Segida

Aljebra eta analisi matematikoan, segidak aplikazio diskretuak dira, non eremua zenbaki arrunten multzoa den eta koeremua beste edozein multzo (zenbakiena, irudi geometrikoena edo funtzioena). Multzo horietako elementu bakoitzari segidako elementu edo gai deritzo eta, elementu ordenatu kopuruari (batzuetan, infinitua), segidaren luzera.

Multzoetan ez bezala, segidetan elementuen ordenak garrantzia du, eta gai bat hainbat posiziotan ager daiteke.

Adibidez, (A, B, C) eta (C, A, B) letren segida desberdinak dira eta bakoitzaren luzera 3 da (finitua). Segida infinituen kasu bat zenbaki positibo bikoitiek osatzen dutena da: 2, 4, 6, 8....

 Historia 
Ezarritako arau bati jarraitzen dioten segidek beti deitu izan diete atentzioa matematikariei. Hala ere, nahiz eta segidak antzinatik ezagunak izan, XVIII. mendean matematikaren garapena heldu zen arte ez ziren sakonki aztertu. Garai hartan, balio batera hurbiltzen ziren segiden kasuak aztertu ziren eta balio horri segidaren limite izena eman zitzaion.

Leonhard Euler izan zen garai hartako matematikari garrantzitsuenetarikoa, batez ere, segiden eta serieen inguruan egindako ekarpenengatik. Aipatzekoa da Leonardo Pisano matematikari italiarra ere, berak ekarri baizituen XII. mendean Europara Fibonacciren zenbakiak.

Oro har, segidak elementuen zerrenda ordenatuak adierazteko erabiltzen dira. Konputazioan eta jokoen teoriaenre oso erabilgarriak dira.

 Orokortasunak 

 Notazioa 
Badira hainbat notazio desberdin, ikasketa alorraren arabera erabiltzen direnak. Normalean, notazioa erabiltzen da, non , gai orokor deritzona, segidako n. posizioko elementua den.  azpiindizeak elementu batek segidan hartzen duen posizioa adierazten du. Zenbaki bikoiti positiboen segida da adibideetako bat:

Orduan,

Segidetako elementuek ezarritako arau bati jarraitzen diote, eta segidako elementu oro gai arbitrario baten bidezko formula baten bitartez adieraz daiteke. Aurreko segidaren kasuan,   formularen bidez adieraz daiteke edozein elementu.

 azpiindizetik hasi beharrean  azpiindizetik hasten diren segidak ere badaude; azken horiek matematika diskretuan eta konputazioan agertu ohi dira. Gai orokorra adierazteko,  ez den beste aldagai bat erabil daiteke, horrela beste aldagai batzuekiko nahasketak saihesteko.

Notazio alternatiboak aurki daitezke literaturan, adibidez:




 Errekurrentzia bidez definitutako segidak 
segidaren errekurrentzia-erlazioa  elementuak ezartzen du; azken hori aurreko gaien araberako funtzio bat da, non . Segida bera da errekurrentzia-erlazio horren soluzioa, betiere haren elementuek erlazio hori betetzen badute edozein n baliotarako.

Algoritmo errekurtsiboek soluzioa ematen diote n tamainako problema bati. Fibonacci-ren segida da errekurrentzia bidezko segiden adibide on bat:

.

 Definizio formala eta propietateak 
Definizio asko daude, eta ikerketa-arlo bakoitzean horietako bat erabiltzen da. Ohikoena eta orokorrena zenbaki-segidaren definizioa da. Praktikan, era intuitiboan erabili ohi dira segidak.

 Definizio formala 
Zenbaki-segidak zenbaki arruntetatik X zenbaki multzo batera doan aplikazio baten bitartez definitzen dira:

 multzoa aukeratuta, Fibonacci-ren segida lor dezakegu. Oro har, zenbaki-segidak  koeremua dute. Edozein kasutan,  notazio orokorra erabili ohi da, edo azpiindizeak zenbaki osoak direla ulertutzat ematen bada, orduan  notazioa erabil daiteke.

