Grigori Perelman

Grigori Jakovlevitx Perelman (,  ; Leningraden jaio zen, Sobietar Batasunean (gaur egun San Petersburgo, Errusia), 1966ko ekainaren 13an, guraso juduak zituela, eta matematikaria izateaz gain, geometria-analisian aditua da, Riemann-en geometria eta topologia geometrikoaren arloetan egindako ekarpenengatik ezaguna den geometra. 2005ean, Perelmanek Steklov Matematika Institutuko ikerketa-lanpostua utzi zuen, eta 2006an matematika profesionala utzi zuela adierazi zuen, arloko estandar etikoekiko etsita zegoelako. San Petersburgon bizi da bakartuta, eta 2006az geroztik elkarrizketa-eskaerei uko egin die.

1990eko hamarkadan, neurri batean Yuri Burago, Mikhael Gromov eta Anton Petruninekin lankidetzan, Alexandrov espazioen ikerketan ekarpenak egin zituen. 1994an, Riemannen geometrian arimaren aierua frogatu zuen, aurreko 20 urteetan arazo irekia izan zena. 2002 eta 2003an, Ricciren fluxuaren analisian teknika berriak garatu zituen1994an Arimaren aierua frogatu zuen. 2003an Thurstonen geometrizazioaren aierua frogatu zuen. Azken frogapen honi esker 1904. urtean mahaigaineratutako Poincaréren aierua frogatu ahal izan zen, hain zuzen ere, azken hau azken mendean matematikan arazo ireki ospetsua izan zena, une horretara arte topologiaren problemarik garrantzitsuentzat eta zailentzat hartzen zena. Perelmanen lanaren xehetasun guztiak hainbat egilek osatu eta azaldu zituzten hurrengo urteetan zehar.

2006ko abuztuan Nazioarteko Matematika Batasunak Fields Domina eman zion Perelmani geometriari egindako ekarpenengatik eta Ricciren jarioaren egitura analitiko eta geometrikoari buruzko ideia iraultzaileengatik. Alabaina, dominari eta ordainsariari uko egin zion eta ez zen batzarrean agertu, esanez: "Ez nago diruaz edo ospeaz interesatuta; ez dut zoologiko bateko animalia bat bezala erakutsia izan". 2006ko abenduaren 22an, Science aldizkari zientifikoak Perelmanen Poincaréren aieruaren frogapena "Urteko Aurrerapen" zientifiko gisa aitortu zuen, matematikaren arloan halako lehen aitorpena izanik.

2010eko martxoaren 18an Clay Matematika Institutuaren Milurtekoko Saria jasotzeko baldintzak betetzen zituela iragarri zen Poincaréren aierua ebazteagatik. Hala ere, 2010eko uztailaren 1ean uko egin zion milioi bat dolarreko sariari, Clay Institutuko zuzendaritzaren erabakia bidegabea iruditzen zitzaiola esanez, Poincaréren aierua ebazteko egindako ekarpena ez zelako Richard S. Hamilton matematikariarena baino handiagoa izan. Horrez gain, Europako Matematika Elkartearen izen handiko sariari ere uko egin zion.

 Gaztaroa eta hezkuntza 
Aita Yakov gaur egun Israelen bizi da, eta Lyubov ama oraindik San Petersburgon bizi da Perelmanekin. Perelmanen ama, Lyubov-ek, matematikako graduondoko lana utzi zuen hura hazteko. Perelmanen talentu matematikoa 10 urterekin agerian geratu zen, eta bere amak Sergei Rukshinen eskolaz kanpoko matematika prestakuntza programan matrikulatu zuen.

Bere matematika-heziketa Leningradoko 239 Bigarren Hezkuntzako Eskolan jarraitu zuen, matematika eta fisika aurreratuko programak zituen eskola espezializatu batean. Perelman gai guztietan nabarmendu zen, hezkuntza fisikoan izan ezik. 1982an, hamasei urte bete eta gutxira, urrezko domina irabazi zuen Sobietar Batasuneko taldeko kide gisa Budapesten ospatu zen Nazioarteko Olinpiada Matematikoan, puntuazio perfektua lortuz. Matematika eta Mekanika Eskolan ("матмех" deiturikoa, hau da, "matematika-mekanika") ikasle gisa jarraitu zuen Leningradoko Estatu Unibertsitatean, sarrera-azterketarik gabe, eta unibertsitatean matrikulatu zen.

