular eta hiperbolikoak 
AdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrakπzirkulu baten zirkunferentziaren luzeraren eta beraren diametroaren arteko zatidura edo arrazoiaπ = 3.141 59............⋮

 Zenbaki konplexuak 
AdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharraki   junitate irudikaria;
i² = −1Elektroteknian j letra erabili ohi da.Re zz zenbaki konplexuaren parte errealaz = x + iy, non x = Re z eta y = Im z direnIm zz zenbaki konplexuaren parte irudikaria∣z∣z zenbaki konplexuaren balio absolutua; 
z-ren moduluamod z idazkera ere erabiltzen da.arg zz-ren argumentua; 
z-ren faseaz = reiφ, non r = ∣z∣ eta φ = arg z diren. 
Re z = r cos φ

Im z = r sin φz*z-ren konjugatua (zenbaki konjugatua)Batzuetan barra bat jartzen da gainean, z* erabili ordezsgn zz-ren zeinuasgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) for z ≠ 0, sgn 0 = 0

 Matrizeak 
ExampleEsanahia edo hitzezko irakurbideaRemarksAA matrizea............⋮

 Koordinatu-sistemak 
KoordinatuakPosizio-bektorea eta beraren diferentzialakKoordinatu-sistemaren izenaOharrakx, y, z(x, y, z);
(dx, dy, dz)sistema kartesiarraHalaber erabiltzen da (x1, x2, x3) idazkera koordinatuentzat eta (e1, e2, e3) bektore unitarioentzat. Notazio hau erra orokortzen da espazio n-dimentsinalez kasurako.
Bestalde,  (ex, ey, ez) idazkerak eskuin-eskuko sistema adierazten du. 

Bektore unitarioak adierazteko, (i, j, k) idazkera ere erabiltzen da.ρ, φ, z(x, y, z) = (ρ cosφ, ρ sinφ, z)sistema zilindrikoaKasu honetan, [eρ(φ), eφ(φ), ez] eskuin-eskuko sistema ortonormala da. 
Baldi z = 0 bada, orduan ρ eta φ koordinatu polarrak dira.r, θ, φ(x, y, z) = r [sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ)sistema esferikoa[er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ)] eskuin-eskuko sistema ortonormala da.

 Bektoreak eta tentsoreak 
AdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrakaa bektoreaLetrakera  etzan eta lodia erabili ordez,bektoreak letraren gainean jarritako gezi batez ere adieraz daitezke: .
Edozein bektore biderkatu egin daiteke eskalar batez; adibidez: ka..........⋮

 Funtzio bereziak 
AdibideaEsanahia edo hitzezko irakurbideaOharrakJl(x)Besselen funtzio zilindrikoak (lehenengo motakoak)............⋮

 Erreferentziak eta oharrak 

 Kanpo estekak 

 Jose Ramon : Zientzia eta teknikako euskara arautzeko gomendioak, Eusko Jaurlaritzaren Argitalpen Zerbitzu Nagusia, 2011.

Kategoria:ISO estandarrak