Espazio euklidear

Espazio euklidearra geometriaren oinarrizko espazioa da, espazio fisikoa irudikatzera bideratua dagoena. Jatorrian, Euklidesen Elementuak liburuan, geometria euklidearraren espazioa hiru dimentsioko espazioa zen; baina, matematika modernoan, edozein zenbaki oso positibotako dimentsioko espazio euklidearrak daude. Espazio hauek espazio n-euklidearrak deitzen dira, eta haien dimentsioa n-ren arabera zehatz daiteke. Espazio 1-euklidearrari lerro euklidearra deitu ohi zaio; espazio 2-euklidearrari, plano euklidearra. "Euklidear" kalifikatzailea geroago fisika eta matematika modernoan kontsideratu ziren bestelako espazio (ez-euklidearretatik) bereizteko erabiltzen da.

Antzinako Greziako geometrialariek espazio euklidearra sortu zuten espazio fisikoa irudikatzeko. Lan hori Euklides antzinako matematikari greziarrak jaso zuen bere Elementuak liburuan. Lan horren berrikuntzarik handiena honako hau da: espazioren propietate guztiak teorema gisa frogatu zituen Euklidesek, postulatu deituriko funtsezko propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Postulatu horietako batzuk begibistakotzat hartu ziren (adibidez, bi puntu ezberdinetatik zuzen bakar bat pasatzen dela), eta beste batzuek frogaezinak ziruditen (paraleloen postulatua, esate baterako).

Funtsean, dimentsio bakoitzeko espazio euklidear bakarra dago, hau da, dimentsio jakin bateko espazio euklidear guztiak isomorfoak dira. Beraz, oro har, dimentsio bakoitzeko, posible da espazio euklidear espezifiko batekin lan egitea. Espazio hori,  sinboloz denotatua, koordenatu kartesiarrak erabiliz irudika daiteke, eta biderketa eskalar estandarraz hornitutako n-espazio erreal bezala izango da: .

 Definizioa 

 Definizioaren historia 
Espazio euklidearra antzinako greziarrek definitu zuten lehenengo aldiz, gure espazio fisikoaren abstrakzio bat bezala. Haien berrikuntza handiena, Euklidesen Elementuak liburuan agertzen dena, geometria osoa eraikitzea eta frogatzea izan zen, mundu fisikotik abstraitzen diren propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Propietate horiei postulatu edo axioma deritze. Espazio euklidearra definitzeko modu hau geometria sintetikoan (koordenaturik gabe, geometria analitikoaren kontrako alderdia) oraindik erabiltzen dena da.

Artikulu honetan garatuko den espazio euklidearren definizioa eta Euklidesena oso desberdinak dira. Egia esan, Euklidesek ez zuen espazioa formalki definitu, garai horretan zeuden ezaguera, handia bazen ere, ez zen nahikoa errealak ez zirudien beste espazio mota zeudela hautemateko. Definizio formalaren beharra XIX. mendearen amaieran agertu zen, geometria ez-euklidearrak definitzen hasi zirenean.

Bi ikuspegi ezberdin erabili dira definizioa ematen saiatzeko. Felix Kleinek geometria bat espazio horrek dauzkan simetrien bidez definitzea proposatu zuen. Artikulu honetan ematen den espazio euklidearren aurkezpena, funtsean, bere Erlangen programatik abiatuta ematen da.

Bestalde, David Hilbertek Euklidesen postulatuetan inspiratutako axioma multzo bat proposatu zuen. Geometria sintetikoan erabiltzen den definizioa da, ez baitu zenbaki errealen definiziorik inplikatzen. Geroago, G. D. Birkhoff-ek eta Alfred Tarski-k axioma multzo sinpleagoak proposatu zituzten, zenbaki errealak erabiltzen dituztenak (ikusi Birkhoffen axiomak eta Tarskiren axiomak).

Aljebra Geometrikoa erabiliz, Emil Artin-ek frogatu zuen espazio euklidearren definizio horiek guztiak baliokideak direla.

 Definizio formala 
Espazio euklidear oro -espazio afina da eta, beraz, elkartutako bektore-espazio edo espazio bektorial bat izango du. Espazio euklidear baten kasuan, hornitutako espazio bektorial hori espazio bektorial euklidearra da.  

Espazio bektorial euklidearra dimentsio finitua duen -espazio prehilbertiarra da.  

