Talesen teorema (elkarketa)

Talesen teorema edo elkarketaren teorema —ingelesez, teorema hau Intercept theorem izenarekin da ezaguna— Geometriako oinarrizko teorema bat da, eta hau dio:

Geometria klasikoan, bi teorema daude Talesen teorema izena daukatenak: bata hau da, Talesen teorema (elkarketa); eta bestea, Talesen teorema (zirkulua). Uste da Tales Miletokoa K. a. VI. mendeko greziar matematikari eta filosofoak formulatu zituela bi teorema horiek, eta berarengandik datorkie izena.

Lehenengoa (elkarketaren teorema) artikulu honen gaia da, eta azaltzen du nola eraiki triangelu baten beste triangelu antzeko bat ("antzeko triangeluek angelu berdinak dituzte").

Bigarrenak (zirkuluarena), aldiz, triangelu zuzenen zirkunzentroen funtsezko berezitasun bat argitzen du ("hipotenusaren erdigunean dago zirkunzentroa"), marrazketa geometrikoan angelu zuzenak eraikitzeko erabiltzen dena.

Triangelu isoszeleek bi angelu berdin dituztela frogatzeko erabili zituen Talesek emaitza horiek, bai eta triangelu baten hiru angeluen batura bi angelu zuzen dela ere.

 Formulazioa 
Demagun S bi lerroren elkargunea dela, eta A, B, lehen lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak. Hala, B S-tik A-tik baino urrutiago dago, eta, era berean, C, D bigarren lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak dira, D S-tik C-tik urrutiago baitago.

 Lehenengo lerroan bi segmenturen arteko erlazioa eta bigarren lerroan adostasun-segmentuen erlazioa berdinak dira:, ,  
 S-n hasten den lerro bereko bi segmentuen erlazioa eta paraleloetako segmentuen erlazioa berdinak dira: 
 Lehenengo esaldikoaren kontrakoa ere egia da, hau da, bi lerro arbitrariok elkar ebakitzen badute eta  eusten baditu, bi intertzeptazio paraleloak dira. Hala ere, bigarren baieztapenaren aurkakoa ez da egia.
 S-n bi lerro baino gehiago ebakitzen baditu, paraleloan dauden bi segmentuen arteko erlazioa bat dator beste paraleloan dauden hitzarmen-segmentuen erlazioarekin:,  

Talesen lehen teoremak lerroen sekzioen proportzioak erakusten ditu; bigarrenak, lerroen sekzioen proportzioak, eta paraleloen sekzioak; azkenik, hirugarrenak paraleloen sekzioen proportzioak erakusten ditu.
erdian|700x700px
erdian|700x700px

Froga
Teoremaren oinarrizko froga batek azalera berdineko triangeluak erabiltzen ditu arrazoiei buruzko oinarrizko adierazpena (1.) frogatzeko. Ondoren, beste baieztapenak lehenengoa eta kontraesana aplikatuz frogatzen dira.

 1. baieztapena 
300px|eskuinera
Oharra: Barra bertikalen artean jarritako triangeluekin () haien azalera adierazten da eta segmentuekin () haien luzera.

Froga:  denez,  eta  triangeluen altuerek luzera berdina dute. Triangelu horiek oinarri bera partekatzen dutenez, haien azalerak berdinak dira. Beraz,  eta  ere bai. Hori dela eta

 eta 

Triangelu-azaleren formula () erabiliz aurreko adierazpenak honela idatzi ahal dira;

 eta 

Faktore komunak ezabatuz honela geratzen direnak:

       eta              1. baieztapenaren frogatu beharreko 1. eta 3. berdintzak

eta 3. berdintza horretatik
       eta       

eta, beraz,  edo gauza bera dena        Frogatu beharreko 2. berdintza.

 2. baieztapena 
300px|eskuinera
A puntutik marraztutako -rekiko zuzen paralelo laguntzaileak  zuzena G puntuan ebakitzen du eta   da.

Erabiltzen badugu frogatutako 1. baieztapena B puntuan elkar ebakitzen duten  eta  lerroekin 

 dugu, eta hemen -a -z ordezkatuz:



 3. baieztapena 
300px|eskuinera
Demagun  eta  paraleloak ez direla. Orduan,  -tik doan -ren zuzen paraleloak   puntuan ebakitzen du  zuzena. Eta  egia denez,  dugu. eta, bestalde, 1. baieztapenetik .  Beraz,  eta  -ren alde berean eta -tik distantzia berera daude,  dela esan nahi duena. Egindako hipotesiarekin bat ez datorrena; beraz, hipotesi hori ezin da egia izan, eta  eta  paraleloak dira .

