Teorema

Kategoria:Matematika
Kategoria:Logikako kontzeptuak
Kategoria:Matematika-terminologia
Teorema matematikako oinarrizko kontzeptuetako bat da, aurrez frogatuta dagoen proposizio bat, zehazki. Matematikan, hipotesi batetik abiaturik, berez berehalakoa ez den emaitza bat baieztatzen duen proposamen oro teorema izango da. Gehienetan, aurrez frogaturik dagoen beste teorema batetik abiatuta lortzen dira teorema berriak. Teoremak logikaren bidez eta matematikako zenbait printzipioren bitartez egiaztatzen dira. Gainera, hainbat arlotan aurki daitezke, esate baterako, geometrian, aljebran, analisian eta estatistikan.

Teoremek matematikaren arlo ugaritan aurrerapen handiak ekarri dituzte, eta horrek eragin zuzena izan du zientzia eta teknologiaren garapenean. Geometriako teoremak, Pitagorasen Teoremak esaterako, arkitekturan eta ingeniaritzan erabiltzen dira, espazioaren eta formaren ulermena hobetzeko.

Teoremek egitura jakin bat jarraitu ohi dute: hain zuzen ere, enuntziatua, froga eta amaiera. Frogatzeko prozesuak ikerketa sakona eskatzen du; horretarako hainbat metodo erabiltzen dira, besteak beste, indukzioa eta kontradikzioa. Gainera, froga prozesua teorema baten balio eta erabilgarritasunaren oinarria da.

 Historia pixka bat 
XIX. mendearen amaierara arte eta matematikaren sorrerako krisira arte, teoria matematiko guztiak nabaritzat hartzen ziren oinarrizko propietate gutxi batzuetatik abiatuta eraiki ziren; adibidez, zenbaki natural orok ondorengo zenbaki bat duela, edo bi puntu ezberdin hartuta hauetatik igarotzen den lerro bat existitzen dela. Erabat nabaritzat jotzen ziren oinarrizko propietate hauei postulatu edo axioma deitzen zitzaien; adibidez, Euklidesen postulatuak.

Teorema guztiak oinarrizko propietate hauek inplizituki edo esplizituki erabiliz frogatzen ziren. Gainera, oinarrizko propietate hauen ebidentziaren ondorioz behin teorema bat frogatuta, behin betiko egiatzat hartzen zen, frogan akats bat egon ezean. Adibidez, triangelu baten barneko angeluen batura 180º da, eta hori egitate ukaezintzat jotzen zen.

Matematikaren sorrerako krisiaren eragileetako bat geometria ez-euklidearren aurkikuntza izan zen. Izan ere, geometria horietan triangelu baten angeluen batura 180º-ren ezberdina da, baina teoria horietan ez dira inolako kontraesan batera iritsi. Orduan, "triangelu baten angeluen batura 180º da" propietatea egiazkoa da Euklidesen bosgarren postulatua onartzekotan, eta faltsua postulatu hori onartzen ez bada. Era berean, multzoen inguruko oinarrizko eta “nabariak” diren propietateek Russellen paradoxaren kontraesanera garamatzate. Kontraesan hori  multzoak manipulatzea baimentzen duten arauak sortuz konpondu  da.
ezkerrera|thumb|"Triangelu baten angeluen batura 180º da."
Krisi hau matematikaren oinarriak berrikusiz konpondu da, oinarri zorrotzagoak egiteko. Oinarri berri hauen arabera, teorema bat da ongi eratuta dagoen teoria matematiko baten formula bat, teoriaren axioma eta inferentzia arauak erabiliz froga daitekeena. Orduan, triangelu baten angeluen baturari buruzko aurreko teorema honela geratzen da: “Geometria euklidearraren axioma eta inferentzia arauen arabera, triangelu baten barneko angeluen batura 180º da”. Bestalde, Russellen paradoxa desagertu egiten da; izan ere, multzoen teorian "multzo guztien multzoa" ezin da ondo eratutako formula batekin adierazi. Hain zuzen ere, multzo guztien multzoa ongi eratutako formula baten bidez adieraz badaiteke, horrek esan nahi du teoria ez-tinkoa dela; eta ongi eratutako baieztapen oro, baita horren ezeztapena ere, teorema bat da.

