Aljebra lineal

Aljebra lineala kontzeptuak aztertzen dituen matematikaren adar bat da, hala nola bektoreak, matrizeak, ekuazio linealen sistemak eta espazio bektorialak.

Beste era batera esanda, aljebra lineala ekuazio linealez arduratzen den matematikaren adarra da, hala nola:

eta aplikazio linealak, hala nola:

eta espazio bektorialetako eta matrizeen bidezko irudikapenak.​​

Aljebra lineala funtsezkoa da matematikaren ia arlo guztietan. Adibidez, aljebra lineala funtsezkoa da geometriaren aurkezpen modernoetan, baita oinarrizko objektuak definitzeko ere, hala nola lerroak, planoak eta biraketak. Gainera, analisi funtzionala, analisi matematikoaren adar bat, aljebra lineala funtzio-espazioetan aplikatzearen parekotzat har daiteke. Ingeniaritza zientzietako esparru gehienetan ere erabiltzen da hainbat fenomeno natural modelatzeko.

Aljebra lineala ingeniaritzaren zientzia eta arlo gehienetan ere erabiltzen da, fenomeno natural asko modelatzeko aukera ematen duelako eta eredu horiekin modu eraginkorrean konputatzeko aukera ematen duelako. Sistema ez-linealetarako, aljebra linealaren bidez modelatu ezin direnetarako, lehen mailako hurbilketak tratatzeko erabiltzen da askotan, puntu bateko «aldagai anitzeko funtzio» baten diferentziala puntu horretatik hurbil funtzioa ongien hurbiltzen duen mapa lineala dela erabiliz, baita analisi funtzionala, ekuazio diferentzialak, eragiketen ikerketa, ordenagailu bidezko grafikoak eta ingeniaritza ere, besteak beste.

Aljebra lineal modernoaren historia 1843an hasten da, William Rowan Hamiltonek (zeinengandik bektore terminoaren erabilera datorren) koaternioiak zenbaki konplexuetan oinarrituta sortu zituenean eta, 1844an, Hermann Grassmannek Die lineare Ausdehnungslehre (Hedapenaren teoria lineala) liburua argitaratu zuenean.

Historia
Aldi bereko ekuazio linealak ebazteko prozedura, orain ezabatze gaussiar deritzona Txinako testu matematiko zaharrean agertzen da. Matematika-artearen bederatzi kapituluak liburuaren zortzigarren atala: 方程 Fangcheng («matrize laukizuzenak: Ekuazio linealen sistemak»). Haren erabilera hemezortzi problematan erakusten da, bitik bost ekuaziotara.

Ekuazio linealetako sistemak Europan sortu ziren René Descartesek 1637an geometriako koordenatuak sartu zituenean. Izan ere, geometria berri horretan, orain geometria cartesiar deitua, lerroak eta planoak ekuazio linealen bidez adierazita daude, eta haien arteko ebakidurak kalkulatzea ekuazio-sistema linealak ebaztearen baliokidea da.

Sistema linealak ebazteko lehenengo metodo sistematikoek determinanteak erabiltzen zituzten; Leibnizek, lehen aldiz, 1693an erabili zituen. 1750ean, Gabriel Cramer-ek sistema linealen soluzio esplizituak emateko erabili zituen, orain Cramerren erregela deitzen dena. Geroago, Gauss-ek are gehiago deskribatu zuen ezabatze-metodoa, hasieran, geodesian egindako aurrerapentzat hartu zena.

1844an, Hermann Grassmann-ek bere Die lineale Ausdehnungslehre (Hedaduraren Teoria) argitaratu zuen, gaur egun aljebra lineala deitzen denaren sorrerako gai berriak jasotzen zituena. 1848an, James Joseph Sylvester-ek matrize terminoa sartu zuen, sabel esan nahi duena latinez.

Aljebra lineala plano konplexuan idatzitako ideiekin hazi zen. Adibidez, bi zenbaki, w eta z ℂ-n diferentzia bat dute, w - z, eta  eta  lerro-segmentuek luzera eta norabide bera dute. Segmentuak ekipolenteak dira.Koaternioien lau dimentsioko ℍ sistema 1843an hasi zen garatzen. Bektore terminoa honela sartu zen: v = x i + y j + z k, espazioan puntu bat irudikatuz. p - q koaternioien diferentziak ere -rekiko segmentu ekipolente bat sortzen du. Beste zenbaki-sistema hiperkonplexu batzuek ere oinarri bat duen espazio lineal baten ideia erabili zuten.