1990ean doktoregoa amaitu ondoren, Perelmanek SESBko Zientzien Akademiako Steklov Matematika Institutuko Leningradeko Sailean hasi zen lanean, bere aholkulariak Aleksandr Aleksandrov eta Yuri Burago izan zirela. 1980ko hamarkadaren amaieran eta 1990ekoaren hasieran, Mikhail Gromov geometraren gomendio sendo batekin, Perelmanek ikerketa-lanpostuak lortu zituen Estatu Batuetako hainbat unibertsitatetan. 1991n, Perelmanek San Petersburgoko Matematika Elkarteko Matematikari Gaztearen Saria irabazi zuen behetik mugatutako Aleksandroven kurbadura-espazioei buruzko lanagatik. 1992an, New Yorkeko Unibertsitateko Courant Institutuan semestre bat egitera gonbidatu zuten, eta han Ricciren kurbaduraren beheko mugak dituzten barietateei buruzko lana hasi zuen. Handik, bi urteko Miller Ikerketa Beka bat onartu zuen Kaliforniako Unibertsitatean Berkeleyn, 1993an. 1994an arimaren aierua frogatu ondoren, AEBetako hainbat unibertsitate nagusitan lanpostuak eskaini zizkioten, Princeton eta Stanford barne, baina guztiak ukatu zituen eta 1995eko udan San Petersburgoko Steklov Institutura itzuli zen ikerketa-lanpostu batera.

 Hasierako ikerketa 

 Geometria ganbila 
Bere graduko ikasketetan, Perelmanek geometria ganbilaren arloko gaiak jorratu zituen. Argitaratutako bere lehen artikuluak poliedro ganbilen elkarguneetatik sortzen diren egitura konbinatorioak aztertu zituen. I. V. Polikanovarekin batera, Hellyren teoremaren neurri-teoriako formulazio bat ezarri zuen. 1987an, graduondoko ikasketak hasi zituen urtean, zilindro zirkunskribatuen tamaina inskribatutako esferen tamainaren bidez kontrolatzen zuen artikulu bat argitaratu zuen.

 Hipergainazal kurbatu negatiboak 
Kurbadura negatiboa duten gainazalak izan ziren Perelmanen graduondoko ikasketen gaia. Bere lehen emaitza hiru dimentsioko espazio euklidear batean kurba negatiboa duten gainazal poliedrikoen egitura preskribatzeko aukera izan zen. Frogatu zuen planoan dagoen metrika hori etengabe murgil daitekeela gainazal poliedriko gisa. Geroago, lau dimentsioko espazio euklidear baten hipergainazal leun baten adibidea eraiki zuen, kurbadura gaussiarra negatiboa duena eta zerotik urrun mugatua dena. Gainazal horien aurreko adibideak ezagutzen ziren, baina Perelmanena izan zen lehena zela-propietatea erakusten tokiko hiperplano zorrotz euskarrien ez-existentzian.  Horrela, bere eraikuntzak oztopo gehiago eman zion Nikolai Efimoven teorema ezagun bat dimentsio handiagoetara zabaltzeari.

 Alexandrov espazioak 
Perelmanen literatura matematikoan eragin handia izan zuten lehen lanak Alexandrov espazioen arloan izan ziren, eta horien kontzeptua 1950eko hamarkadakoa da. Yuri Burago eta Mikhael Gromovekin batera idatzitako artikulu oso ezagun batean, Perelmanek arlo honen oinarri modernoak ezarri zituen, Gromov-Hausdorff konbergentzia printzipio antolatzaile gisa erabiliz. Jarraian argitaratu gabeko artikulu batean, Perelmanek bere "egonkortasun teorema" frogatu zuen, kurbadura finko muga duen Alexandrov espazio guztien bilduman, espazio trinko baten inguruko edozein bola metriko nahiko txikiren elementu guztiak elkarren artean homeomorfoak direla baieztatuz. Vitali Kapovitchek, Perelmanen artikulua "irakurtzeko oso zaila" zela esan zuenak, geroago Perelmanen frogapenaren bertsio zehatza idatzi zuen, sinplifikazio gehiago erabiliz.