Esandakoaren arabera, teorema baten baliozkotasuna haren frogaren zuzentasunaren araberakoa baino ez da. Ez da egiaren ezta axiomen esanahien araberakoa. Horrek ez du esan nahi axiomen esanahia interesgarria ez denik, baizik eta teorema baten baliozkotasuna axiomen esanahiarekiko independentea dela. Independentzia hori erabilgarria izan daiteke, itxuraz loturarik ez duten matematikako arloetan beste alorretan lortutako emaitzak erabiltzeko aukera ematen baitu.

Matematika antolatzeko modu honen ondorio garrantzitsu bat da matematikako teoriak objektu gisa definitzea, eta haiei buruzko teoremak frogatzea ahalbidetzen duela.

 Teoremei buruzko zenbait oinarrizko kontu 
Zentzuzkoa den bezala, teorema askok baldintzapeko adierazlearen forma dute: A betetzen bada, orduan B ere bai. Teorema horrek "B" baieztatzen ez duen arren, "B" "A"-ren beharrezko ondorioa dela adierazten du. Kasu honetan, A teoremaren hipotesia deitzen da, eta B, berriz, teoremaren ondorioa. Biek batera (frogapena kontuan hartu gabe) proposizioa edo teoremaren enuntziatua osatzen dute (adibidez, "A baldin bada, orduan B" proposizioa da). Esate baterako, "n zenbaki natural bikoitia bada, orduan n/2 zenbaki naturala da"  teorema bat da,  non hipotesia "n zenbaki natural bikoitia da" eta ondorioa "n/2 zenbaki naturala ere bada" diren.

Matematikan ohikoa da, lengoaia baten barruan zenbait hipotesi aukeratuta, teoria bat osatzea hipotesi horietatik ateratako eta froga daitezkeen enuntziatu guztiekin. Hipotesi hauek teoriaren oinarria osatzen dute eta axioma edo postulatu deitzen zaie. Froga teoria izenez ezagutzen den matematika-arloak hizkuntza formalak, axiomak eta frogen egitura aztertzen ditu.
ezkerrera|thumb|201x201px|Pierre de Fermat
Teorema batzuk nabariak dira, definizioetatik, axiometatik eta beste teorema batzuetatik berehala ondoriozta daitezkeelako. Beste batzuk, berriz, "sakonak" kontsideratzen dira, horien frogak luzeak eta zailak direlako, matematikako beste arlo batzuk inplikatzen dituztelako edo matematikaren arlo ezberdinen arteko lotura harrigarriak erakusten dituztelako. Gerta daiteke teorema baten adierazpena erraza izatea, berez sakona izan arren. Horren adibidea Fermat-en Azken Teorema izango litzateke.

Beste teorema batzuek, berriz, gaur egun ezagunak diren arren, errealitatean egiaztatzeko zailak diren frogak dituzte. Kasu horietan, teoremak egiazkotzat jotzen dira behin haien froga bilaketa konputazional batera murriztu eta ordenagailuko programa batek baieztatzen duenean.

Horrez gain, badaude kalkulu sinpleagoetara murriztu daitezkeen teorema matematikoak ere, zeinetan identitate polinomikoak, identitate trigonometrikoak eta identitate hipergeometrikoak Petkovsek et al. 1996 erabiltzen diren.

