Lorentzen uzkurdura

Luzeraren uzkurdura fenomeno bat da, zeinaren bidez higitzen ari den objektu baten luzera bere luzera propioa (objektuaren atseden-markoan neurtutako luzera) baino laburrago neurtzen den. Lorentzen uzkurdura edo Lorentz-FitzGeralden uzkurdura bezala ere ezagutzen da (Hendrik Lorentz eta George Francis FitzGeralden omenez) eta, oro har, argiaren abiaduratik oso gertu dauden abiaduretan bakarrik antzematen da. Luzeraren uzkurdura gorputza mugitzen den norabidean bakarrik gertatzen da. Objektu estandarren kasuan, efektu hori arbuiagarria da eguneroko abiaduretan, eta objektua  behatzailearekiko argiaren abiadurara hurbiltzen denean soilik bihurtzen da esanguratsu.

 Historia 
Luzeraren uzkurdura George FitzGeraldek (1889) eta Hendrik Antoon Lorenzek (1892) proposatu zuten Michelson-Morleyren esperimentuaren emaitza negatiboa azaltzeko eta eter geldikorraren hipotesia erreskatatzeko (Lorentz-FitzGeralden uzkurduraren hipotesia). FitzGeraldek eta 

Lorenzek mugimenduan zeuden eremu elektrostatikoak deformatzen zirela aipatu bazuten ere ("Heaviside-Ellipsoidea" Oliver Heavisideren omenez, teoria elektromagnetikotik deformazio hau 1888an eratorri zuena), ad hoc hipotesitzat hartu zen, une horretan ez baitzegoen arrazoi nahikorik indar intermolekularrak elektrometikoak bezala jokatzen zutela pentsatzeko. 1897an Joseph Larmorrek indar guztiak jatorri elektromagnetikokotzat jotzen ziren eredu bat garatu zuen, eta luzeraren uzkurdura eredu horren ondorio zuzena zela zirudien. Hala ere, Henri Poincarék (1905) frogatu zuen indar elektromagnetikoek ezin dutela bere kabuz azaldu elektroiaren egonkortasuna. Beraz, beste ad hoc hipotesi bat sartu behar izan zuen: lotura-indar ez-elektrikoak (Poincaré-ren tentsioak), elektroiaren egonkortasuna ziurtatzen dutenak, luzeraren uzkurdurari azalpen dinamikoa ematen diotenak eta, horrela, eter geldikorraren mugimendua ezkutatzen dutenak.

Azkenik, Albert Einstein (1905) izan zen kontrakzioaren hipotesiaren ad hoc karakterea erabat ezabatzen lehena, frogatuz ez zela ustezko eter baten bidezko higidura behar, baizik eta erlatibitate berezia erabiliz azal zitekeela, espazio, denbora eta aldiberekotasunaren nozioak aldatzen zituena. Einsteinen ikuspuntua Hermann Minkowskik garatu zuen, eta efektu erlatibista guztien interpretazio geometrikoa frogatu zuen, lau dimentsioko espazio-denboraren kontzeptua sartuz. Ingeleserako itzulpen batzuk Wikisourcen: Space and Time

 Erlatibitatean oinarritua 
eskuinera|thumb|220x220px|Luzera-uzkurdura: hiru hagaxka urdin geldirik daude S-n, eta hiru gorri S'-n. A eta D-ren ezkerreko muturrek x ardatzean posizio bera lortzen duten unean, hagaxken luzerak alderatuko dira. S-n, A-ren ezkerreko muturraren eta C-ren eskuineko muturraren aldi bereko posizioak D eta F-renak baino urrunago daude; aldiz, S'-n, D-ren ezkerreko muturraren eta F-ren eskuineko muturraren aldi bereko posizioak A eta C-renak baino urrunago daude.