Perelmanek Morse teoriaren bertsio bat garatu zuen Alexandrov espazioetan. Alexandrov espazioetan leuntasun falta egon arren, Perelmanek eta Anton Petruninek funtzio batzuen gradiente-fluxua kontuan hartu ahal izan zuten, argitaratu gabeko lan batean. Alexandrov espazioen "azpimultzo muturreko" nozioa ere aurkeztu zuten, eta erakutsi zuten azpimultzo muturreko batzuen barnealdeek espazioaren estratifikazio bat definitzen dutela barietate topologikoen bidez. Beste lan argitaratu gabe batean, Perelmanek DC funtzioak (funtzio ahurren diferentzia) aztertu zituen Alexandrov espazioetan eta puntu erregularren multzoak DC funtzioetan modelatutako barietate baten egitura duela ezarri zuen. Alexandrov espazioei buruzko bere lanagatik, Perelman gonbidatu gisa hitzaldi batekin aitortu zuten 1994ko Matematikarien Nazioarteko Kongresuan.

 Geometria konparatiboa 
1972an, Jeff Cheeger eta Detlef Gromoll-ek arimaren teorema garrantzitsua ezarri zuten. Teorema honek baieztatzen du kurbadura sekzional ez-negatiboa duen Riemann-en metrika orok azpibarietate trinko eta ez-negatibo kurbatu bat duela, arima izenekoa, zeinaren multzo normala jatorrizko espazioarekiko difeomorfoa den. Homotopia teoriaren ikuspegitik, honek bereziki dio kurbadura sekzional ez-negatiboa duen Riemann-en metrika oro itxitzat har daitekeela. Cheeger eta Gromoll-ek konjektatu zuten kurbadura nonbait hertsiki positiboa bada, orduan arima puntu bakar bat dela har daitekeela, eta beraz, jatorrizko espazioa espazio euklidearrarekiko difeomorfoa izan behar dela. 1994an, Perelmanek Cheeger eta Gromollen aieruaren froga labur bat eman zuen, kurbadura sekzional ez-negatiboaren baldintzapean, Sharafutdinoven atzerakada murgiltzea dela ezarriz. Perelmanen teorema esanguratsua da kurbadura ez-negatiboa duen metrika bat kurbadura positiboa duen metrika batera deformatzeko oztopo topologiko bat ezartzeko, baita puntu bakarrean ere.

Perelmanen lan batzuk Ricci-ren kurbadura positiboa duten hainbat Riemann-en barietate interesgarriren eraikuntzari buruzkoak ziren. Riemann-en metrikak aurkitu zituen Ricci-ren kurbadura positiboa, diametro mugatua eta zerotik urrundutako bolumen mugatua duten plano proiektibo konplexu arbitrario askoren batura konektatuan. Gainera, metrika oso esplizitu bat aurkitu zuen lau dimentsioko espazio euklidearrean, Ricci-ren kurbadura positiboa eta bolumen-hazkunde euklidearra dituena, eta kono asintotikoa ez-bakarki definituta dagoenean.

 Geometrizazioa eta Poincaréren aieruak 

 Arazoak 
Henri Poincaré matematikariak 1904an proposatutako Poincaré-ren aierua XX. mende osoan topologiako arazo gakotzat hartu izan da. 3-esferan, lau dimentsioko espazio euklidear batean jatorritik unitateko luzera duten puntuen multzo gisa definituta, edozein begizta puntu batean uzkurtu daiteke. Poincaré-k iradoki zuen alderantzizkoa egia izan zitekeela: hiru dimentsioko multzo itxi batek edozein begizta puntu batean uzkurtu daitekeen propietatea badu, orduan topologikoki 3-esfera baten baliokidea izan behar du. Stephen Smalek Poincaré-ren aieruaren dimentsio handiko analogo bat frogatu zuen 1961ean, eta Michael Freedmanek lau dimentsioko bertsioa 1982an. Beren lana gorabehera, hiru dimentsioko espazioen kasua guztiz konpondu gabe geratu zen. Gainera, Smale eta Freedmanen metodoek ez dute eraginik izan hiru dimentsioko kasuan, haien manipulazio topologikoek, "eskualde problematikoak" beste eskualdeekin oztopatu gabe bidetik mugituz, dimentsio handiak behar dituztela dirudi funtzionatzeko.

