Erlazio bitar

Matematikan, erlazio bitar bat  eta  multzoen elementuen artean definitutako  matematika-erlazio bat da.

 eta  multzoen arteko  erlazio bat  propietatea betetzen duten  bikote ordenaturen bidez adierazi ahal da,  biderkadura cartesiarraren  bikote ordenatuen azpimultzo batekoak. Notazio matematikoa erabiliz

 egiazkoa 

idatz daitekeena eta mintzatuz

' erlazio bitarra haietan  propietatea betetzen den  multzoaren  elementuak  multzoaren  elementuekin lotzen dituzten  bikote ordenatuen multzoa da'

adierazi.

Notazio matematiko ohikoenetan  eta  elementuen arteko  erlazio bitarra hurrengo eratan adierazten da:

         edo               edo        

edo baita ere

        edo.       

poloniar notazioa edo alderantzizko poloniar notazioa erabiltzen badira.

 Adibidea 

  zenbaki errealen multzoa emanda,  planoko  abzisen eta  ordenatuen arteko  erlazio bitar bat definitu ahal dugu,  funtzio koadratikoa betetzen duten puntuak aukeratuz.
Notazio matematikoaz 
adierazten dena.

 Erlazio bitarren taxonomia, sailkapen orokorra 
Erlazio bitarren taxonomia erakusteko grafikoan, definizio orokorragoetatik espezifikoagoetara joateko jarrai gezien noranzkoa.
700px|erdian

Erlazio bitarren garrantzia matematikan, multzoren zenbakidun eta ez zenbakidun elementuen arteko elkartze asko eta asko sarritan binaka egitetik dator; eta hori elementuak bai multzo berekoak direnean eta baita ere multzo ezberdinekoak direnean.

Goiko eskeman egitura aljebraiko edo erlazio bitarren azpimota batzuk agertzen dira. Eskema hori lagungarri izango dugu aurrerago erlazio mota horiek aztertzerakoan.

Lehenengo eta behin erlazio homogeneo eta heterogeneoak bereizi behar dira; lehenengoetan erlazio bitarrak multzo bereko elementuen artekoak dira eta, horren ondorioz, multzo horren barne egitura bati lotuta daude; bigarrenetan erlazioak bi multzo ezberdinen elementuen artekoak dira eta kalkulu-eragiketa edo funtzioei lotuta izaten ohi dira.
Erlazio homogeneo bat erlazio heterogeneoen moduan ere sailkatu ahal da, baina ez alderantziz.

 Erlazio homogeneoak 
Multzo biren arteko erlazio bitar bat homogeneoa da multzo biak multzo bera direnean:


A eta B multzoak multzo bera direnez,


idatzi ohi da, edo


 Erlazio heterogeneoak 
A eta B multzo biren arteko erlazioa heterogeneoa da A eta B multzoak multzo bera ez direnean:



 multzoari erlazioaren abiaburu-multzoa deitzen zaio eta  multzoari erlazioaren helburu-multzoa.
Erlazio batean partaideak diren  multzoko elementuek erlazioaren aurreirudi-multzoa edo erlazioaren izate-eremua (ingelesez domain) osatzen dute eta  multzokoek erlazioaren irudi-multzoa (ingelesez range).

 Aurrez ikusi beharreko kontzeptuak 
Erlazio bitarrak aztertu baino lehen badaude ezagutzea komeni den kontzeptu batzuk; garrantzitsuenak hurrengoak dira:

 Bikote ordenatuak 

bikote ordenatu bat lehenengo elementu bat eta bigarren elementu bat dituen objektu matematikoen bikote bat da. Lehenengo elementua a eta bigarren elementua b dituen bikote ordenatua irudikatzeko (a,b) idazten da.

(a,b) bikote ordenatua ez da {a,b} idazten den a eta b elementuez osatuta dagoen multzoa. Multzo bat bera osatzen duten elementuez baino ez dago definitua, bikote ordenatu bat definitzerakoan, aldiz, elementuen ordena ere kontuan hartu behar da. Adibidez, {0, 1} eta {1, 0} multzoak multzo bera dira baina (0, 1) eta (1, 0) bikote ordenatuak bi bikote ezberdinak dira.

