Kardinalitate

Multzoen kardinalitatea 
Multzo finitu baten kardinalitatea bere elementuen kopurua besterik ez den bitartean, nozioa multzo infinituetara zabaltzeko, normalean, konparazioaren nozioa multzo arbitrarioetan (bereziki infinituetan) definitzen hasten gara. N-ren funtzio bijetiboa E-n. E N-ren azpimultzo propioa den arren, bi multzoek kardinalitate bera dute. 

1. definizioa

|A | = | B |  A eta B multzo bik kardinaltasun bera dute bijekzio bat badago, hau da, funtzio injektiboa eta surjetiboa, A-tik B-ra. Multzo hauek ekipotenteak edo talde-lenteak direla esaten da. Erlazio hau A ≈ B edo A ~ B adieraz daiteke. Adibidez, zenbaki bikoiti ez-negatiboen E = {0, 2, 4, 6, ...} multzoak naturalaren N = {0, 1, 2, 3, ...} multzoaren kardinalitate bera du. zenbakiak, f (n) = 2n funtzioa E-ren N-ren bijekzioa baita. 7

2. definizioa

|A | ≤ | B | A-k B-ren kardinalitatearen berdina edo txikiagoa du A-tik B-rako funtzio injektibo bat badago.

3. definizioa

|A | << B | A-k kardinalitatea B-ren kardinalitatea baino hertsiki txikiagoa du B-n A-ren funtzio injektibo baina ez bijektibo bat badago. 

 Zenbaki kardinalak 
Aurrekoan, kardinalitatea funtzionalki definitu zen. Hau da, multzo baten kardinalitatea ez zen objektu zehatz gisa definitzen. Hala ere, honela defini dezakezu objektu bat: Kardinalitate bera edukitzearen erlazioari ekipotentzia deritzo, eta hau multzo guztien klasearen baliokidetasun-erlazioa da. Erlazio honen pean A multzo baten baliokidetasun-klasea, beraz, A-ren kardinalitate bera duten multzo guztiek osatzen dute. Bi modu daude multzo baten kardinalitatea definitzeko. A multzo baten kardinalitatea bere baliokidetasun-klase gisa definitzen da ekipotentzian. Multzo adierazgarri bat izendatzen da baliokidetasun-klase bakoitzerako. Aukerarik ohikoena klase horretako hasierako ordinala da. Hau multzo axiomatikoen teorian zenbaki kardinalaren definizio gisa hartzen da. Aukeraren axioma onartuz, multzo infinituen kardinalitateak adierazten dira:

Ordinal bakoitzerako , ,  . baino handiagoa den kardinalik txikiena da.

 Ikus, gainera 
 Zenbaketa

 Kanpo estekak 

Kategoria:Multzo-teoria