1982an, William Thurstonek ikuspuntu berritzaile bat garatu zuen, Poincaréren aierua hiru dimentsiotako topologiaren egitura sistematiko hipotetikoaren teoria baten kasua berezi txiki bihurtuz. Bere proposamenak, Thurston geometrizazio-aierua bezala ezagutzen denak, hiru dimentsioko edozein multzo itxi emanda, multzoaren barruan bi dimentsioko esfera eta tori multzo bat dagoela zioen, espazioa zati bereizietan deskonektatzen dutenak, eta bakoitzari egitura geometriko uniforme bat eman dakiokeela. Thurstonek bere aierua frogatu ahal izan zuen behin-behineko zenbait hipotesiren pean. John Morganen ustez, Thurstonen ikuspuntu sistematikoarekin bakarrik sinetsi zuten topologo gehienek Poincaréren aierua egia izango zela.

 Perelmanen lana 
2002ko azaroan eta 2003ko martxoan, Perelmanek bi aurre-argitalpen argitaratu zituen arXiv-en, eta bertan Thurston-en aieruaren froga bat azaldu zuela aldarrikatu zuen. 2003ko uztailean argitaratutako hirugarren artikulu batean, Perelmanek argudio gehigarri bat azaldu zuen, Poincaré-ren aierua (baina ez Thurston-en aierua) frogatzeko nahikoa, bigarren aurre-argitalpeneko lan teknikoena saihestea helburu zuena.

Perelmanen lehen aurre-argitalpenak bi emaitza nagusi zituen, biak Ricci-ren fluxuarekin lotuta. Lehenengoa, edozein dimentsiotan baliozkoa. Peter Li eta Shing-Tung Yau-ren Harnack desberdintasun diferentzialen Ricci-ren fluxuaren esparrurako egokitzapen berritzaile batean oinarritzen zen.

 Egiaztapena 
Perelmanen aurre-inprimaketek matematika komunitatearen arreta berehala erakarri zuten, nahiz eta ulertzeko zailak zirela uste izan, labur idatzita baitzeuden. Matematika akademikoko argitalpenetan ohikoa den estiloaren aurka, xehetasun tekniko asko kendu ziren. Laster agerian geratu zen Perelmanek Ricciren fluxuaren oinarriei ekarpen handiak egin zizkiela, nahiz eta matematika komunitatearentzat ez zen berehala argi izan ekarpen horiek nahikoak zirenik geometrizazio-aierua edo Poincaré-ren aierua frogatzeko.

2003ko apirilean, Perelmanek Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University eta New York University bisitatu zituen bere lanari buruzko hitzaldi sorta laburrak emateko eta arlo horietako adituei xehetasun batzuk argitzeko. Ondorengo urteetan, hiru azalpen zehatz agertu ziren. Ordutik, Perelmanen lanaren hainbat atal hainbat testuliburutan eta azalpen artikulutan ere agertu dira.

 Fields Domina eta Milurteko Saria 
2006ko maiatzean, bederatzi matematikarik osatutako batzorde batek Perelman-i Fields Domina ematea bozkatu zuen Ricci fluxuari buruzko lanagatik. Hala ere, Perelmanek saria onartzeari uko egin zion. Sir John Ball, Nazioarteko Matematika Batasuneko presidenteak, Perelman-engana joan zen San Petersburgora 2006ko ekainean saria onartzera konbentzitzeko. Bi egunetan 10 orduz konbentzitzen saiatu ondoren, Ballek amore eman zuen. Bi aste geroago, Perelmanek elkarrizketa honela laburbildu zuen: "Hiru alternatiba proposatu zizkidan: onartu eta etorri; onartu eta ez etorri, eta domina geroago bidaliko zidaten; hirugarrena, ez dut saria onartzen. Hasieratik bertatik, hirugarrena aukeratu nuela esan nion... sariak ez zuen inolako garrantzirik niretzat. Denek ulertu zuten frogapena zuzena bazen, ez zela beste aitortzarik behar".