Bikote ordenatuak 2-tuplak edo 2 dimentsioko bektoreak ere izendatzen dira. Ordenatuta dauden objekturen bilduma finituaren nozioa objektu pare bat baino gehiagorako zabaldu ahal da eta n-koteren kontzeptua sortu.

(a, b) bikote ordenatu baten osagaiak hurrengoak dira:

Lehenengo multzoari dagokion a lehenengo osagaia
Bigarren multzoari dagokion b bigarren osagaia

 Biderkadura cartesiarra 

A eta B multzoen AxB biderkadura cartesiarra lehenengo osagaia A multzoko elementuez eta bigarrena B multzoko elementuez osatutako bikote ordenatu guztien multzoa da.

Eta notazio matematikoan



idazten da.



Hurrengo bi multzoak baditugu:



AxB biderkadura cartesiarra lortzeko A multzoaren elementuak taula baten ardatz horizontalean eta B multzoarenak ardatz bertikalean jartzen dira eta gurutzaketa gelaxketan gagozkien bikote ordenatuak; kontuan izanda bikote ordenatuetan lehenengo tokian ardatz horizontaleko A multzoaren elementuak jarri behar direla eta bigarren tokian ardatz bertikaleko B multzoarenak.

Bikote ordenatuen multzoaren elementuak hurrengoak lirateke:


 Erlazio bitarrak: biderkadura cartesiarraren azpimultzoak 
AxB biderkadura cartesiarra ikusita, erlazio bitar bat, adibidez baino txikiagoa erlazioa, biderkadura cartesiar horren azpimultzo baten bidez adierazi ahal da.
Oharra: a>b adierazpen matematikoaren esangura hurrengoa da:
ingelesez 'a (is) greater than b', frantsesez 'a (est) plus grand que b', espainieraz 'a (es) mayor que b' 
eta euskaraz 'a handiagoa (da) b baino' edo, gauza bera dena, 'a baino txikiagoa (da) b' 
eta irakurtzen denean, aditza ezabatuz, hurrengoa esan ohi dute matematikariek: 
ingelesez 'a greater than b', frantsesez 'a plus grand que b', espainieraz 'a mayor que b' 
eta euskaraz, jende arruntarentzat ulergarria izateko inguruko hizkuntzen formari hurbilegi jarraituz, 'a handiago b' 
baina hau jende arruntarentzat ia ulertu ezina da, konparaketa nolakoa den jakiteko funtsezkoa den bainoa ere, ezabatzen delako; 
hori dela eta, jende arruntarentzat ulergarriagoa gerta dadin 
 artikulu honetan a>b adierazpena 'a baino txikiagoa b' irakurriko da.

eta parte hartzen duten bikote ordenatu guztiak banan banan idatziz:

Erlazio bitarra definitzen duten bikote ordenatuak multzoen biderkadura cartesiarraren azpimultzo bat direla.
|

Hori dela eta, multzo biren artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua estimatu ahal da.

 badira

A eta B multzoen artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua hurrengoa da:

Multzoren bat infinitua izanez gero aurreko kopurua zenbaki transfinitua legez hartu behar da.

 Erlazio bitar homogeneoak 
Aurrerago esan den legez, erlazio bitar homogeneo bat multzo bakar baten elementuen artekoa da; multzo hori A multzoa bada notazio matematikoz honela adierazten da:


200px|eskuinera
Erlazio bitarrak multzo bakar baten elementuen artekoak direnean, erlazio horiek multzoak modu ezberdinetan egituratu ahal dituzte, egitura bat ematen diete multzoei eta multzoak sortutako egitura horien arabera sailka daitezke. Eredu baten bidez ikusiko dugu nola irudikatu horrelako erlazioak:

Alboko irudian geziez irudikatzen den  multzoaren elementuen arteko erlazioan  multzo bakar bat dagoela eta erlazionatuta duden elementu guztiak haren barnekoak direla ikusten da.