 Elkarrekin erlazionatutako teoremak 
p eta q bi proposizio izanik, proposizio horietatik abiaturik elkarrekin lotutako honako teorema hauek sor daitezke, baldin eta  hipotesia ondorioarekin trukatu eta, ondoren, hasieran genituen proposizioen ukapenak kontuan hartzen baditugu. Cotlar- Ratto de Sadosky Introducción al álgebra/ nociones de álgebra lineal. Eudeba, Buenos Aires ( 1977)

 Zuzeneko teorema: p ⇒ q
 Elkarrenganako teorema: q ⇒ p
 Alderantzizko teorema: - p ⇒ - q
 Elkarrenganako teoremaren alderantzizkoa: - q ⇒ - p

 Terminologia 
Matematikan, teorema batek interesgarria edo garrantzitsua izan behar du komunitate matematikoaren barruan teorematzat hartzeko. Teorema batek baino garrantzi txikiagoa dutela kontsideratzen diren kontzeptuak ondokoak dira:

 Korolarioa: teorema baten ondorengo baieztapena. A proposizioa B proposizio edo B teorema baten korolarioa da A B-tik ondoriozta badaiteke.
 Proposizioa: teorema jakin bati lotu gabeko baieztapena edo emaitza, aditu askok teoremaren sinonimo gisa erabiltzen dutena. Carlos Chávez. Notas de matemática Editorial San Marcos, Lima (1991)
 Aierua edo hipotesia: oraindik frogatu gabe dagoen baina egiazkotzat jotzen den enuntziatu matematikoa. Adibide gisa, ondoko bi hauek: Goldbach-en aierua eta Riemann-en hipotesia.

 Egitura 
Salbuespenak salbu, teorema bat eta haren frogapena honela aurkeztu ohi dira:

 Teorema (proba egin zuen pertsonaren izena, eta proba aurkitu edo argitaratu zen urtea).
 Teoremaren enuntziatua
 Frogaren deskribapena
 Amaiera

ezkerrera|thumb|Frogapen-amaieraren ikurraren zenbait forma.
Frogapenaren amaiera Q.E.D. (quod erat demonstrandum) letrekin edo tombstone marketako batekin adieraz daiteke. Aipaturiko marken artean erabilienak  "◻" edo "◾" dira. Hauen jatorria Paul Halmos-en artikuluak dira, haien amaiera adierazteko erabiltzen baitzituen Halmosek. 

Ohikoa da teorema batean agertuko diren terminoen definizioak aldez aurretik zehaztea,  beraien esanahi zehatza deskribatuz. Maiz, halaber, teorema baten aurretik proposizio edo lema batzuk ere agertu ohi dira, gero frogapenean erabiliko direnak. Hala ere, lema horiek teoremaren frogapenaren barne ager daitezke orobat, beraien frogekin batera. Beste aukera bat lemen frogapenak teorema amaitzean enuntziatzea izango litzateke.

Teorema baten korolarioak, berriz, teoremaren eta frogapenaren artean aurkezten dira, edota zuzenean frogapenaren ondoren. Batzuetan, korolarioek frogapen propioak izaten dituzte, teorematik zergatik ondorioztatzen diren azaltzeko.

 Teorema ospetsuak 
Hauek dira teorema ezagunenetako batzuk:

 Pitagorasen teorema
 Bayesen teorema
 Newtonen binomioa
 Nyquist–Shannonen laginketa teorema
 Gödelen ez-osotasunaren teoremak
 Limitearen teorema zentrala
 Zenbaki lehenen teorema
 Talesen teorema (elkarketa)
 Fermaten azken teorema
 Batez besteko balioaren teorema
 Taylorren teorema
 Rolleren teorema

 Erreferentziak 

 Bibliografia 

 Barwise, J. (1982). Handbook of Mathematical Logic. Elsevier. ISBN 9780080933641.
 Belnap, N. (1977). "A useful four-valued logic". In Dunn & Eppstein, Modern uses of multiple-valued logic. Reidel: Boston.
 Bocheński, J. M. (1959). A précis of mathematical logic. Translated from the French and German editions by Otto Bird. D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
 Bocheński, J. M. (1970). A history of formal logic. 2nd Edition. Translated and edited from the German edition by Ivo Thomas. Chelsea Publishing, New York.
 Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York. ISBN 1-85702-829-5.
 Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). A = B. A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6. Archivado desde el original el 15 de abril de 2021. Consultado el 1 de febrero de 2023.

 Kanpo estekak