Kurbadura

Matematikan, kurbadura geometriarekin estuki erlazionaturiko kontzeptua da. Intuitiboki, kurba bat lerro zuzen bat izatetik edo gainazal bat plano bat izatetik desbideratzen diren neurria da.

Kurbei dagokienez, eredu kanonikoa zirkuluarena da, bere erradioaren alderantzizko zenbakiko kurbadura duena. Zirkulu txikiagoak zakarrago tolesten dira eta, beraz, kurbadura handiagoa dute. Kurba diferentzial baten puntu bateko kurbadura bere zirkunferentzia ukitzailearen kurbadura da. Lerro zuzen baten kurbadura zero da. Ukitzailearen kasuan, aldiz, puntu bateko kurbadura eskalar baten bidez adierazten da, zenbaki erreal positibo baten bidez, hain zuzen ere.

Espazio euklidear batean txertatuta dauden gainazalen kasuan, kurbaduraren kontzeptua konplexuagoa da, gainazalean norabide bat hautatzearen araberakoa baita. Horrek kurbadura maximoa, gutxieneko kurbadura eta batezbesteko kurbadura kontzeptuetara garamatza.

 Historia 
Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum liburuan, Nicole Oresmek, XIV. mendeko filosofo eta matematikariak, kurbadura kontzeptua proposatu zuen zuzentasunetik desbideratzeko neurri gisa. Zirkuluen kurbadura alderantziz proportzionala denez erradioarekiko, ideia hau beste kurba batzuetara hedatzen saiatzen da Oresme, magnitude aldagarri gisa.

 Parametrizazioa 
Kurba baten kurbadura kalkulatu aurretik, ezinbestekoa da kurbaren parametrizazioa lortzea. Izan bedi ,  planoko zein espazioko kurba bat. -ren parametrizazio bat funtzio bat da, zenbaki errealen multzoko tarte batetik espaziora zein planora doana, non tarte horretako balio bakoitzari  -ko puntu bat esleitzen zaion. Horrez gain, kurbadura ondo definitu ahal izateko, parametrizazioa definitzen duen funtzioak jarraitua eta deribagarria izan beharko du. Orduan, parametrizazioa  erako aplikazio bat izango da,  izanik planoko kurben kasuan eta  espazioko kurben kasuan.

Planoko kurben kasuan, aplikazioa mota honetakoa izango da:

Adibidez, erradioa 1 luzerakoa duen zirkunferentziaren parametrizazioa hurrengoa izango da:

 Deribatua 
Izan bedi  kurba parametrizatua. Orduan, bere deribatua honako eran definituko dugu: .

Hau da, koordenatu bakoitzeko -rekiko deribatua egingo dugu.

 Norma 
Izan bedi  kurba parametrizatua. Bere norma euklidearra honako eran definituko dugu: .

Hau da,  koordenatu guztien karratuen baturaren erro karratua eginez kalkulatuko dugu.

 Kurba lauak 
Intuitiboki, kurbadura kontzeptuak zera islatzen du: kurba baten edozein puntutan kurba horren norabidea zenbatean aldatzen den; beraz, zenbat eta kurbadura handiagoa izan, orduan eta gehiago aldatzen da kurbaren norabidea. Definizio formala nahi izanez gero, arku luzeraz parametrizatutako kurba baten puntu zehatz bateko kurbadura, da puntu horretako bektore ukitzailearen deribatuaren luzera da.

Kurbaduraren definizioak eta haren karakterizazioek eskatzen dute kurba jarraitutasunez diferentziagarria izatea, etengabe aldatzen den ukitzaile bat baitu; halaber, kurba bi aldiz diferentziagarria izan behar du, tartean diren mugak eta bektore ukitzailearen deribatua ondo definituta dagoela ziurtatzeko.

Kurbaduraren karakterizazioa unitate bektore ukitzailearen deribatuaren arabera ez da zirkunferentzia ukitzailearen arabera egindako definizioa bezain intuitiboa, baina kurbadura kalkulatzeko formulak errazago ondoriozta daitezke. Beraz, eta zinematikan ere erabiltzen denez, kurbaduraren definizio baterako, maiz ematen da aurreneko karakterizazio hori.

 Zirkunferentzia ukitzailea 
Historikoki, kurbadura zirkunferentzia ukitzailearen bidez definitu izan ohi da, zirkunferentzia hori baita, puntu zehatz horretan, kurba ondoen hurbiltzen duen zirkunferentzia. Zehazki, kurba batean  puntu bat emanda, kurbaren beste edozein  puntuk (edo batzuetan lerro batek)  puntutik pasatzen den eta -n kurbari ukitzailea den zirkulu bat definitzen du. Egonez gero, zirkunferentzia ukitzailea -k -ra jotzen dueneko zirkunferentziaren limitea da. Kurbadura kurbadura-erradioaren alderantzizkoa da; hau da,

non  kurbadura-erradioa den (zirkulu osoak kurbadura hori du, -ko luzeeran -ko biraketa gisa irakur daiteke).