Erlazio berbera erlazionatuta dauden elementuen eralzio zerrenda batez irudikatu ahal da:

edo bikote ordenaturen multzo baten bidez:


200px|eskuinera

Erlazio bitar homogeneo bat Atik Arako korrespondentzia bat bezala ere, irudikatu ahal da:


A multzoa abiaburu-multzo legez hartuz eta, baita ere, helburu-multzo bezala.

Kasu honen erlazio bitarra aztertzeko erlazio bitar heterogeneoak aztertzerakoan erabiltzen diren irizpideak erabili ahal dira, eta haien arabera sailkatu erlazioa.

Erlazio bitar baten irudikapena biderkadura cartesiarraren azpimultzo batez:

 d  (a, d)  (b, d)  (c, d)  (d, d) c  (a, c)  (b, c)  (c, c)  (d, c) b  (a, b)  (b, b)  (c, b)  (d, b) a  (a, a)  (b, a)  (c, a)  (d, a) A×A a b c d
Alboko taulan  biderkadura cartesiarraren bikote ordenatu guztiak agertzen dira; ereduaren erlazioa irudikatzeko balio dutenak letra lodiz nabarmenduta daudela.

Beraz, hurrengoa da  erlazioa irudikatzeko erabili ahal den  biderkadura cartesiarraren azpimultzoa:


Kontuan hartu ardatz horizontalean abiaburu-multzoa irudikatzen dela eta bertikalean helburu-multzoa.

 Erlazio bitar homogeneoen propietateak 
Bera osatzen duten bikote ordenatuen arabera, erlazio bitar batek propietate ezberdin batzuk izan ditzake. Ikus ditzagun euretariko batzuk:

 Propietate erreflexiboa 

 multzoaren elementuen arteko  erlazio bitar homogeneo batek propietate erreflexiboa du  multzoaren elementu guztiak euren buruekin erlazionatuta daudenean.


 multzoaren  elementu guztientzako  biderkadura cartesiarraren  bikote ordenatua  erlazio bitarrarena da.

Kontuan izan multzoaren elementu guztiak egon behar direla erlazionatuta euren buruekin, euretariko batzuk ez badaude erlazionatuta euren buruekin erlazioa erlazio ez-erreflexiboa dela esaten da.

Goiko adierazpen matematikoaren baliokidea da hurrengoa:


Ez dago  multzoaren  elementurik  erlazio bitarrean  bikote ordenatua ez duenik.

 Propietate irreflexiboa 

Erlazio bitar batek propietate irreflexiboa du ez dagonean berberarekin erlazionatuta dagoen ezein elementurik:


Propietate honi propietate antierreflexiboa ere, esaten zaio batzuetan, eta beste era honetara ere, irudikatu ahal da notazio matematikoaz:


Ez dago berberarekin erlazionatuta dagoen multzoaren ezein  elementurik.

 Propietate simetrikoa 

Erlazio bitar batek propietate simetrikoa du  bikote ordenatu bat erlaziokoa izateak halabeharrez  bikote ordenatua ere, erlaziokoa izatera behartzen duenean:


Gorago esandakoa kontuan izanda,  bikote ordenatua  erlazioarena ez bada  bikotea ere, ezin da izan erlazioarena. Hori argi ikusten da goiko adierazpen matematikoaren baliokidea den hurrengo adierazpenean:


Ezin da egon ko ezein  bikote ordenaturik  bikote ordenatua ere koa ez bada.