Espazio euklidearrak espazio afin euklidearrak deitu ohi dira, espazio bektorial euklidearrekin nahas ez daitezen. 

 espazio euklidearra (afina) bada, bere espazio bektorial elkartua (espazio bektorial euklidearra)  denotatu ohi da. Espazio afin euklidear baten dimentsioa bere espazio bektorial elkartuaren dimentsioa da.

 espazioko elementuei puntu esaten zaie, eta letra larriz adierazten dira normalean. -ren elementuei bektore euklidearrak edo bektore askeak deritze, etaletra xehez adierazten dira. Translazioak ere deitzen dira, batzuetan, nahiz eta erabilera hori guztiz zuzena ez izan. Izan ere, berez, translazio bat bektore euklidear batek espazio euklidearrean eragiten duen akzioaren ondoriozko transformazio geometrikoa da.

 translazio batek  puntu baten gainean eragiten duen akzioak  bezala adierazten den puntu bat ematen du. Akzio horrek hau betetzen du:

Oharra: berdintza honen ezkerraldeko bigarren  ikurrak batuketa vektorial bat adierazten du; beste  ikur guztiek puntu batean bektore baten akzioa adierazten dute. Notazio hori ez da anbiguoa; izan ere,  ikurraren bi esanahiak bereizteko, nahikoa da ikurraren ezkerreko argumentuari erreparatzea: batuketa bektorialek bektore bat dute ezkerrean, eta akzioek, ordea, puntu bat.

Akzioa askea eta iragankorra denez, froga daiteke   edozein bi puntutarako  betetzen duen  desplazamendu-bektore bat dagoela.  bektore hori  edo  ikurrez adierazten da.

Espazio euklidearren oinarrizko propietate batzuk espazio afinaren egituratik datoz. Egitura afina atalean eta haren azpiataletan deskribatzen dira. Barne-produktuaren propietateak Egitura metrikoa atalean eta azpiataletan azaltzen dira.

 Egitura afina 
Izan bitez  multzo bat eta  hari elkartutako espazio bektoriala. Espazio afin bat honako aplikazio honen bidez definitzen da:

Aplikazio hau talde-akzio bat da. Espazio euklidearra espazio afin mota bat da.

Espazio euklidearren oinarrizko propietate batzuk zehaztuta geratzen dira espazio euklidear guztiak espazio afinak izateagatik. Propietate afinak deitzen dira horiek, eta lerroen, azpiespazioen eta paralelismoaren kontzeptuak hartzen dituzte barnean, hurrengo azpiataletan zehazten direnak.

 Azpiespazioak 
Izan bitez  espazio euklidear bat eta   hari elkartutako espazio bektoriala.  -ren azpiespazio euklidear bat da,  -ren azpiespazio afin bat bada eta 

 azpiespazio afinari elkartutako espazio bektoriala -ren aspiespazio bektoriala bada.  aspiespazio bektorial hau -ren norabidea ere deitzen da.

 -ren puntu bat bada, orduan:

Alderantziz,  -ren puntu bat bada eta  -ren azpiespazio bektoriala bada, orduan:

-ren norabidea duen espazio euklidear bat da.

  espazio euklidear batek bi azpiespazio mota ditu: azpiespazio euklidearrak eta azpiespazio linealak. Azpiespazio linealak azpiespazio euklidearrak dira; azpiespazio euklidear bat azpiespazio lineal bat da baldin eta zero puntua azpiespazioaren barne dagoen.

 Lerro zuzenak eta segmentuak 

Espazio euklidear batean, zuzen bat dimentsio bateko azpiespazio euklidear bat da. Dimentsio bateko bektore-espazio bat zero ez den edozein bektorek sortzen duenez, zuzen bat honako multzo hau da: 



non  eta  espazio euklidearraren edozein bi puntu desberdin diren. Zuzen hau  eta  puntuetatik igarotzen duen zuzena da. Hortik ondorioztatzen da edozein bi puntutatik igarotzen den zuzen bakar bat dagoela. Horrek esan nahi du bi lerro zuzen desberdinak gehienez puntu batean gurutzatzen direla. Hona hemen faktu horren frogapen labur bat: Demagun  eta  bi lerro zuzenak diren, non  diren, baita  ere. Baina aurkeztu berri den lerroen karakterizazioa erabiliz, 



eta beraz, berdinak direla ondoriozta daiteke.

 eta -tik igarotzen den zuzenaren irudikapen simetrikoagoa  



da, non  hautazko puntu bat den.

