Deribatu partzial

Matematikan, aldagai anitzeko funtzio baten deribatu partziala aldagai horietako bakar batekiko deribatua da, gainerako aldagaiak konstanteak direla suposatuz. Adibidez,  funtzioak  eta  aldagaiak baditu, -ren  -rekiko deribatu partziala kalkulatzean,  eta  aldagaiak konstante mantentzen dira. Deribatu partzialak kalkulu bektorialean eta geometria diferentzialean erabiltzen dira.

 funtzio baten deribatu partziala  aldagaiarekiko zenbait eratara denotatu daiteke:

\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}f, \, D_1f, \, \partial_x f, \, f^\prime_x, \,f_x.

 ‘Jacobiren d letra’ izenez ezagutzen da. Ikur hau matematikan erabili zuen lehenengo pertsona Condorcet-eko markesa izan zen (1770) . Aurrerago, deribatu partzialen idazkera modernoa Adrien-Marie Legendre-k (1786) sortu zuen arren, Carl Gustav Jakob Jacobik eman zion ospea   ikurrari 1841ean.Miller, Jeff (n.d.). "Earliest Uses of Symbols of Calculus". In O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.). MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 

 Notazioa 
Izan bedi  funtzioa,  eta  aldagaiekin.

Lehen ordenako deribatu partziala  aldagaiarekiko:   

Bigarren ordenako deribatu partziala  aldagaiarekiko:   

Bigarren ordenako deribatu partzial gurutzatuak:   

Ordena altuagoko deribatu partzialak eta deribatu partzial gurutzatuak:    

 Definizio matematikoa 
Deribatu arruntak bezala, deribatu partziala limite gisa definitzen da. Izan bitez  multzo irekia eta  funtzioa.  puntuko .ren deribatu partziala i. aldagaiarekiko, , honela definitzen da: 

non ,  aldagaiaren bektore unitarioa den.

Nahiz eta  deribatu partzial guiztiak existitu  puntu batean untzioak ez du zertan jarraitua izan bertan. Hala ere, deribatu partzial guztiak existitzen badira -ren ingurune batean eta bertan jarraituak badira, orduan  guztiz diferentziagarria izango da ingurune horretan eta deribatua jarraitua izango da. Kasu honetan, esaten da  funtzioa motakoa dela.

Modu berean,  deribatu partziala  eremuan definitutako beste funtzio bat bezala ikus dezakegu eta berriro ere diferentziagarria izan daiteke. Deribatuaren norabidea (hau da, zein aldagairekiko deribatu dugun) ez bada errepikatzen, emaitzari (hots, bigarren ordenako deribatu berriari) deribatu partzial gurutzatu deritzo. Bigarren mailako deribatu gurutzatu guztiak puntu edo multzo jakin batean jarraituak badira,   dela esaten da puntu edo multzo horretan.

 Gradientea 
Aldagai anitzeko funtzio baten adibide garrantzitsu bat da  funtzio eskalar bat   eremu euklidearreko domeinu batean. Kasu horretan,  funtzioak  aldagai bakoitzarekiko deribatu partzial bat du.  puntuan, deribatu partzial horiek ondoko bektorea definitzen dute:

Bektore horri  puntuko -ren gradientea esaten zaio. -ren definizio-eremuko puntu guztietan   diferentziagarria bada, orduan  gradientea funtzio bektorial bat da, a puntua   bektorera eramaten duena. Ondorioz, gradienteak eremu bektorial bat sortzen du.

Askotan, notazioaren gehiegizko erabilera egiten da eta  eragilea  espazio euklidearrean  bektore unitarioekin honela definitzen da:

Edo, orokorki,  dimentsioko  espazio euklidearrean  koordenatuak izanik eta  bektore unitarioak, honela definitzen da:

 Adibideak 

 Lehenengo adibidea 
Demagun  altuerako eta  erradioko kono bat dugula. Bere  bolumena honako formularen bidez emanda dago:

Orduan, -rekiko deribatu partziala honako hau da, eta konoaren bolumenaren aldaketa adierazten du erradioa aldatzen bada:

Bestalde, -rekiko deribatu partziala, berriz, erradioa konstante mantenduta, konoaren bolumenaren aldaketa da  altuerarekiko:


 Bigarren adibidea 
Demagun honako  funtzioa dugula:

Orduan,  funtzioaren deribatu partziala -rekiko ondokoa da:

Orain, demagun  funtzioaren -rekiko deribatu partziala  puntuan aztertzen dugula:

 Ordena altuagoko deribatu partzialak 
Bigarren ordenako edo ordenako altuagoko deribatu partzialak aldagai bakarreko funtzioen ordena altuagoko deribatuen antzera definitzen dira.

Izan bedi  funtzioa. -ren bigarren ordenako deribatu partziala  aldagaiarekiko, -rekiko deribatu partzialaren -rekiko deribatu partziala da:

Bestalde,  eta -ren deribatu partzial gurutzatuak, aldiz, -rekiko -ren deribatu partziala eginez eta honen -rekiko deribatu partziala hartuz lortzen dugu.

Schwarzen teoremaren arabera, badakigu, bigarren ordenako deribatu partzialak jarraituak badira, deribazioa zein aldagairekiko egin den lehenengo eta zeinekiko egin den hurrengo ez duela axola. Bestela esanda, berdinak izango dira bi kasuetan. Hau da,

betetzen da; edo, baliokideki, .

 Funtzio primitiboa 
Deribatuarentzat alderantzizko funtzioa (hots, integrala) defini dezakegun moduan, deribatu partzialentzat ere antzeko termino bat defini dezakegu. Hortaz, deribatu partzial bat emanda, hasierako funtzioa berreskuratzea da helburua.

Ikus dezagun honako adibidea. Demagun hurrengo funtzioa dugula:

Hasierako funtzioa, , lortzeko,  aldagaiarekiko egingo dugu integrala,  konstante mantenduz.

Kasu honetan, ikus dezakegu integrazioaren konstantea jada ez dela konstante bat, baizik eta -ren menpeko funtzio bat. Orokorrean, funtzioa aldagai batekiko integratuko dugu. Beraz, konstante hori beste aldagaien menpeko funtzioa izango da.

 Ikus, gainera 

 Deribatu
 Katearen erregela
 Kalkulu multibariable
 Deribatu kobariante

 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 


 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Derivada parcial», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.

Kategoria:Kalkulu diferentziala
Kategoria:Operadore diferentzialak
Kategoria:Aldagai anitzeko kalkulua