Askotan, segidari ematen zaion izena aplikazioaren koeremuarekin lotuta dago. Adibidez,  -ren irudia zenbaki arrazionalen parte bada, hau da,  motakoa, zenbaki arrazionalen segida esaten zaio. Gauza bera gertatzen da zenbaki irrazionalekin, arruntekin, osoekin, aljebraikoekin,eta transzendentalekin.

 Segida finitu eta infinituak 
 r luzerako segida finituak irudiak S multzo batean baditu, funtzio hau definitzen da:

eta, kasu horretan,  berdintza betetzen da. Esaterako, 10 baino txikiagoak diren zenbaki lehenek osatzen duten 4 luzerako segida finituari (2,3,5,7)  funtzioa dagokio, non  zenbaki lehenen multzoa den. f-k honako balioak hartzen ditu:

 segida infinituak irudiak S multzoan hartzen baditu, honako funtzioa definitzen da:

Kasu horretan ere,  berdintza betetzen da.

 Azpisegidak 
 segida baten azpisegida edo segida partziala jatorrizko segidaren elementu batzuk ezabatzean sortzen den segida da; betiere ezabatu ez diren elementuen posizio erlatiboa aldatu gabe. Adibidez, zenbaki positibo bikoitiez osatutako segida (2,4,6...), (1,2,3...) zenbaki arrunten segidaren azpisegida bat da. Elementu batzuen posizioa aldatu egiten da beste batzuk ezabatzen direnean. Hala ere, horien posizio erlatiboa mantendu egiten da.

Formalki, segida baten azpisegida motakoa da, non  zenbaki oso positiboen segida hertsiki gorakorra den. Segida bakar baterako hainbat azpisegida ezberdin lor daitezke.

 Segida monotonoak 
Segida monotonoetan, gai baten eta hurrengoaren arteko diferentzia beti da zeinu berekoa. Gorakorrak edo beherakorrak izan daitezke.

Segida gorakorretan  desberdintza gertatzen da; hau da, elementu bakoitza hurrengoaren berdina edo txikiagoa da. Horien artean, segida konstanteak ere badaude.  desberdintasun hertsia betetzen denean, aldiz, segida hertsiki gorakorra dela esaten da.

Segida beherakorrek  desberdintza betetzen dute, eta hertsiki beherakorrak dira  denean.

 Segida bornatuak 
Segida bornatuen artean hiru kasu bereiz daitezke:
  segida goitik bornatuta egongo da M zenbaki erreal bat existitzen bada  betetzen duena edozein n baliotarako.
  segida behetik bornatuta egongo da N zenbaki erreal bat existitzen bada  betetzen duena edozein n baliotarako.
 Aurreko bi kasuak aldi berean gertatzen direnean, segida bornatua da.

 Limiteak eta konbergentzia 
Segidetako propietate garrantzitsu bat da konbergentzia. Segida batek konbergituz gero, balio partikular baterantz konbergituko du, eta balio horri limite deritzo. Segida batek limite baterantz konbergitzen badu, orduan, segida hori konbergentea dela esaten da. Konbergitzen ez duen segida, aldiz, segida dibergentea dela esaten da.

Hizkuntza formala alde batera utzita, segida batek limitea du bere elementuak  balio batera (segidaren limitera) gero eta gehiago hurbildu eta elementu batetik aurrera, gai guztiak  baliotik gertu mantentzen direnean. Hau da,  edozein zenbaki erreal emanda, segidako elementu guztiek (kopuru finitu batek izan ezik)rekiko duten distantzia d baino txikiagoa da.

Esaterako,  segidak 0-rantz konbergitzen du. Aldiz,  eta  segidak dibergenteak dira.

Segida batek konbergitzen badu, konbergitzen dueneko limitea bakarra da. Normalen,  segidaren limite hori adierazteko,  notazioa erabiltzen da (logikoki, segida dibergenteetan adierazpen horrek ez du inongo zentzurik).

 Konbergentziaren definizio formala 
 zenbaki errealen segida batek rantz konbergitzen du, baldin eta: ,  existitzen da, zeinetarako  betetzen den rako.