 Propietate antisimetrikoa 

Erlazio bitar batek propietate antisimetrikoa du  eta  bikote ordenatuak aldi berean erlaziokoak izateak  izatera behartzen duenean, hau da  eta  elementuak elementu berbera izatera behartzen duenean:


Beste era batera esanda, ez daude lehengoa bigarrenarekin eta aldi berean bigarrena lehenengoarekin erlazionatuta dauden eta  elementu ezberdin bi:


Adibidez,  (baino txikiago edo berdin) erlazioa antisimetrikoa da, eta baita  (baino txikiago) erlazioa, baina bigarren kasu honetan definizioaren baldintza inoiz betetzen ez delako, hau da  inoiz ez delako egia.

 Propietate asimetrikoa 

Erlazio bitar batek propietate asimetrikoa du  eta  bikote ordenatuak ezin direnean aldi berean erlaziokoak izan.


Erlazio bitar batek bakarrik du propietate asimetrikoa aldi berean propietate antisimetrikoa eta irreflexiboa dituenean..
Esate baterako,  (baino txikiago) erlazioa asimetrikoa da, baina  (baino txikiago edo berdin) erlazioa ez.

 Propietate iragankorra 

Erlazio bitar batek propietate iragankorra du multzoaren  elementu bat  elementuarekin eta  elementua  elementu batekin erlazionatuak egoteak  elementua halabeharrez  elementuarekin erlazionatuta egotera behartzen duenean:


 Osotasun-propietatea 

Erlazio bitar batek osotasun propietatea du eta, beraz, erlazio osoa da elementu guztiak euren artean erlazionatuta daudenean; hau da multzoaren  eta  edozein elementu beti daudenean erlazionatuta lehenengoa bigarrenarekin edo/eta bigarrena lehenengoarekin:


 Erlazio ondo sortuak 

 multzo baten elementuen arteko  erlazioa erlazio ondo sortua da  multzoaren  azpimultzo guztietan  ez den  azpimultzoaren  edozein elementua  bikotea erlazioarena ez izatea egiten duen  elementua badago.


Hau da  multzoaren  azpimultzo guztietan azpimultzo horien elementu txikiena den  elementu bat dago.

 Erlazio bitar homogeneoen motak 

Erlazio bitar homogeneoek izan ditzaketen propietateen arabera sailka daitezke; sailkapena egiteko propietate bakar bat kontuan hatuz gero hurrengo motak dira gehien erabilitakoak:
 Erlazio simetrikoa  Erlazio antisimetrikoa  Erlazio asimetrikoa Erlazio erreflexiboa  Erlazio irreflexiboa  Erlazio iragankorra  Erlazio iragangaitza  Erlazio zirkularra  Erlazio osoa 

Propietate bat baino gehiago kontuan hartuz gero sailkapen zehatzagoa egin daiteke, beste mota batzuk ere erabiliz.

Jarraian sailkapen zabalagoaren edo zehatzagoaren nahiko interesgarriak diren erlazio mota batzuei buruzko informazio gehigarria a agertzen da:

 Erlazio erreflexiboak 
Propietate erreflexiboa duten erlazioei erlazio erreflexiboak deitzen zaie eta beste erlazio mota konplexuago batzuk aztertzeko abiaburu dira. Kontuan izan erlazio bitar ez-erreflexiboak eta irreflexiboak oso kasu berezietan agertzen direla eta, kasu arruntenetan daukaten garrantzi txikiagatik, gutxi ikertuak direla.

Erlazio erreflexiboen definizioa hurrengoa da:

Propietate erreflexiboa duen erlazio baten eredurik argiena berdintza matematikoarena da; zenbaki multzo batean, zenbaki arrunten  multzoan adibidez, edozein zenbakia berdina da berberarekin.

200px|eskuinera

 multzoaren elementuen arteko  erlazioak propietate erreflexiboa du eta, beraz, erlazio erreflexiboa da, multzoaren elementu guztiak euren buruekin erlazionatuta daude eta.

Multzoaren elementu guztiak agertzen dira termino biak berdinak dituzten erlazioaren bikote ordenatuetan.


120px|eskuinera
 erlazioa koordenatu cartesiarren bidez ere, irudikatu ahal da.