Lehenik eta behin, arretaz aztertu behar dira geldirik dauden eta mugitzen ari diren objektuen luzerak neurtzeko metodoak. Hemen, "Objektuak" esan nahi du mutur-muturreko puntuekiko distantzia bat, beti elkarren arteko atsedenean daudenak, hau da, erreferentzia sistema inertzial berean atsedenean daudenak. Behatzaile baten (edo bere neurketa tresnen) eta behatutako objektuaren arteko abiadura erlatiboa zero bada, orduan luzera propioa  objektua neurketa-hagaxka batekin zuzenean determinatu daiteke. Baina, abiadura erlatiboa > 0 bada, orduan honela joka daiteke:
 Behatzaileak erloju ilara bat instalatzen du, a) Poincaré-Einsteinen sinkronizazioaren arabera argi-seinaleak trukatuz sinkronizatzen dena, edo b) "erlojuen garraio geldoaren" bidez, hau da, erloju bat ordularien ilaran zehar garraiatzen da abiadura zerorantz doan limitean. Orain, sinkronizazio-prozesua amaitu denean, objektua erlojuen ilaran zehar mugitzen da, eta erloju bakoitzak objektuaren ezkerreko edo eskuineko muturra igarotzen den une zehatza gordetzen du. Gero, behatzaileak objektuaren ezkerreko muturra igaro zuen unea gorde zuen A erloju baten kokapenari, eta objektuaren eskuineko muturra une berean pasatzen zuen B erloju bati begiratu besterik ez du egin behar. Argi dago AB distantzia mugitzen ari den objektuaren  luzeraren berdina dela. Metodo horrekin, aldiberekotasunaren definizioa funtsezkoa da mugitzen ari diren objektuen luzera neurtzeko.
 Beste metodo bat bere  denbora-propioa adierazten duen erloju bat erabiltzea da, hagaxkaren mutur batetik bestera bidaiatzen duena  denboran, erlojuek hagaxkaren atseden-markoan neurtuta. Hagaxkaren luzera kalkulatzeko, bidaia-denbora bider abiadura egin daiteke; beraz,  hagaren atseden-esparruan edo  erlojuaren atseden-esparruan.

Mekanika newtondarrean, aldiberekotasuna eta denboraren iraupena absolutuak dira eta, beraz, bi metodoek  eta  berdintasunera daramate. Hala ere, erlatibitatearen teorian argiaren abiadura sistema inertzial guztietan konstante izateak aldiberekotasunaren erlatibitatea eta denboraren zabalkuntza dakarte, berdintasun hori suntsitzen duena. Lehen metodoan behatzaile batek esparru batean baieztatzen du objektuaren muturreko puntuak aldi berean neurtu dituela, baina behatzaileek gainerako esparru inertzial guztietan argudiatuko dute objektuaren muturreko puntuak ez zirela aldi berean neurtu. Bigarren metodoan,  eta  denborak ez dira berdinak, denboraren zabalkuntza dela eta, eta horiek ere luzera desberdinetan gertatzen dira.

Erreferentzia-sistema inertzial guztietako neurketen arteko desbideratzea Lorentzen eraldaketaren eta denboraren dilatazioaren formulek ematen dute (ikusi Garapena). Hauen ondorioz, luzera propioa ez da aldatzen eta beti objektu baten luzera handiena adierazten du, eta objektu beraren luzera beste erreferentzia-esparru inertzial batean neurtzen bada, luzera propioa baino laburragoa izango da. Uzkurdura hori mugimendu-lerroan zehar bakarrik gertatzen da, eta hurrengo erlazioaren bidez adieraz daiteke,



non

  objektuarekiko mugimenduan dagoen behatzaile batek behatutako luzera
  luzera propioa (objektuaren luzera bere atseden-esparruan)
   Lorentzen factorea,  honela definitzen dena:   non
  behatzailearen eta mugitzen ari den objektuaren arteko abiadura erlatiboa
  argiaren abiadura

Jatorrizko formulan Lorentzen faktorea ordezkatzeak erlazio hau dakar:



Ekuazio horretan,  eta  objektuaren mugimendu-lerroarekiko paraleloan neurtzen dira. Mugimendu erlatiboan dagoen behatzailearentzat, objektuaren luzera neurtzeko, objektuaren bi muturretatik aldi berean neurtutako distantzien kendura egiten da. Bihurketa orokorragoetarako, ikus Lorentzen eraldaketak. Atsedenean dagoen behatzaile batek, argiaren abiaduratik oso hurbil mugitzen den objektu bat behatzen duenean, objektuaren luzera ia nulua dela ikusiko du mugimenduaren norabidean.

Orduan, 13400000 m/s-ko abiaduran (0,0447), uzkurtutako luzera atsedenean zuen luzeraren % 99,9 da; 42300000 m/s-ko abiaduran (0,141), luzerak % 99koa izaten jarraitzen du. Abiaduraren balio absolutua argiaren abiadurara hurbiltzen den heinean, efektua oso nabarmena bihurtzen da.