Definizio hau zaila izan daiteke erabiltzeko eta formuletan adierazteko. Horregatik, beste definizio baliokide batzuk sortu eta erabiltzen dira.

 Arku-parametrizazioa 
Edozein kurba diferentziagarri arku-luzeraz parametriza daiteke. Kurba lau baten kasuan, horrek esan nahi du:

.

Horrek esan nahi du bektore ukitzailea , norma bat duela eta, beraz, bektore ukitzailea unitarioa da.

Kurba bi aldiz diferentziagarria bada, hau da,  eta -ren bigarren deribatuak existitzen badira, orduan,  deribatua existitzen da.   bektorea kurbarekiko normala da, bere norma kurbadura  da eta kurbaren zentrorantz orientatuta dago.

Are gehiago, kurbaren erradioa honako hau da ( dela suposatuta):

Eta kurbaduraren zentroa kurbaren zuzen normalean dago:

(Kurbadura zero denean, kurbaduraren zentroa ez dago  planoan. Kasu horretan “infinituan” kokatuta dagoela deritzogu.)

 bektore unitarioa da eta -tik lortzen dugu, erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan  graduko errotazioa eginez. Orduan,

 izanik.  zenbaki erreala kurbadura orientatua da, planoaren eta kurbaren orientazioaren araberakoa dena.  aldagai aldaketak  kontrako zeinua duen arku-bidezko parametrizazioa ematen digu.

 Parametrizazio orokorra 
Izan bedi  bi aldiz diferentziagarria den planoko kurba baten parametrizazioa. Parametizazio hori erabiliz, kurbadura honako hau da:

Koordenatu gabeko era batean adierazteko:

Formula hauek arku-luzera bidezko parametrizazioaren kasutik atera daitezke. Aurreko parametrizazioaren baldintzaren ondorioz, arku-bidezko funtzioaren  parametroa,  parametroaren funtzio diferentziagarri monotonoa da. Eta alderantziz,  -ren funtzio monotonoa da. Halaber, -ren ordez  idatziz (behar izanez gero) funtzioak gorakorrak izango dira eta deribatua positiboa. Aurreko ataleko notazioa eta katearen erregela erabiliz, 

Bi aldeetan normak hartuz,

Kurbadura -ren -rekiko deribatuaren norma da. Goiko formula eta katearen erregela erabiliz, aurreko deribatua eta bere norma  eta -ren bidez adierazi daitezke. Horrela, arku-luzera bidezko  parametroa ezabatzea lortzen da.
thumb

 Funtzio baten grafoa 
 funtzio baten grafoa kurba parametrizatuaren kasu berezia da:

-ren lehen eta bigarren deribatuak  eta  direnez, hurrenez hurren, aurreko kurbaduraren formulak honela sinplifikatzen dira:

Grafoaren malda (edo funtzioaren deribatua) txikia denean, bigarren deribatua kurbaduraren hurbilpen ona da. Zehatzago, goi-borne asintotikoa erabiliz,

Fisika eta Ingeniaritzan ohikoa da kurbadura bigarren deribatuaren bidez hurbiltzea; esate baterako, kurba elastikoetan edota uhinaren ekuazioan. Honek aukera ematen digu ez-linealak diren sistemak linealtzat hartzeko.

 Koordenatu polarrak 
Kurba bat koordenatu polarretan adierazita dago, hurrengo eran parametrizatuta dagoenean: , , non   erradioa eta  angelua diren.

Kurba bat koordenatu polarretan adierazita dagoenean kurbadura honako hau da:

 Adibideak 
Erabilgarria izan daiteke aurreko ataletan definitutako formulek, adibide sinpleetan, benetan emaitza berdinak ematen dituztela egiaztatzea.

 Zirkunferentzia 
Aurretik azaldu dugun bezala,  erradioko zirkunferentzia baten ohiko parametrizazioa . Kurbaduraren formula jarraituz

Espero dugun bezala, kurbaduraren erradioa eta zirkunferentziaren erradioa berdinak dira. Are gehiago, kurbaduraren zentroa zirkunferentziaren zentroa da.

Zirkunferentzia arku-luzera bidezko parametrizazioa kalkulatzeko erraza duen kasu berezi bat da. Bereziki,

Arku-luzerazko parametrizazioa da, izan ere

 adierazpenaren norma en berdina da. Parametrizazio honi elkartutako kurbadurak balio bera du, aurreko formulan bere burua -gatik zatitzerakoan izendatzaile eta zenbakitzailean balio hori lortzen baitugu.

 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Kurbak
Kategoria:Kurbatura
Kategoria:Aldagai anitzeko kalkulua