Funtzio injektibo

Matematikan, funtzio injektiboa funtzio bat da, -ko (irudi-multzoa) elementu bakoitzari gehienez -ko (definizio-eremua) elementu bat esleitzen diona.

Horrela, esaterako,  zenbaki errealen funtzioa: , ez da injektiboa, zeren 4 balioa bi kasutan lor baitaiteke:  eta . Baina, definizio-eremua zenbaki positibotara murrizten bada,  funtzio berri bat lortuz, orduan bada funtzio injektiboa.

 Definizio formala 

Hizkuntza zehatz batean,  funtzio bat injektiboa da hauetako baieztapen baliokide bat betetzen denean:

   multzoko elementuak badira, non  den, ezinbestez  betetzen da.
   multzoko elementu desberdinak badira, ezinbestez  betetzen da.
Sinbolikoki,

eta hau, logikoki, bere kontrajarriaren baliokidea da,

Diagrama hauek funtzio injektiboei dagozkie:
 eskuinera|180px eskuinera|180px

 Kardinalitatea eta injektibitatea 
Izan bitez A eta B bi multzo. A-tik B-rako funtzio injektiboa bat existitzen bada  , 2 multzo horien kardinalek erlazio hau betetzen dute:

Gainera, B-tik A-rako funtzio injektibo bat existitzen bada   , orduan froga daiteke existitzen dela A-tik B-rako bijekzio bat. 

 Injektibitatea euklidear espazioan 
 funtzioa izanik, zeina diferentziagarria den eta jarraia n dimentsioko Euklidear espazioko eremu batean, beharrezko nahikoa baldintza ezar daitezke funtzio hori injektiboa den ala ez erabakitzeko. Alderantzizko funtzioaren teoremak nahikoa ez den baldintza bat ematen du funtzio diferentziagarri bat lokalki injektiboa den jakiteko:

 non  funtzioaren matrize jakobinoa den.

Baldintza hori ez da nahikoa funtzioa injektiboa den edo ez esateko (izatez, ez da beharrezko baldintza ere). Nahikoa diren baldintzak aurkitzeko, desplazamendu bektorea definitzen da, funtzioaren ondorengo espazio bektorialari lotua:

 non ,  eremuaren itxitura den.

Orduan funtzio injektiboa izango da; froga daiteke  dela baldin eta  eremua ganbila bada, eta  behar dela izan baldin eta eremua ez bada ganbila.

 Adibideak 

 Edozein  multzorako eta edozein  azpimultzorako, hau da,  bere funtzioa  (edozein  elementu bere buruari bildatzen diona) injektiboa da. Bereziki, identitate funtzioa   beti da injektiboa (egiatan bijektiboa da).
Funtzio baten definizio-eremua multzo hutsa bada, orduan funtzio hutsa izango da, zeina injektiboa da.
Funtzio baten definizio eremuak soilik elementu bat badu (alegia, ale bakarreko multzoa da), orduan funtzioa beti injektiboa da.
  funtzioa honela definituta:  injektiboa da.
  funtzioa honela definituta:  ez da injektiboa, zeren, adibidez,  baita. Hala ere,  berriro definitzen bada, bere definizio-eremua zenbaki erreal ez negatiboak [0,+∞) izanik, orduan  injektiboa da.
 Funtzio esponentziala  honela definituta:  injektiboa da (baina ez supraiektiboa, zenbaki negatiboak sortzen ez duelako, x-ren inolako balioarekin erlazio ez dutenak).
 Logaritmo nepertarra. ln : (0, ∞) → R funtzioa honela definituta: x ↦ ln x injektiboa da.
 g : R → R funtzioa honela definituta: g(x) = xn − x ez da injektiboa, zeren, adibidez, g(0) = g(1) baita.

 Ikus, gainera 

 Funtzio bijektiboa
 Funtzio supraiektiboa
 Bana-banako korrespondentzia

 Kanpo estekak 

Injektiboa
Kategoria:Funtzio motak
Kategoria:Multzoen teoriaren oinarrizko kontzeptuak