Irudi (matematika)

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

 Definizioa 
"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan,  funtzio bat da  multzotik  multzora doana.

 Elementu baten irudia 
Baldin eta  -ren elementua bada, orduan -ren irudia -n,  deitua,  ordezkatzean -k hartzen duen balioa da.  -rako -ren irteera gisa ezagutzen da.

 emanda,  funtzioak "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada  bat funtzioaren eremuan non  den. Era berean,  multzo bat emanda, -k "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada  bat funtzioaren eremuan non . Aldiz, "-k -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da  edozein  -ren eremuan  bada.

 Azpimultzo baten irudia 
 azpimultzoaren irudia -n,  deitua, -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena:  

Nahasteko arriskurik ez dagoenean,  honela idazten da: . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz,  funtzio bat da zeinen eremua -ren potentzia-multzoa den eta koeremua -ren potentzia-multzoa.

 Funtzio baten irudia 
Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua. Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

 Erlazio bitarretara orokortzea 
 erlazio bitar arbitrarioa bada -n, orduan  multzoari -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean,  multzoari -ren eremua deritzo.

 Aurreirudia 
 -tik -ra doan funtzioa izanda,  multzoaren aurreirudia,  deitua,  definitutako -ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan  eta  erabiltzen dira. Multzo baten aurreirudia  edo  da.

Adibidez,  funtziorako, -ren aurreirudia  izango litzateke. Ez da nahasi behar  notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non -ren aurreirudia -n, -ren irudia den -n.

 Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa 
Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat  irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

 Geziaren notazioa 
 , 
 , 

 Izarren notazioa 
 , -ren ordez
 , -ren ordez

 Beste terminologiak 
 -ren ordez  ere erabiltzen da. 
 Zenbait testuk -ren irudia -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita -ren koeremua adierazteko.

 Adibideak 
1. honek definituta: 

 multzoaren irudia -n  da.  funtzioaren irudia  da. -ren aurreirudia  da. -ren aurreirudia ere  da eta -ren aurreirudia multzo hutsa da .

2.  honek definituta: .

-ren irudia -n  da, eta -ren irudia  da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). -ren aurreirudia  -n  da.  multzoaren aurreirudia -n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

 Propietateak 

 Orokorrean 
 edozein funtziorako eta  eta  azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:
+IrudiaAurreirudia(berdin  supraiektiboa bada)(berdin  injektiboa bada) baldin eta soilik baldin  baldin eta soilik baldin  baldin eta soilik baldin existitzen bada  non  den baldin eta soilik baldin  baldin eta soilik baldin  baldin eta soilik baldin  
Horrez gain:

  baldin eta soilik baldin 

 Funtzio konposatuak 
 eta  funtzioetarako  eta  azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:




+Zenbaki errealetan oinarritutako kontraadibideak ,  honek definituta: , berdintasuna lege batzuetan betetzen ez dela erakusten dutenak:erdian|thumb|252x252px|Berdinak ez diren multzoak erakusten dituen irudia: .  eta  multzoa urdinez agertzen dira  ardatzaren azpian, haien ebakidura  berdez agertzen da.erdian|thumb|erdian|thumb|

 Erreferentziak 

 Ikus, gainera 
 Izate-eremua

 Kanpo estekak 

Kategoria:Funtzioak
Kategoria:Multzoen teoriaren oinarrizko kontzeptuak