Honela esan zuela aipatu zuten: "Ez nago diruaz edo ospeaz interesatuta, ez dut zoologiko bateko animalia bat bezala erakutsia izan nahi. Ez naiz matematikaren heroia. Ez naiz hain arrakastatsua ere; horregatik ez dut nahi denek niri begira egotea".

Hala ere, 2006ko abuztuaren 22an, Madrilen egindako Matematikarien Nazioarteko Kongresuan, Perelmani Fields Domina eskaini zioten "geometrian egindako ekarpenengatik eta Ricci fluxuaren egitura analitiko eta geometrikoari buruzko ikuspegi iraultzaileengatik". Ez zen ekitaldira joan eta aurkezleak kongresuari jakinarazi zion Perelmanek domina ez zuela onartu nahi, eta horrela saria ukatu zuen pertsona bakarra bilakatu zen.

Europako Matematika Elkarteko sari ospetsu bat ere ukatu zuen.

2010eko martxoaren 18an, Perelmanek Milurteko Saria jaso zuen problema ebazteagatik. 2010eko ekainaren 8an, ez zen bere omenezko ekitaldi batera joan Parisko Ozeanografia Institutuan milioi bat dolarreko saria onartzeko. Interfaxen arabera, Perelmanek uko egin zion Milurteko Saria onartzeari 2010eko uztailean. Clay Institutuaren erabakia bidegabea zela uste zuen saria Richard S. Hamiltonekin ez partekatzeagatik, eta adierazi zuen "arrazoi nagusia komunitate matematiko antolatuarekin dudan desadostasuna da. Ez zaizkit gustatzen haien erabakiak, bidegabeak direla uste dut".

Ondoren, Clay Institutuak Perelmanen sariaren dirua erabili zuen "Poincare Katedra" finantzatzeko, matematikari gazte eta itxaropentsuentzako aldi baterako lanpostu bat bideratzeko Parisko Henri Poincaré Institutuan.

 Matematikatik aldentzeko aukera 
Perelmanek Steklov Institutuko lana utzi zuen 2005eko abenduan. Bere lagunek esan omen zuten matematika eztabaidatzeko gai mingarria zela uste zuela; 2010erako, batzuek esan zuten matematika erabat alde batera utzi zuela.

2014an, Errusiako komunikabideek jakinarazi zuten Perelman Suedian nanoteknologiaren arloan lanean ari zela. Handik gutxira, ordea, berriro ikusi zuten bere jaioterrian, San Petersburgon. Errusiako komunikabideek espekulatu zuten aldian-aldian Suedian duen arreba bisitatzen zuela, San Petersburgon bizi eta bere ama adinekoa zaintzen zuen bitartean.

 Perelman eta komunikabideak 
Perelmanek kazetariak eta komunikabideetako beste kide batzuk saihestu ditu. Masha Gessen, Perelmanen biografiaren egilea, "Zorroztasun Perfektua: Jenio bat eta mendeko aurrerapen matematikoa" (Perfect Rigour: A Genius and the Mathematical Breakthrough of the Century), ezin izan zen harekin elkartu. Deitu zion kazetari bati zera esan zioten: "Moteltzen ari zara. Perretxikoak biltzen nabil".

Perelmanen inguruko errusiar dokumental bat kaleratu zen 2011n, non hainbat matematikari garrantzitsuk, besteak beste, Mikhail Gromov, Ludwig Faddeev, Anatoly Vershik, Gang Tian, ​​John Morgan eta beste batzuek, bere lana eztabaidatzen zuten.

2011ko apirilean, Aleksandr Zabrovskyk, President-Film estudioko ekoizleak, Perelmanekin elkarrizketa bat egin zuela eta hari buruzko film bat egitea onartu zuela adierazi zuen, "Unibertsoaren Formula" izenburupean behin-behinekoz. Zabrovskyk esan zuen elkarrizketan, Perelmanek milioi bat dolarreko saria zergatik ukatu zuen azaldu ziola. Hainbat kazetariren ustez, Zabrovskyren elkarrizketa faltsua da ziurrenik, Perelmanek ustez egindako adierazpenen kontraesanak aipatuz.