Horretarako, ardatz horizontalean (abszisena) ezkerretik eskuinera abiaburu-multzoaren elementuak, ardatz bertikalean (ordenatuena) behetik gora helburu-multzoenak (kontuan izan erlazio homogeneotan abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa multzo berbera direla) eta bikote ordenatu bat erlazioarena bada koordenatu biak gurutzatzen diren gelaxkan gurutze bat jarriz (kontuan izanda bikotearen lehengo terminoa ardatz horizontalari dagokiola eta bigarrena ardatz bertikalari).

Beheko ezker muturretik goiko eskuin muturrera doan diagonal nagusiko gelaxkak elementu biak berdinak dituzten bikote ordenatuei dagozkienak dira eta erlazioa erreflexiboa izan dadin diagonal horren gelaxka guztietan gurutze bat egon behar da.

Diagraman ikus dezakegu, ereduko erlazioa erreflexiboa dela.

Hiru irudikapen moduetako edozein (bikote ordenaturen zerrendakoa, gezi-diagramakoa edo koordenatu cartesiarrekoa) erabili ahal dugu erlazio bat erreflexiboa den ala ez ikusteko.

 Erlazio ez-erreflexibo 

Gehien aztertu diren erlazio bitar homogeneoak erlazio erreflexiboak dira, baina erlazio guztiak ez dira erreflexiboak. Propietate erreflexiboa ez duten erlazioak erlazio ez-erreflexibo deitzen dira eta erlazio hauen kasu berezia da inongo elementurik berberarekin erlazionatuta ez duten erlazio irreflexiborena.
Orain arte ikusitakoaren arabera erlazio bitar homogeneoak beheko diagraman adierazten den moduan sailka daitezke.
{|
| 
|}

Erlazio ez-erreflexiboen kasu berezia diren erlazio irreflexiboak honela definitzen dira:

Gorago ikusi den moduan propietate irreflexiboa horrela ere irudikatu ahal da:


 multzoan ez dago bere buruarekin erlazionatuta dagoen edozein  elementurik.

200px|eskuinera
Alboan gezi-grafo baten bidez irudikatuta dagoen  multzoaren elementuen arteko  erlazioan



eta erlazioa irreflexiboa da.

120px|eskuinera
Erlazioa koordenatu cartesiarren bidez irudikatuz gero diagonal nagusian inolako gurutzerik agertzen ez dela ikusten da, erlazioa irreflexiboa izateko baldintza dena.

Propietate erreflexiboa eta irreflexiboa ezin dira batera bete; propietate erreflexiboa duen erlazio batean:


eta propietate irreflexiboa duen batean:


baina baldintza biak batera betetzea ezinezkoa da. Kontrako argudioa ez da zuzena, erlazio bitar bat batera izan daiteke EZ-erreflexiboa eta EZ-irreflexiboa. Ez-erreflexiboa den erlazio batean:



Eta ez-irreflexiboa den batean:


Eta baldintza horiek batera bete ahal dira, erlazioa aldi berean ez-erreflexiboa eta ez-irreflexiboa izanik.


200px|eskuinera
Alboan gezi-grafo baten bidez irudikatuta dagoen  multzoaren elementuen arteko  erlazioan



Eta horren ondorioz, erlazioa ez da ez erreflexiboa ez irreflexiboa.

120px|eskuinera
Koordenatu cartesiarrak erabiliz erlazioa irudikatzeko, diagonal nagusiko gelaxka guztietan gurutze bat ez dagoenez erlazioa erreflexiboa ez dela eta gelaxka horiek guztiak hutsik ez daudenez erlazioa irreflexiboa ez dela ikusten da; hau da erlazioa aldi berean da ez-erreflexiboa eta ez-irreflexiboa.

