Baliokidetasun-erlazio

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek  multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz.  baliokidetasun-erlazioa da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

 Definizioa 
Izan bedi multzo ez huts bat eta  multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:
 Erreflexiboa bada, hau da,  multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

 Simetrikoa bada,  multzoko  elementu bat multzoko beste  elementu batekin erlazionatuta egonik,  ere -rekin erlazionaturik badago.

 Iragankorra (edo trantsitiboa) bada:  multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

 Idazkera 
 multzoko  eta -ren arteko baliokidetasun-erlazioa  edo  moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta ,  edo , hala ez bada.

 multzoan ezarritako  baliokidetasun-erlazioa,  bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean  ( baliokide  modulu ) bezala adierazten da.

 Baliokidetasun klasea 
 baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu  multzoan.  elementua emanik, -rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

 Partiketa 
X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

 Adibideak 

 Baliokidetasun erlazioa eta klaseak 
 multzoan  erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa  da.

 Baliokidetasun erlazioak 
 Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
 Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
 Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
 Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
 Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
 Berdintza matematikoa.

 Erreferentziak 
 Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
 Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
 Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
 Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
 John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
 Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
 Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

 Kanpo estekak 

Kategoria:Multzo-teoria
Kategoria:Matematika-erlazioak
Kategoria:Ekibalentzia