Aldiz,  zenbaki konplexuen segida bada, oraindik ere aurreko definizioa erabil daiteke, eraldaketa txiki batekin. Kasu horretan,  modulu arrunta erabili beharrean, konplexuen modulua erabili behar da:  .

 espazio metriko bateko puntuen segida bada, berriz, definizioa berrerabil daiteke. Betiere,  adierazpena  espresioarekin ordezkatzen bada. Azken horrek  eta  balioen arteko distantzia adierazten du.

 Aplikazioak 
 eta  segidak konbergenteak badira, hurrengo segiden limitea existitzen da, eta honela kalkula daiteke:



  bada
 , .
Bestalde,
  bada edozein tarako, orduan, Desberdintza horiek desberdintza hertsiekin ordezkatzen badira, esandakoa orokorrean gezurra da: hala ere, badaude  desberdintza betetzen duten segidak, edozein -rako, non  betetzen den.
 (Squeeze teorema)
 segida batek  betetzen badu rako, eta  baldin bada,  konbergentea da eta 
 Segida bat bornatua eta monotonoa bada, konbergentea da.
 Segida bat konbergentea da baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiak konbergenteak badira.

 Cauchyren segidak 
 segida Cauchyren segida dela esaten da hurrengo baldintza hau betetzen baldin badu:  zenbaki erreal positibo bat emanda, eta  hartuta, .

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: segiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa.

 Definizioa 
Izan bedia {an}n€N zenbaki errealen segida. {an}n€N Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;

 Teorema 
Izan bedia {an}n€N  zenbaki errealen segida.

{an}n€N konbergentea    {an}n€N  Cauchyrena

 Froga 
) Izan bedi  eta har dezagun  edozein. Orduan existitzen da  non,  guztietarako .

Izan bitez .

beraz {an}n€N Cauchyrena da.

) Orain suposatzen dugu {an}n€N Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.

Izan bedi . {an}n€N Cauchyrena denez, existitzen da  non  guztietarako, den. Orduan  guztietarako, .

 {an}n€N  segidaren borne bat da, hau da,    guztietarako, beraz {an}n€N  bornatua da.

Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da  {an}n€N  segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi  eta kontsidera dezagun  edozein.

{an}n€N  Cauchyrena 

Izan bedi .  guztietarako  denez

Beraz,  da.

 Limite infinituak 
Kalkuluan badira konbergentziaren definizio esplizitua betetzen ez duten baina arbitrarioki luzatzen diren segidak (noranzko positiboan zein negatiboan). Orduan, bi kasu bereiz daitezke:
  bada, segidak infiniturantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da. Adibide ona da  segida.
  bada, segidak infinitu negatiborantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da.

 Segiden sailkapena 
Hainbat segida mota bereizten dira:
  segida aritmetikoa da baldin eta bada,  izanik. d zenbakia segidaren diferentzia da.
  segida geometrikoa da baldin eta  bada,  izanik. r zenbakia segida geometrikoaren arrazoia da.
  segida harmonikoa da baldin eta ,  izanik.

 Serieak 
Serieak segiden gaien batura dira.  edo  moduan idazten dira, non  zenbaki erreal edo konplexuen segida bat den.

Baturan infinitua ordez zenbaki finitu bat jarriz, seriearen batura partziala lortzen da. Adibidez,  seriearen N. batura partziala  zenbakia da. Batura partzial horiek segidak osatzen dituzte, , eta horiei  seriearen batura partzialen segidak deritze. Seriearen batura partzialen segida konbergentea bada, orduan  segida konbergentea dela esaten da, eta seriearen balioa (baturaren emaitza)  da. Beraz,  = .

 Oharrak 

 Erreferentziak 

 Bibliografia 
 Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684.
 Watson Fulks. "Cálculo avanzado".
 J. Dieudonné. " Fundamentos de análisis moderno".
 Lages Lima. " Curso de análisis matemático
 Banach. " Cálculo".
 Spivak . "Calculus"
 V.F. Butúzov. " Análisis matemático"

 Ikus, gainera 
 Serie (matematika)

 Kanpo estekak