Laburbilduz, hiru motako erlazioak izan ditzakegu:
 Erlazio erreflexiboak
 Erlazio irreflexiboak
 Aldi berean ez-erreflexiboak eta ez-irreflexiboak diren erlazioak

 Lotura erlazioak 

Erlazio bitar homogeneo bat lotura-erlazioa da propietate erreflexiboa eta simetrikoa baditu:

Adibidez, zenbaki arrunten  multzoa hartzen badugu eta bertan zenbaki biren arteko  distantzia zenbaki horien arteko kenduraren balio absolutua dela definitu.


esaten badugu  eta  zenbaki arrunt bi hurbil daudela haien arteko distantzia  balio finko bat baino handiagoa ez denean, hurbiltasun-erlazio bitarra hurrengoa da:


erlazio hori lotura-erlazioa da, propietate erreflexiboa:


eta simetrikoa:


dituelako. Hala ere hurbiltasun-erlazio bitarra ez da iragankorra


ez da betetzen eta.

Aldi berean  eta -ren arteko distantzia eta  eta -ren arteko distantzia  baino handiagoak ez izateak ez du ziurtatzen  eta -ren arteko distantzia  baino handiagoak ez izatea. Distantzien araberako zenbakiren arteko lotura-erlazio honek ez du ezartzen euren artean inolako baliokidetasunik baina, euren arteko lotura bat bai.

 Multzo aurreordenatuak 

Erlazio bitar homogeneo batek multzo bati multzo aurreordenatuko egitura ematen dio propietate erreflexiboa eta iragankorra dituenean.

 Baliokidetasun-erlazioak 

Erlazio bitar homogeneo bat baliokidetasun-erlazioa da propietate erreflexibo, simetriko eta iragankorra dituenean:

Baliokidetasun-erlazio batek  multzoa baliokidetasun-klasetan zatitzen du; haien elementu guztiak elkarrekin erlazionatuta dauden eta beste klase batzuetako elementuekin erlazionatuta ez dauden elementuz osatutako azpimultzotan. Azpimultzo horiek elkarrekin disjuntuak dira eta haien bilkura  da. Ikus dezagun adibide bat:

Aritmetika modularrean zenbaki arrunten arteko kongruentzia-erlazioa definitzen da, zenbaki bi  modulu batentzat kongruenteak direla definituz zenbaki biak modulu horrekin zatitzean hondar bera geratzen denean.



8 eta 17 kongruenteak dira 3 moduluarentzat, hiruz zatikatzean kasu bietan hondarra 2 delako.

Zenbaki arrunten n graduko modulu-kongruentzia baliokidetasun-erlazioa da, erreflexiboa:


simetrikoa:


eta iragankorra:


baita.

 Multzo partzialki ordenatuak 

Multzo bat erlazio bitar homogeneo batez partzialki ordenatua dago erlazio horrek propietate erreflexiboa, iragankorra eta antisimetrikoa baditu.

 Ordena osoak 

 erlazio batek  multzo batean ordena-osoa sortzen du erlazioa erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osoa bada:

Esate baterako, zenbaki osoen  multzoan baino handiagoa edo berdina erlazio bitarra ordena osoko erlazioa da, hurrengo baldintzak betetzen direlako
     (propietate erreflexiboa)

     (propietate iragankorra)

     (propietate antisimetrikoa)

     (osotasun-propietatea)

 Multzo ondo ordenatuak 

Ordena osoko  multzo bat multzo ondo ordenatua da haren elementuen arteko erlazioa propietate erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osotasunekoaz hornitua izateaz gain, erlazio ondo sortua denean.

 Erlazio bitar heterogeneoak 

180px|eskuinera

 eta  multzoen arteko erlazio bitar bat heterogeneo dela esaten da  eta  multzoak ezberdinak direnean:


Korrespondentzia (matematiko) ere, deitzen zaio.

Eskuinaldeko irudia erlazio bitar heterogeneo baten gezi-diagrama da, bertan haien elementuek erlazionatuta dituzten bi multzoak agertzen dira, erlazionatuta dauden elementuak aurreirudietatik irudietara doazen geziez lotuta daudela.  multzoan margo batzuekin hornitutako pintzelak agertzen dira eta  multzoan margo horiekin margotutako aurpegiak, eta aurpegi bakoitza bera margotzeko erabili daitezkeen pintzelekin lotuta dago.
 120px

Baliteke margo bereko pintzelak edo aurpegiak egotea, baina multzoaren elementu desberdintzat hartu behar dira; pintzel edo aurpegi batzuk margo berekoak badira ezaugarri bera duten pintzel edo aurpegia ezberdinak dira.