Brett Forrest idazleak laburki elkarreragin zuen Perelmanekin 2012an.

 Argitalpenak 

 Tesia 

  Перельман, Григорий Яковлевич (1990). (Седловереносто, евклидова, ространствай) "Euklidear espazioetako zela-gainazalak" (Saddle surfaces in Euclidean spaces). Ленинградский государственивениверситей. Автореч, диса соисканененестекандаканда.

 Ikerketa lanak 

 P85.  Perelʹman, G. Ya. (1985). "R2k − 1-eko k-eskeleto abstraktuen errealizazioa poliedro ganbilen elkarguneen k-eskeleto gisa" (Realization of abstract k-skeletons as k-skeletons of intersections of convex polyhedra in R2k − 1.) In Ivanov, L. D. (ed.). Geometric questions in the theory of functions and sets. Kalinin: Kalinin gosudarstvennyy universitet. pp. 129–131. MR 0829936. Zbl 0621.52003
 PP86.  Polikanova, I. V.; Perelʹman, G. Ya. (1986). " Hellyren teoremari buruzko ohar bat" (A remark on Helly's theorem). Sibirskij Matematiceskij Zurnal. 27 (5): 191–194. MR 0873724. Zbl 0615.52009
 P87  Perelʹman, G. Ya. (1987). "Gorputz ganbil baten k-erradioak" (k-radii of a convex body). Siberian Mathematical Journal. 28 (4): 665–666. Bibcode:1987SibMJ..28..665P. doi:10.1007/BF00973857. MR 0906047. S2CID 122265141. Zbl 0637.52009
 P88  Perel'man, G. Ya. (1991). "Jarleku-gainazal poliedrikoak" (Polyhedral saddle surfaces). Journal of Soviet Mathematics. 54 (1): 735–740. doi:10.1007/BF01097421. ISSN 0090-4104. MR 0971977. S2CID 121040191
 P89  Perel'man, G. Ya. (1992). "R4-n zerotik urrun mugatutako kurbadura gaussiarra duen jarleku-gainazal oso baten adibidea" (Example of a complete saddle surface in R4 with Gaussian curvature bounded away from zero) (PDF). Journal of Soviet Mathematics. 59 (2): 760–762. doi:10.1007/BF01097177. ISSN 0090-4104. MR 1049373. S2CID 121011846
 BGP92  Burago, Yu; Gromov, M; Perel'man, G (30 April 1992). "A.D. Alexandrov-en espazioak behean mugatutako kurbadurarekin" (A.D. Alexandrov spaces with curvature bounded below). Russian Mathematical Surveys. 47 (2): 1–58. doi:10.1070/RM1992v047n02ABEH000877. ISSN 0036-0279. MR 1185284. S2CID 250908096. Zbl 0802.53018
 P93  "G. Ya. Perel'man, "Morse teoriaren elementuak Aleksandrov espazioetan" (Elements of Morse theory on Aleksandrov spaces), Algebra i Analiz, 5:1 (1993), 232–241; St. Petersburg Math. J., 5:1 (1994), 205–213". Math-Net.Ru 

 PP93  "G. Ya. Perel'man, Petrunin, "Aleksandrov espazioetako azpimultzo muturrak eta Libermanen teorema orokortua" (Extremal subsets in Aleksandrov spaces and the generalized Liberman theorem), Algebra i Analiz, 5:1 (1993), 242–256; St. Petersburg Math. J., 5:1 (1993), 215–227". Math-Net.Ru (in Russian). MR 1220498. Zbl 0815.53072. 
 P94a  Perelman, G. (1994). "Ricciren kurbadura positiboa duten barietateak ia bolumen maximoarekin" (Manifolds of positive Ricci curvature with almost maximal volume). Journal of the American Mathematical Society. 7 (2): 299–305. doi:10.1090/S0894-0347-1994-1231690-7. MR 1231690. Zbl 0799.53050. 
 P94b  Perelman, G. (1994). "Cheeger eta Gromoll-en arimaren aieruaren froga" (Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll). Journal of Differential Geometry. 40 (1): 209–212. doi:10.4310/jdg/1214455292. MR 1285534. S2CID 118147865. Zbl 0818.53056 