 Simetria 
Erlatibitatearen printzipioak (zeinaren arabera naturako legeak inertziako erreferentzia-markoetan aldaezinak diren) luzeraren uzkurdura simetrikoa izatea eskatzen du: hagaxka bat S inertzia-markoan, bere luzera propioa S-n dauka eta bere luzera S'-n uzkurtzen da. Hala eta guztiz ere, hagaxka bat S'-n  geldi badago, bere luzera propioa S'-n dauka eta bere luzera S-n uzkurtzen da. Hori modu bizian irudika daiteke Minkowskiren diagrama simetrikoak erabiliz, Lorentzen eraldaketa geometrikoki lau dimentsioko espazio-denboraren errotazio bati baitagokio.

 Indar magnetikoak 
Indar magnetikoak uzkurdura erlatibistak eragiten ditu elektroiak nukleo atomikoekiko mugitzen direnean. Korrontea daraman kable baten ondoan mugitzen ari den karga baten gaineko indar magnetikoa elektroien eta protoien arteko mugimendu erlatibistaren emaitza da.

1820an, André-Marie Ampèrek frogatu zuen norabide bereko korrontea daraman hari paraleloak erakarri egiten direla. Elektroiaren ikuspuntutik, haria apur bat uzkurtzen da, kontrako hariaren protoiak lokalki dentsoagoak bihurtuz. Kontrako hariaren elektroiak ere mugitzen direnez, ez dira uzkurtzen (hainbeste). Horrek elektroien eta protoien arteko desoreka lokala eragiten du; mugimenduan dauden elektroiak bestea harian dauden protoi kopuru handiagoari erakarriko dira. Kontrakoa ere kontsidera daiteke. Protoi estatikoaren erreferentzia-markoaren kasuan, elektroiak mugitu eta uzkurtu egiten dira, eta desoreka bera sortzen da. Elektroien deriba abiadura nahiko motela da, metro bat orduko ingurukoa, baina elektroi baten eta protoi baten arteko indarra hain da handia, abiadura hain geldo honetan ere uzkurdura erlatibistak efektu esanguratsuak eragiten dituela.

Efektu hau korronterik gabeko partikula magnetikoei ere aplikatzen zaie, korrontearen ordez elektroiaren espina erabiliz.

 Frogapen esperimentalak 
Behatutako objektuarekin batera mugitzen den edozein behatzailek ezin du objektuaren uzkurdura neurtu, erlatibitatearen printzipioaren arabera objektua eta bere burua aldi berean atsedenean dauden erreferentzi sistema inertzialetan daudela ikusiko baitu  (Trouton-Rankine-ren esperimentuan frogatu zen bezala). Beraz, luzeraren uzkurdura ezin da neurtu objektuaren atseden-esparruan, behatutako objektua higitzen ari den esparru batean egin beharko da. Gainera, mugimendu ezberdineko esparru horretan ere, zaila da luzera uzkurtzearen baieztapen esperimental zuzenak lortzea, teknologiaren egungo egoeran, hedadura handiko objektuak ezin baitira abiadura erlatibistetan azeleratu. Eta beharrezko abiadurarekin bidaiatzen duten objektu bakarrak partikula atomikoak dira, zeinen hedapen espazialak txikiegiak diren kontrakzioaren neurketa zuzena ahalbidetzeko.

Hala ere, efektu horren zeharkako baieztapenak badaude kohigikorrak ez diren esparruetan:

 Michelson-Morleyren esperimentu (eta geroago Kennedy-Thorndikerena) ospetsu honen emaitza negatiboa azaltzeko luzeraren uzkurdura kontsideratzea beharrezkoa zen. Erlatibitate bereziak, azalpen hau ematen du: bere buruaren atseden-esparruan interferometroa atsedenean dagoela esan daiteke erlatibitate-printzipioaren arabera, eta, beraz, argiak norabide guztietara zabaltzeko denbora bera behar du. Interferometroa mugimenduan dagoen esparru batean, zeharkako izpiak bide diagonala eta luzeagoa zeharkatu behar du mugimendurik gabeko markoarekin alderatuta, eta, horren ondorioz, bere bidaia-denbora luzeagoa da; izpi horren luzetarako zatia  L/(c-v) eta L/(c+v) denborak beharko ditu, hurrenez hurren, aurreranzko eta atzeragoko bidaietarako. Beraz, luzetarako norabidean interferometroa uzkurtu egiten dela suposatzen da, bi bidaia-denboren berdintasuna berrezartzeko, emaitzaren edo emaitza esperimental negatiboen arabera. Horrela, argiaren joan-etorri abiadura konstantea da, eta interferometroaren beso perpendikularretan zehar joan-etorriak egiteko denbora ez da honen orientazioaren edo mugimenduaren mendekoa.
Atmosferaren goi aldean muoiak sortzen dira espazioko erradiazioa atmosferako gasekin talka egiten dutenean. Lurraren erreferentzia-esparruan neurtutako atmosferaren lodiera dela eta, muoiek duten desintegrazio-aurreko-bizitza oso laburra denez, ez litzateke gai izan behar lurrazalerainoko bidaia egiten, ezta argiaren abiaduran ere, baina hala ere egiten dute. Lurraren erreferentzia-esparrutik, hau posible da soilik muoiaren denbora moteldu egiten delako denboraren dilatazioaren ondorioz. Baina muoiaren markoan, atmosfera uzkurtu eta bidaia laburtu egiten da.
Atsedenean daudenean esferikoak diren ioi astunek "tortilla" edo disko lau itxura hartu beharko lukete ia argiaren abiaduran bidaiatzen dutenean. Eta, hain zuzen ere, partikulen talketan lortutako emaitzak soilik azal daitezke luzeraren uzkurduraren ondorioz nukleoien dentsitatea handitzen dela kontuan hartzen denean.
Abiadura erlatibo handiko elektrikoki kargatutako partikulen ionizazio-ahalmena uste baino handiagoa da. Fisika klasikoaren arabera, ionizazio-ahalmena abiadura handian murriztu beharko litzateke, mugimenduan dauden partikula ionizatzaileek beste atomo edo molekula batzuetako elektroiekin elkarreragin dezaketen denbora murriztu egiten baita. Hala ere, erlatibitatean, espero zena baino ionizazio-ahalmen handiagoa azal daiteke partikula ionizatzaileak mugitzen diren sistemetan Coulomb eremuaren luzera uzkurtzen delako, eta horrek mugimendu norabideko eremu elektrikoaren intentsitatea handitzen du.
Sinkrotroietan eta elektroi-askeko laserretan, elektroi erlatibistak injektatzen dira uhindegi batean, eta, horrela, sinkrotroi-erradiazioa sortzen da. Elektroien sistema propioan, uhindegia uzkurtu egiten da, eta, horren ondorioz, erradiazioaren maiztasuna handitu egiten da. Gainera, laborategiaren esparruan neurtutako maiztasuna jakiteko, Doppler efektu erlatibista aplikatu behar da. Beraz, luzeraren uzkurduraren eta Doppler efektu erlatibistaren laguntzaz bakarrik azal daiteke uhindegi-erradiazioan uhin-luzera hain txikia izatea.

 Luzera uzkurduraren benetakotasuna 


1911. urtean, Lorentzen arabera luzeraren uzkurdura modu objektiboan ikusten dela esan zuen Vladimir Varićakek, eta Einsteinen arabera "gure erlojua doitzeko eta luzera neurtzeko moduak eragindako itxurazko agerpena, subjektiboa baino ez da".

Einsteinek gezurtatze bat argitaratu zuen:Egileak arrazoirik gabe adierazi du Lorenzek eta nik gertakari fisikoei buruz daukadan iritziaren arteko ezberdintasuna. Luzeraren uzkurdura egiazki existitzen den ala ez galdetzeak engainagarria da. Ez da "benetan" existitzen, behatzaile kohigikor batentzat existitzen ez den heinean; "benetan" bai existitzen den arren, hau da, kohigikorra ez den behatzaile batek modu fisikoen bidez existitzen dela frogatu lezakeen moduan.  —Albert Einstein, 1911Einsteinek ere dokumentu horretan argudiatu zuen luzeraren uzkurdura ez dela soilik erlojuaren erregulazioak eta luzeraren neurketak egiteko moduari buruzko definizio arbitrarioen emaitza. Esperimentu mental hau aurkeztu zuen: izan bedi A 'B' eta A"B"  luzera bereko bi hagaxken muturrak, x 'eta x "-tan neurtuak hurrenez hurren. Utz ditzagun x* ardatzean zehar kontrako norabideetan mugitzen, atsedenean dagoena, harekiko abiadura berarekin. A'A" muturrak A* puntuan daude, eta B'B", B* puntuan. Einsteinek adierazi zuen, A* B* luzera A 'B' edo A "B" baino laburragoa dela, eta hori ere frogatu daitekeela ardatz horrekiko hagaxketako bat atsedenean jarriz.
 Paradoxak 
Kontrakzioaren formularen azaleko aplikazioen ondorioz, paradoxak agertu daitezke. Honen adibide famatuak eskaileraren paradoxa eta Bell-en espazio-ontziaren paradoxa dira. Hala ere, paradoxa horiek konpon daitezke aldiberekotasunaren erlatibitatea zuzen aplikatuz. Beste paradoxa ospetsu bat Ehrenfestena da, gorputz zurrunen kontzeptua erlatibitatearekin bateragarria ez dela frogatzen duena, Born-en zurruntasunaren aplikagarritasuna murriztuz eta behatzaile ko-birakor batentzat geometria izatez ez-euklidearra dela erakutsiz.