Diagraman erlazioa definituta dagoen pintzelen  abiaburu-multzoa ikus dezakegu:
{|
| 
| 30px,
| 30px,
| 30px,
| 30px
| 
|}

Abiaburu-multzoko elementu guztiak ez daude erlazionatuta aurpegien multzoaren elementurekin. Erlazionatuta dauden elementuez osatuta dagoen multzoari aurreirudi-multzo deitzen zaio:
{|
| 
| 30px,
| 30px,
| 30px
| 
|}

eta margotuta dauden aurpegien  helburu-multzoa:
{|
| 
| 30px,
| 30px,
| 30px,
| 30px
| 
|}

Erlazioan partaideak diren helburu-multzoko elementuez osatutako multzoari irudi-multzo deitzen zaio.
{|
| 
| 30px,
| 30px,
| 30px
| 
|}

Erlazio bitarra hurrengo bikote ordenatuek osatzen dute:
{|
| 
| 30px, 30px
| 
| 30px, 30px
| 
| 30px, 30px
| 
| 30px, 30px
| 
|}

  bezalako erlazio bitar homogeneo bat erlazio heterogeneo baten moduan ere aztertu ahal da, abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa ezberdinak izango balira legez. Beraz, erlazio homogeneoak bi modutara azter daitezke.

 Erlazio bitar heterogeneoen propietateak 

  erako erlazio bitar heterogeneo edo korrespondentzien azpimota batzuk aztertzeko daukaten garrantziagatik komeni da aurretik hurrengo propietateak (edo baldintzak) ikustea:

 Irudien existentziaren baldintza 
180px|eskuinera

Irudien existentziaren baldintza betetzen da  multzoaren  elementu guztiek  multzoan  irudi bat behintzat dutenean. Ez da nahikoa  multzoan irudi batzuk egotea, beharrezkoa  multzoaren elementu guztiek irudi bat gutxienez izatea:


Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da,  multzoaren pintzel guztiek irudi bat gutxienez daukatelako aurpegien  multzoan.

 Aurreirudien existentziaren baldintza 
180px|eskuinera

Aurreirudien existentziaren baldintza betetzen da  multzoaren  elementu guztiek  multzoan  aurreirudi bat behintzat dutenean. Ez da nahikoa  multzoan aurreirudi batzuk egotea, beharrezkoa  multzoaren elementu guztiek aurreirudi bat gutxienez izatea.:


Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da,  multzoaren aurpegi guztiek aurreirudi bat gutxienez daukatelako pintzelen  multzoan.

 Irudi bakarreko baldintza 
180px|eskuinera

Irudi bakarreko baldintza betetzen da  multzoan  irudia duten  multzoaren  elementu guztiek irudi bakar bat dutenean. Baldintza ez da irudi bakar bat egotea, irudia duten aurreirudiek irudi bakar bat edukitzea baino:


Irudi bakarreko baldintzak irudia duten  multzoaren elementuek irudi bakarra dutela ziurtatzen du, baina ez  multzoaren elementu guztiek irudia dutenik.

Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, irudia duten  multzoaren pintzel guztiek irudi bakarra dutelako aurpegien  multzoan.

 Aurreirudi bakarreko baldintza 
180px|eskuinera

Aurreirudi bakarreko baldintza betetzen da  multzoan  aurreirudia duten  multzoaren  elementu guztiek aurreirudi bakar bat dutenean. Baldintza ez da aurreirudi bakar bat egotea, aurreirudia duten irudiek aurreirudi bakar bat edukitzea baino:


Aurreirudi bakarreko baldintzak aurreirudia duten  multzoaren elementuek aurreirudi bakarra dutela ziurtatzen du, baina ez  multzoaren elementu guztiek aurreirudia dutenik.

Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, aurreirudia duten  multzoaren aurpegi guztiek aurreiirudi bakarra dutelako pintzelen  multzoan.

 Eredu-galeria 
Elkarrengandik independenteak diren lau baldintza horien arabera agertu ahal diren kasuen eredu batzuk ikusiko ditugu.

Abiaburu-multzoak margo-tuturen  multzoak izango dira, helburu-multzoak pintzelen  multzoak; eta erlazioak margoak bat etortzean oinarrituta egongo dira.
 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: ez 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: ez 140px K. uníbokoa Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: ez 140px Aplikazioa Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: ez 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: ez 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: ez 140px K. unibokoa. Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: ez 140px A. Supraiektiboa Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: ez 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: bai 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: bai 140px K. biunibokoa Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: bai 140px A. Injektiboa Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: ez Aurreirudi bakarrak: bai 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: bai 140px Korrespondentzia Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: ez Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: bai 140px K. biunibokoa Irudien existentzia: ez Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: bai 140px A. Bijektiboa Irudien existentzia: bai Irudi bakarrak: bai Aurreirudien existentzia: bai Aurreirudi bakarrak: bai

 Erlazio bitar heterogeneoen motak 

Erlazio bitar heterogeneoen artean hurrengo motak bereiz ditzakegu:

 Korrespondentzia uníbokoak 

Korrespondentzia bat unibokoa da irudi bakarreko baldintza betetzen denean:

Baldintza hau beharrezkoa eta nahikoa da korrespondentzia unibokoa izan dadin.

 Korrespondentzia biuníbokoak 

Korrespondentzia bat biuníbokoa da (edo bana-banakoa) irudi bakarreko eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen direnean:

 Aplikazioak 

 eta  multzoen arteko  korrespondentzia bati aplikazioa deitzen zaio ren  elementu guztiek  irudi bakar bat badute  irudi-multzoan,    hau da irudi bakarreko baldintza eta irudien existentziaren baldintza betetzen badira.



Aurreko lerro bietan agertzen den moduan irudikatuta dagoen erlazio bat aplikazio bat izan dadin  multzoaren  elementu guztiak  multzoaren  elementu bakar batekin egon behar dira erlazionatuta; eta notazioa matematikoa erabiliz honela adierazi ahal da:


 Abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa zenbakidunak direnean aplikazioei aplikazio deitu ordez askotan funtzio izena ematen zaie.

 Kopuru bi edo gehiagoren arteko erlazio edo korrespondentzia bati normalean funtzioa esaten zaio 

 Ingelesez aplikazio bati mapping deitzen zaio, normalean map-era laburbilduta.

 Aplikazio injektiboak 

Aplikazio bat injektiboa da aurreirudi bakarreko baldintza betetzen duen aplikazioa bada; beraz Aplikazio injektiboak irudi bakarreko, irudien existentziaren eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen dituzten korrespondentziak dira.

Beraz, Aplikazio injektiboa aurreirudi bakarreko baldintza betetzen duen aplikazioa dela esan dezakegu; baina, baita ere, irudien existentziaren baldintza betetzen duen korrespondentzia biunibokoa.

 Aplikazio supraiektiboak 

Aplikazio bat supraiektiboa da aurreirudien existentziaren baldintza betetzen duen aplikazioa bada; beraz Aplikazio injektiboak irudi bakarreko, irudien existentziaren eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen dituzten korrespondentziak dira.

 Aplikazio bijektiboak 

Aplikazio bat bijektiboa da aldi berean aplikazio injektiboa eta supraiektiboa denean. Beraz, aplikazio bijektiboa irudi bakarreko, irudien existentziaren, aurreirudi bakarreko eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen dituen korrespondentzia da.

 Erreferentziak 

 Bibliografia 
liburuak

 Ikus, gainera 
 Ordena-teoria

 Kanpo estekak 
 Relación

Bitarra