Espazio euklidear batean, zero puntua -rentzat aukeratzen da eskuarki; hala, aurreko formula sinplifika daiteke:

Oharra: Azken formula honetan notazio-abusu erabili da.  puntua bektoretzat  hartzen denean, zero puntutik  puntura doan bektorea  dela esan nahi du. Kontuan izan ez dela eskalar baten eta puntu baten arteko biderkadura definitu, bakarrik eskalar baten eta vektore baten artekoena. Hala ere, puntuak -ko pareak direnean, intuitiboki egiten dira eragiketak haien artean, baina komenigarria da hau kontuan hartzea beste motatako multzoak lantzen direnean.

 eta  puntuak lotzen dituen zuzen-segmentua, edo, besterik gabe, segmentua, aurreko formuletan  betetzen duten puntuen azpimultzoa da. Bere adierazpena  edo  da; eta horrela idaz daiteke:

 Paralelismoa 

Espazio euklidear batean, dimentsio bereko  eta  azpiespazioak paraleloak dira baldin eta norabide bera badute. Era berean, paraleloak dira baldin eta  translazio-bektore bat badago, batean aplikatuta bestea aplikazio horren irudi den:

 puntu bat eta  azpiespazio euklidear bat emanda,  duen eta -rekiko paraleloa den azpiespazio bakar bat dago, zehazki: .  

Hortik ondorioztatzen da plano euklidear batean dauden bi zuzen puntu batean bat egiten dutela edo paraleloak direla.

Azpiespazio paraleloen kontzeptua dimentsio ezberdinetako azpiespazioetara heda daiteke: bi azpiespazio paraleloak dira baldin eta horietako baten norabidea bestearekiko norabidean badago.

 Egitura Metrikoa 
Espazio euklidearra, espazio afina izateaz gain, kontzeptu geometrikoa dena, ikuspuntu metriko batetik aztertuta espazio metriko mota bat da. Beraz, egiturak neurtzea eta haren objektuen arteko distantzia kalkulatzea posible da. Gainera, espazio normaduna (espazio metrikoen azpimultzo bat) da, eta, hortaz, norma bat defini daiteke, hau da, bektore baten luzeraren orokortasuna. Azkenik, definizio formalan adierazi den bezala, Espazio euklidear batek hornituta duen espazio bektoriala espazio prehilbertiarra da eta, beraz, biderketa eskalar bat defini daiteke haren barne. 

Hurrengo azpiataletan ikusiko da nola defnitzen diren espazio euklidearren kasu konkretuan eta ze propietate duten espazio hauek. Gainera, erraz ikusiko da egitura hauek osatzen duten inplikazio katea:

 Biderketa eskalarra 
Espazio euklidear  batean, puntuen eta bektoreen arteko eragiketaz gain, -ko bi bektoreen arteko biderketa eskalar bat defini daiteke. Biderketa hau "eskalar" deritzo bi bektoreen biderketa egitean, emaitza eskalar bat (kasu honeran zenbaki erreal bat) delako.      eta  -ko bi bektoreen arteko biderketa eskalarra,  adierazita,  honako formularen bitartez definitzen da:

non  eta   n dimentsioko bektore errealak diren.

Biderketa eskalarrak zenbait propietate betetzen du espazio metriko batean:

 Ez negatibotasuna:
, eta  baldin eta soilik baldin  diren.

 Simetria:

 Bilinealtasuna:
  eta -ri eskalarrak deritze.

 Norma 
Bektore baten norma, biderketa eskalarrean oinarri daiteke. Orokorrean, barne biderketa bat induzi daiteke norma bat, baina badaude inolako barne biderketek induzitzen ez duten normak ere. Honela ikusten da espazio prehilbertiarrak normadunak direla (barne biderketa baitute), baina espazio normadunak diren eta barne biderketa ez duten espazioak ere badaudela. Bektore baten norma euklidearra bektore horren luzeraren orokortasun bat da. Honela definitzen da  bektore batentzat:

Hala ere, orokorrean, norma ondoren azalduko diren 3 propietateak betetzen dituen edozein funtzioa da (erraz egiazta daiteke biderketa eskalar batetik eratorritako "norma" benetako norma funtzioa dela, propietate horiek betetzen baititu). Biz  espazio normadun bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira:

 Ez negatibotasuna:

 eta  baldin eta soilik baldin  den.

 Homogeneotasuna:

 ( gorputz bat da,  espazio vektorialak hornituta duena. Espazio euklidearren kasuan, )

 Triangeluaren desberdintasuna: 

Gainera, badago barne produktu batetik eratorriak diren normak dituzten espazioak karakterizatzen dituen laugaren propietate bat. Hau da, edozein espazio normatu -n, espazio horrek elkartua duen normak propietate hau betetzen badu, orduan badago barne biderketa batek norma hori induzitzen duena, eta  espazio normatua espazio prehilbertiarra da. Propietate hura paralelogramoaren legea deritzo, eta honako hau adierazten du:

 Paralelogramoaren legea:

 Distantzia 
Espazio metriko batean distantzia funtzio baten bidez neur daiteke espazio horren edozein bi elementuen arteko tartea. Norma batek era tribial batean induzi dezake distantzia bat espazio normadun batean, baina badaude inolako normatik eratorriak diren distantziak ere. Orduan, espazio normadun guztiak (beraz, espazio euklidearra) espazio metrikoak dira. Biz  espazio normadun bat eta bira . Honako distantzia induzitzen da:

Hala ere, orokorrean, distantzia ondoren azalduko diren 3 propietateak betetzen dituen edozein funtzioa da (erraz egiazta daiteke norma batetik eratorritako "distantzia" benetako distantzia funtzioa dela, propietate horiek betetzen baititu). Biz  espazio metriko bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira:

 Ez negatibotasuna:

 eta  baldin eta soilik baldin  den.