 Efektu bisualak 



Luzeraren uzkurdura koordenatu-sistema baten arabera aldi berean egindako posizio-neurketei dagokie. Honek iradoki dezake, azkar mugitzen ari den objektu baten argazki bat hartu ahal izanez gero, irudiak higiduraren norabidean uzkurtutako objektua erakutsiko lukeela. Hala ere, ikusmen-efektu horiek neurketa erabat desberdinak dira, argazki hori urrutitik hartzen baita; luzeraren uzkurdura, berriz, objektuaren muturreko puntuen kokapen zehatzean bakarrik neur daiteke zuzenean. Roger Penrose eta James Terrell autoreek, esaterako, erakutsi dute mugitzen ari diren objektuak ez direla orokorrean uzkurtuta agertzen argazki batean.Emaitza hau Victor Weisskopfek Physics Today-ren artikulu batean ezagutarazi zuen. Adibidez, diametro angeluar txiki batentzat, mugimenduan dagoen esfera batek zirkularra izaten jarraitzen du eta biratu egiten da. Ikusmen-errotazioaren efektu mota horri Penrose-Terrell-en errotazioa esaten zaio (ikusi alboko animazioa).

 Garapena 
Luzeraren uzkurdura hainbat eratara lortu daiteke:

 Higidura luzera ezagutuz 
S erreferentzia-sistema inertzial batean,  eta  mugimenduan dagoen objektu baten muturrak dira. Esparru horretan, objektuaren  luzera neurtzen da, aurreko hitzarmenaren arabera, muturreko puntuen aldibereko posizioak zehaztuz  =  -n. Bitartean, objektu honen berezko luzera, S' atseden-esparruan neurtuta, Lorentzen transformazioa erabiliz kalkula daiteke. Denbora koordenatuak S-tik S'-ra aldatzeak denbora desberdinak ematen ditu, baina hori ez da problematikoa, objektua S'-n geldirik baitago, muturreko puntuak noiz neurtzen diren berdin delarik. Beraz, nahikoa da koordenatu espazialen eraldaketarekin, ematen duena:



Gainera,  =  denez,  eta  eginez, luzera propioa honek emango du:


Beraz, objektuaren luzera, S markoan neurtuta, faktore batean uzkurtzen da:



Era berean, erlatibitate-printzipioaren arabera, S-n atsedenean dagoen objektu bat S '-n ere uzkurtuta egongo da. Zeinuak eta lehenengoak simetrikoki trukatuz,



Horrela, S-n atsedenean dagoen objektu batek, S'-tan neurtzen denean hartutako luzera:



 Luzera propioa ezagutuz 
Aitzitik, objektua S-n oinarritzen bada eta bere luzera propioa ezagutzen bada, objektuaren muturreko puntueko neurketen aldiberekotasunak beste S' marko batean hartu behar du kontuan, objektuak etengabe aldatzen baitu bere posizioa bertan. Beraz, koordenatu espazialak eta baita denborazkoak eraldatu behar dira orain:


Kalkulatzen badugo luzera diferentzia , denboraren aldibereko neurketa onartuz , eta  luzera propioa sartuz, hurrengoa daukagu:

Bigarren (2) ekuazioak



ematen digu, (1) ekuazioan sartzean erakusten duena  luzera diferentzia uzkurtutako luzera  bihurtzen dela:



Era berean, metodo berak emaitza simetrikoa ematen du S'-n geldirik dagoen objektu batentzat:



 Denbora zabalkuntza erabiliz 
Luzeraren uzkurdura denboraren zabalkuntzatik ere erator daiteke, zeinaren arabera "mugimenduan" dagoen erloju bakar baten abiadura (bere denbora propioa adierazten duena ) txikiagoa baita "atseden" sinkronizatuetan ( adierazten dutenak) dauden bi erlojuen aldean. Denboraren zabalkuntza hainbat aldiz baieztatu da esperimentalki, eta hurrengo erlazioarekin adierazten da:



Demagun  luzera propioko hagaxka bat, S-ko atsedenean, eta erloju bat, S'-ko atsedenean, bata bestearekiko mugitzen direla abiadura -rekin. Erlatibitate-printzipioaren arabera, abiadura erlatiboaren magnitudea berdina denez bi esparruetan, hagaxkaren muturren arteko erlojuaren ibilbide-denborak  S-n eta  S'-n izango dira; eta beraz,  eta  dauzkagu. Denboraren dilatazioaren formula txertatuta, luzera horien arteko erlazioa hau izango da:



Beraz, S'-n neurtutako luzera,



Beraz, erlojuak hagaxkan zehar egiten duen bidaia-denbora S-n S'-n baino luzeagoa denez (denboraren zabalkuntza S-n), hagaxkaren luzera ere luzeagoa da S-n S'-n baino (luzeraren uzkurdura S'-n). Era berean, erlojua S-n atsedenean balego eta hagaxka S'-n, aurreko prozedurak



emango du.

 Gogoeta geometrikoak 


Eskuinean: Minkowski espazio-denboran mugitzen dagoen plaka fina baten mundu-planoa (dimentsio espazial bat kenduta) , boost-arekin eraldatutako kuboidea dena. Zeharkako sekzioa lehen baino meheagoa da boost-aren norabidean.

Bi kasuetan, zeharkako norabideak ez dira aldatzen, eta kuboideen izkina bakoitzean dauden hiru planoak elkarren ortogonalak dira ( noranzkoan eskuinaldean eta  noranzkoan ezkerraldean). 

Kontsiderazio geometrikoak erakusten dutenez, luzeraren uzkurdura fenomeno trigonometrikotzat har daiteke, kuboide bati egindako ebaki paraleloak -ko errotazio baten aurretik eta ondoren dauden ezberdintasunen antzera (ikus eskuineko irudiaren ezkerraldea). Hau kuboide bat -n boost bat egitearen baliokidea da. Azken kasu horretan, ordea, kuboide boost-tatua mugimenduan dagoen plaka baten mundu-plano gisa interpreta dezakegu (mundu-lerroaren 2 dimentsioko bertsio moduan).

Erlatibitate berezian, Poincaré-ren transformazioak transformazio-afin mota bat dira, Minkowskiren espazio-denboran koordenatu kartesiar alternatiboen grafikoen arteko transformazioak bezala karakterizatu daitezkeenak, mugimendu inertzialeko egoera alternatiboei dagozkienak (eta jatorri baten hautapen ezberdin bati dagokienak). Lorenz-en transformazioak Poincaré-ren transformazioak dira, transformazio linealak direnak (jatorria mantentzen dute). Lorentzen eraldaketek paper bera betetzen dute Minkowskiren geometrian (Lorentzen taldeak espazio-denboraren autoisometrien isotropia-taldea osatzen du) geometria euklidearrean errotazioak betetzen duten paperaren antzera. Izan ere, erlatibitate berezia neurri handi batean Minkowskiren espazio-denboran trigonometria ez-euklidarra aztertzera mugatzen da, taula honek iradokitzen duen bezala:
+Hiru plano trigonometriakTrigonometriakZircularaParabolikoaHiperbolikoaKleinian GeometryPlano EuclidearraPlano GalilearraPlano MinkowskiarraSinboloaE2E0,1E1,1Forma kuadratikoaDefinitu positiboaEndekatuaEz-endekatua baina indefinituaIsometria taldeaE(2)E(0,1)E(1,1)Isotropia taldeaSO(2)SO(0,1)SO(1,1)Isotropia motaBiraketakEbakidurakBoost-akAlgebra R-rekikoZenbaki konplexuakZenbaki dualakZenbaki konplexu hiperbolikoakε2−101Spazio-denbora interpretazioaEz dagoEspazio-denbora NewtondarraMinkowskiren espazio-denboraMaldatan φ = mtanp φ = utanh φ = v"kosinua"cos φ = (1 + m2)−1/2cosp φ = 1cosh φ = (1 − v2)−1/2"sinua"sin φ = m (1 + m2)−1/2sinp φ = usinh φ = v (1 − v2)−1/2"sekantea"sec φ = (1 + m2)1/2secp φ = 1sech φ = (1 − v2)1/2"Kosekantea"csc φ = m−1 (1 + m2)1/2cscp φ = u−1csch φ = v−1 (1 − v2)1/2

 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Erlatibitate berezia
Kategoria:Luzera
Kategoria:Hendrik Lorentz