Kongruentzia (zenbakien teoria)

Zenbakien teorian, kongruentzia terminoa bi zenbaki oso  eta ,   zenbaki arruntaz  —modulua deiturikoa— zatitzerakoan, hondar berdina dutela adierazteko erabiltzen da. Honako notazio hau erabiliz:

Honela irakurtzen da:  kongruente  modulu .

 eta    moduluarekiko kongruenteak dira, baldin eta soilik baldin  moduluak  eta -ren arteko desberdintza zehazki zatitzen badu, hau da, . Beste modu batera esanda,  eta -k -rekiko zatiketan, hondar bera uzten badute. Gainera, baiezta daiteke  zenbakia -ren batura eta   -ren multiplo bezala idatzi daitekela,  denez,  izango da  batentzat eta orduan, .

 Adierazpen baliokideak 
Kongruentziak hainbat modu matematikotan adieraz daitezke. Esate baterako, adierazpen hauek baliokideak dira:
  kongruente  modulu 

  zati -ren hondarra  zati -ren hondarra da

 -k zehatz zatitzen du  eta -ren kendura

  idatz daiteke -ren eta -ren multiplo baten batura bezala

 Propietateak 
Kongruentziak  moduluarekiko  eta  zenbakien arteko baliokidetasun-erlazio bat adierazten du, hurrengo erlazioak betetzen dituelako: 

 Erlazio bihurkaria (erreflexiboa): ,  guztietarako.
 Simetria erlazioa:  bada,  da.
 Iragate-erlazioa (trantsitiboa):  eta  badira,  izango da.

 eta  badira:





Gainera,  eta  elkarrekiko lehenak badira, beste zenbait propietate ere betetzen dituzte, besteak beste:

  zenbakia  eta -rekiko lehena bada,  ere -rekiko lehena izango da.
  -rekiko lehena bada, orduan  non . Horregatik, zatiketari buruz aritzeak zentzua du eta beraz, zuzena da  non definizioz, .
 Aurrekoaren ondorio bezala, modulu bereko bi kongruentzia badaude,  eta , batu, kendu edo biderka ditzakegu, kongruentziak egiaztatzeko:  eta .
Fermaten teorema txikia: Izan bitez  lenbaki lehena eta . , -ren multiploa ez bada orduan:  
Izan bitez  eta  zenbaki lehenak eta .  ez bada ez -ren ez -ren multiploa, orduan:

 Kongruentzia klaseak 
Edozein kongruentzia-erlazio bezala, n kongruentzia-modulua baliokidetasun-erlazio bat da, eta a zenbaki osoaren baliokidetasun-klasea,  bidez adierazten dena, {… , a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, …} multzoa da. Multzo hori, a modulo n-rekin kongruenteak diren zenbaki osoek osatzen dute. Baliokidetasun-erlazioa denez, baliokidetasun-klaseak defini daitezke. Klase bakoitzean m-rekin zatitzean hondar bera ematen duten zenbaki osoak daude. Beraz, m hondar desberdin daudenez, m baliokidetasun-klase daude. Bakoitzaren ordezkari modura 0, 1, . . . eta m − 1 zenbakiak har daitezke. Baliokidetasun klasea [] bezala ere adieraz daiteke.

 Adibideak 

 , 7 = 3 + 1 ⋅ 4 baita.
 , 82 = 1 + 9 ⋅ 9 baita.
 , 27 = 0 + 3 ⋅ 3 baita.
 , -3 = 3 + -1 ⋅ 6 baita.
 , 2 ≠ 5 + k ⋅ 6 baita.

 Kongruentzia linealak 
  motako ekuazioen ebazpen orokorrean, d = zkh(a, n) zatitzaile komunetako handienak b zatitzen badu, orduan x soluzioa aurki daiteke kongruentziarako: Euklidesen algoritmoak r eta s  osoak sortzen ditu, non d = ra + sn. Hortaz, x = rb/d soluzio bat da. Gainerako soluzioak x modulo n/d -rekin kongruenteak diren zenbakiak dira.

Adibidez, ondoko kongruentziak 4 soluzio ditu:

zkh (12, 28) = 4-k 20 zatitzen duelako. Euklidesen algoritmoak ondokoa ematen du: (-2)*12 + 1*28 = 4, hau da, r = -2 eta s = 1. Beraz, soluzio bat x = -2*20/4 = -10 izango da, eta -10 = 4 mod(7). Beste soluzio guztiak ere 4 modulo 7-rekin kongruenteak izan beharko dira.

 Ikus, gainera 

 Aritmetika modularra
 Kongruentzien ebazpena
 Baliokidetasun klasea

 Kanpo estekak 

 Dibisibilitatearen teoria eta kongruentziak UEU Iruñea 1979
  Kongruentziak mathworld-en
  Kongruentziak. Aljebra eskolak.

Kategoria:Zenbakien teoria
Kategoria:Aritmetika modularra