 Simetria:

 Triangeluaren desberdintasuna:

Oharra: Gehienean propietateak honela ematen badira ere, triangeluaren desberdintasuna eta simetria erabiltzen froga dezakegu ez negatibotasunaren ordez nahikoa dela frogatzea  Honela froga daiteke ez negatibotasuna propietate hauetatik abiatuta:

Espazio euklidearrean, beraz, bektoreen arteko distantzia kalkulatzea argi dago. Hala ere, interesgarriena dena puntu euklidearren arteko distantzia kalkulatzea da. Horretarako, espazio euklidearrean zero puntua behin ezarrita,  eta  puntuen arteko distantzia  eta  bektoreen arteko distantzia da. 

Adibidez, plano euklidearrean,  eta  puntuen arteko distantzia hurrengo formula erabiliz lortzen da:

Hiru dimentsioko espazioan, z koordenatua gehitzen da, eta  eta  puntuen arteko distantzia hurrengo formula erabiliz lortzen da:

 Ortogonalitatea 

Bi bektore ortogonalak dira haien arteko biderkadura eskalarra 0 denean.  badira,  eta  ortogonalak dira  

 bada. Adibidez, hiru dimentsioko espazio euklidearrean  eta  bektoreak ortogonalak dira honako baldintza betetzen bada: 

 Angeluak 
Bi bektoreen arteko angelua haien arteko biderkadura eskalarraren bidez kalkulatzen da. Zehazki,  bi bektoreren arteko angelua, , honela lortzen da:

Beraz bi bektoreen arteko angelua 90º edo  bada, ortogonalak dira, senak esaten duen bezala.
 Beste espazio geometriko batzuk 

 Espazio proiektiboa 
Jatorrian, espazio proiektiboak espazio euklidearrei "infinituan puntuak" gehituz sortu dira, espazio afinek "bi lerro planokide ezberdin puntu bakar batean bat egiten dute" baieztapena kasu guztietan bete dezaten. Honela, malda berdina duten zuzenek infinituko puntu batean bat egiten dutela esaten da. Infinituko puntu bat dago malda bakoitzeko; hortaz, infinituko puntu bat dago zenbaki erreal bakoitzerako. Infinituko puntu guztien multzoari infinituko zuzena deritzo, eta erraz ikus daiteke -ri isomorfoa dela.

Espazio proiektiboak espazio euklediar eta antzekoekin isotropikoa izateko propietatea partekatzen du, hau da, ez dago bi puntu edo bi lerro bereiztea ahalbidetzen duen espazioaren propietaterik. 

 Geometria ez-euklidearrak 

Geometria ez-euklidearrak paraleloen postulatua (Euklidesen 5. postulatua) betetzen ez duten espazio geometrikoak lantzen ditu. Definizioaren historian azaldu den bezala, postulatuak frogaezinak dira. Beraz, 5. postulatua ukatzean, euklidearrak ez diren espazio geometriko berriak agertzen dira. Geometria hiperbolikoan, adibidez, triangelu baten barne angeluen batuketa 180° baino txikiagoa da. Bestalde, geometria eliptikoan, batuketa hori 180° baino handiagoa da.

Izan ere, gure mundu erreala ez da laua, eliptikoa baizik —lurra esfera antzeko itsura baitu—, eta erraz aurki dezakegu hiru angelu zuzen dituen triangelu bat.

 Ikus, gainera 
 Geometria euklidearra.
 Espazio Hilbertiarra, dimentsio infiniturako orokortasuna, analisi funtzionalean erabiltzen dena.

 Bibliografia 
 Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557
 Ball, W.W. Rouse (1960) [1908], A Short Account of the History of Mathematics (4th ed.), Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0
 Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
 Coxeter, H.S.M. (1973) [1948], Regular Polytopes (3rd ed.), New York: Dover. "Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."
 Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Euclidean space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
 Anton,Howard(1987),Elementary Linear Algebra(5th ed.), New York,Wiley:ISBN 0-471-84819-0

 Kanpo estekak 

Kategoria:Euklidear geometria
Kategoria:Aljebra lineala
Kategoria:Espazio topologikoa
Kategoria:Geometria metrikoa