 P95a  Perelman, G. (1995). "Behean mugatutako kurbadura duten espazioak" (Spaces with curvature bounded below) (PDF). In Chatterji, S. D. (ed.). Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1. Zürich, Switzerland ( 3–11 August 1994). Basel: Birkhäuser. pp. 517–525. doi:10.1007/978-3-0348-9078-6. ISBN 3-7643-5153-5. MR 1403952. Zbl 0838.5303 
 P95b  Perelman, G. (1995). "Ricciren kurbadura positiboa duten barietateetarako diametro-esferaren teorema" (A diameter sphere theorem for manifolds of positive Ricci curvature). Mathematische Zeitschrift. 218 (4): 595–596. doi:10.1007/BF02571925. MR 1326988. S2CID 122333596. Zbl 0831.53033 
 P95c  Perelman, G. (1995). "Kurbadura ez-negatiboa duten espazioen zabalerak" (Widths of nonnegatively curved spaces). Geometric and Functional Analysis. 5 (2): 445–463. doi:10.1007/BF01895675. MR 1334875. S2CID 120415759. Zbl 0845.53031 

 P97a  Perelman, G. (1997). "Muturreko azpimultzo egokirik gabe kolapsatzen" (Collapsing with no proper extremal subsets) (PDF). In Grove, Karsten; Petersen, Peter (eds.). Comparison geometry. Special Year in Differential Geometry held in Berkeley, CA, 1993–94. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Vol. 30. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 149–155. ISBN 0-521-59222-4. MR 1452871. Zbl 0887.53049 
 P97b  Perelman, G. (1997). "Ricciren kurbadura positiboa duten barietateen eraikuntza, bolumen handikoak eta Betti zenbaki handikoak izanik" (Construction of manifolds of positive Ricci curvature with big volume and large Betti numbers) (PDF). In Grove, Karsten; Petersen, Peter (eds.). Comparison geometry. Special Year in Differential Geometry held in Berkeley, CA, 1993–94. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Vol. 30. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 157–163. ISBN 0-521-59222-4. MR 1452872. Zbl 0890.53038 
 P97c  Perelman, G. (1997). "Ricciren kurbadura positiboa duen Riemannen barietate oso bat, bolumen-hazkunde euklidearrarekin eta kono asintotiko ez-bakarrarekin" (A complete Riemannian manifold of positive Ricci curvature with Euclidean volume growth and nonunique asymptotic cone) (PDF). In Grove, Karsten; Petersen, Peter (eds.). Comparison geometry. Special Year in Differential Geometry held in Berkeley, CA, 1993–94. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Vol. 30. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 165–166. ISBN 0-521-59222-4. MR 1452873. Zbl 0887.53038 

  Argitaratu gabeko lanak 

 P91  Perelman, G. (1991). "Alexandroven espazioak behetik mugatutako kurbadurarekin II (Alexandrov's spaces with curvatures bounded from below II)
 PP95  Perelman, G.; Petrunin, A. (1995). "Kuasigeodesikoak eta gradiente kurbak Alexandrov espazioetan" (Quasigeodesics and gradient curves in Alexandrov spaces)
 P95d  Perelman, G. (1995). "Alexandrov espazioko DC egitura (aurretiazko bertsioa)" (DC structure on Alexandrov space (preliminary version))
 P02  Perelman, Grisha (2002). "Ricci fluxuaren entropia formula eta bere aplikazio geometrikoak". arXiv:math/0211159 (The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications). arXiv:math/0211159 
 P03a  Perelman, Grisha (2003). "Ricci fluxua hiru barietateetan kirurgiarekin". arXiv:math/0303109 (Ricci flow with surgery on three-manifolds). arXiv:math/0303109
 Po3b  Perelman, Grisha (2003). "Ricci-ren fluxuaren soluzioetarako iraungitze-denbora finitua hiru barietate jakin batzuetan." arXiv:math/0307245 (Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds). arXiv:math/0307245 

 Erreferentziak 

Kategoria:Errusiako matematikariak
Kategoria:Sobietar Batasuneko matematikariak
Kategoria:Errusiako juduak
Kategoria:Sanpetersburgotarrak