 Lotutako kontzeptuak 

 Antzekotasuna eta antzeko triangeluak 
eskuinera|thumb|400x400px|Antzeko bi triangelu ordenatuz, Talesen teorema aplikatu ahal izateko
Talesen teoremak lotura estua du antzekotasunarekin. Antzeko triangeluen baliokidea da, hau da, antzeko triangeluen eta antzeko triangeluen propietateak probatzeko erabil daiteke, Talesen teorema probatzeko. Angelu berdinak parekatzean, elkarren antzeko bi triangelu jar daitezke beti, Talesen teorema aplikatzen den konfigurazioa lortzeko; eta, kontrara, Talesen teoremaren konfigurazioak beti antzeko bi triangelu ditu.

 Biderketa eskalarra bektore-espazioetan 
Bektore-espazio normalizatu batean, biderketa eskalarrari buruzko axiomek (bereziki  eta ) bermatzen dute Talesen teorema mantentzen dela. Batek du.

600x600px

 Aplikazioak 

 Konpas eta erregela eraikuntzen formulazio aljebraikoa 
Oinarrizko geometrian hiru problema ezagun daude, eta grekoek planteatu zituzten konpas eta eskuairarekin eraiki daitezkeenei dagokionez:

 Angeluaren trisekzioa
 Kuboa bikoiztea
 Zirkuluaren koadratura

2000 urte baino gehiago iraun zuten, eta azkenean hirurak ezinezkoak agertu ziren XIX. mendean emandako tresnekin, denbora horretan eskuragarri zeuden metodo aljebraikoak erabiliz. Aljebrako terminoetan birformulatzeko, gorpoutz-eragiketak eta konpasa eta eskuaira konbinatu behar dira. Bereziki, garrantzitsua da bi linea-segmentu jakinetarako linea-segmentu berri bat eraiki ahal izatea, haien luzera beste bien luzeren biderkaduraren berdina izan dadin. Era berean, luzera-lerroko segmentu baterako,  luzera-lerroko segmentu berri bat eraiki behar da. Bi kasuetan eraikuntza hori posible dela erakusteko erabil daiteke intertzeptazio-teorema.
Produktu bat eraikitzea330x330pxAlderantzizkoa eraikitzea330x330px

 Lerro-segmentu bat proportzio jakin batean zatitzea 
Lerro arbitrarioko  segmentu bat proportzio batean zatitzeko, marraztu angelu arbitrario bat An hanka batekin. Beste hankan  puntu distantziakideak eraiki, eta, gero, mgarren puntuaren bidez lerroa marrazten da azkeneko puntutik eta B puntutik, eta mgarren puntutik lerro paraleloa egiten da. Lerro paralelo hori nahi den proportzioan  banatzen du. Eskuinean dagoen grafikoak  linea-segmentu baten zatiketa erakusten du  proportzio batean.eskuinera|300x300px

 Neurketa eta azterketa 

 Keops piramidearen altuera 
eskuinera|thumb|300x300px|neurketa-piezak
eskuinera|thumb|287x287px|C eta D kalkulatzea
Zenbait iturri historikoren arabera, Tales matematikari grekoak Gizako piramide handiaren altuera zehazteko teorema gurutzatua aplikatu zuen. Piramidearen altuera kalkulatzeko intertzeptazio-teoremaren erabilera erakusten du hurrengo deskribapenak. Hala ere, ez du kontatzen Talesen jatorrizko lana, galdu egin baitzen.

Talesek piramidearen oinarriaren luzera eta makilaren altuera neurtu zituen. Gero, eguneko ordu berean, piramidearen itzalaren luzera eta makilaren itzalaren luzera neurtu zituen. Datu hauek eman zituen horrek:

 makilaren altuera (A): 1,63 m
 makilaren itzala (B): 2 m
 piramidearen oinarriaren luzera: 230 m
 piramidearen itzala: 65 m

Hortik konputatu zuen berak



A, B eta C ezagututa, orain gai izan zen konputatzeko teorema gurutzatua aplikatzeko



 Ibai baten zabalera neurtzea 
Talesen teorema zuzenean neurtu ezin den distantzia zehazteko erabil daiteke, hala nola ibai baten edo laku baten zabalera, eraikin altu edo antzekoen altuera. Eskuinaldeko grafikoak ibai baten zabaleraren neurketa erakusten du. ,  eta segmentuak neurtu eta erabili egiten dira nahi den distantzia kalkulatzeko.eskuinera|400x400px

 Lerro paraleloak triangeluetan eta trapezoideetan 
Talesen teorema erabil daiteke frogatzeko eraikuntza jakin batek lerro paraleloak (segmentua)s sortzen dituela.
Triangeluaren bi aldeetako batez besteko puntuak konektatuta badaude, ondoriozko lerro-segmentua triangeluaren hirugarren aldearekiko paraleloa da (triangeluen erdiko puntuaren teorema).


 Erreferentziak 

 Bibliografia 





 Kanpo estekak 
  Aplicaciones del Teorema de Tales

Kategoria:Geometriako teoremak
Kategoria:Hirukiak
Kategoria:Jakindunen bideoak dituzten artikuluak