Matrize diagonal

Aljebra linealean, matrize diagonala matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz,  matrizea diagonala da baldin eta soilik:

 bada. Hau da:

.

Adibidez, honako matrize hau diagonala da:

Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da.

Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(a1,...,an) notazioa erabiltzen da, non a1,...,an diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...,1) motakoak dira.

Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, normalak deitzen dira.

 Matrize diagonalgarria 
Izan bedi . Esaten da  diagonalgarria dela, existitzen bada -ri elkartutako  matrize diagonal bat, edo baliokidea dana, bektore propioz osatutako -ren -oinarri bat lor badaiteke, izan ere, kasu horretan  izango baita.

  matrize karratu diagonalgarria dela diogu  matrize diagonala  -rekin antzekoa ( ) dana. Endomorfismo bati elkartutako matrizeek elkarren artean antzekoak diranez, hau dogu:

 eta  edozein badira:  diagonalgarria  diagonalgarria.Bereziki,   edozein matrize karratu bada, diagonalgarria  matrizea modu naturalean definitzen dauan  endomorfismoa diagonalgarria bada. izanik (), orduan  diagonalgarria da bi kasu honeek betetzen dauzanean:

   polinomioaren  erroak  gorputzean dagoz. Kasu honetan  -ren gainean banatzen dala esaten da. 
 -ren balio propio guztietarako 

 Eragiketak matrizeekin 

Batuketa eta matrizeen biderketa eragiketak oso errazak dira matrize diagonalekin. Batuketarako:

diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

eta matrizeen biderketarako,

diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

diag(a1,...,an) matrize diagonalak alderantzizko matrizea izango du, baldin eta soilik a1,...,an elementuak 0 ez badira. Orduan, hau daukagu

diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

Bereziki, matrize diagonalek azpieraztun bat osatzen dute, n×n dimentsioko matrizeen eraztunaren parte dena.

 Kanpo estekak 

Kategoria:Aljebra lineala
Diagonala