Arthur Cayleyk matrize-biderketa eta alderantzizko matrizea sartu zituen 1856an, multzo lineal orokorra posible eginez. Talde-ordezkaritza mekanismoa irudikatzeko erabilgarri egin zen zenbaki konplexuak eta hiperkonplexuak deskribatzeko. Funtsean, Cayleyk letra bakarra erabili zuen matrize bat adierazteko, horrela matrize bat objektu agregatu gisa tratatuz. Halaber, konturatu zen matrizeen eta determinanteen arteko loturaz, eta hau idatzi zuen: «Matrizeen teoria horri buruz gauza asko esan beharko lirateke, zeinak, nire ustez, determinatzaileen teoriaren aurretik joan beharko luketen».

Benjamin Peircek Linear Associative Algebra (Aljebra lineal asoziatiboa) (1872) argitaratu zuen, eta bere seme Charles Sanders Peircek lana handiagotu zuen geroraBenjamin Peirce (1872) Álgebra asociativa lineal, litografía, nueva edición con correcciones, notas y un trabajo añadido de 1875 de Peirce, más notas de su hijo Charles Sanders Peirce, publicado en el American Journal of Mathematics v. 4, 1881, Universidad Johns Hopkins, pp. 221-226, Google Eprint y como extracto, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint..

Telegrafoak azalpen-sistema bat behar zuen, eta, 1873an, A Treatise on Electricity and Magnetism argitaratu izanak indar-eremuen teoria bat eratu zuen, eta geometria diferentziala behar izan zuen hura adierazteko. Aljebra lineala geometria diferentzial laua da, eta kolektoreen ukitzaile diren espazioetan balio du. Espazio/denborako simetria elektromagnetikoak Lorentz-en transformazioen bidez adierazten dira, eta algebra linealaren historiaren zati handi bat Lorentzen transformazioen historia da.

Bektore-espazioaren lehen definizio moderno eta zehatzagoa Peanok sartu zuen 1888an;​ 1900ean, dimentsio finituko bektore-espazioen transformazio linealen teoria bat sortu zen. Aljebra linealak bere forma modernoa hartu zuen XX. mendearen lehen erdian, aurreko mendeetako ideia eta metodo asko aljebra abstraktu gisa orokortu zirenean. Ordenagailuen garapenari esker, algoritmo eraginkorren ikerketa areagotu zen gaussiarren ezabapenerako eta matrize-deskonposizioetarako, eta aljebra lineala funtsezko tresna bihurtu zen modelizaziorako eta simulazioetarako.

Testuinguru orokorra
Modu formalagoan, aljebra linealak bektore-espazio izeneko multzoak aztertzen ditu. Horiek bektore multzo batez eta eremu-egitura duen eskala-multzo batez osatuta daude, bektoreen batuketaren eragiketa batekin eta beste bat eskalarren eta bektoreen arteko biderketaren eragiketarekin, zenbait propietate betetzen dituztenak (adibidez, batura kommutatiboa dela).

Transformazio linealak ere aztertzen ditu, linealtasun-baldintzak betetzen dituzten bektore-espazioen arteko funtzioak direnak:

Aurreko atalean garatutako adibidean ez bezala, bektoreak ez dira nahitaez eskalarren n-ak, baizik eta edozein multzotako elementuak izan daitezke (izan ere, edozein multzotatik abiatuta bektore-espazio bat eraiki daiteke eremu finko baten gainean).

Azkenik, aljebra linealak bektore-espazioei egitura gehigarria ezartzen zaienean agertzen diren propietateak ere aztertzen ditu, Ohikoenetako bat da barne-produktu bat izatea (bi bektoreren arteko biderkadura moduko bat), eta, haren bidez, nozioak sar daitezke, hala nola bektoreen luzera eta bektore-pare baten arteko angelua.

 Oinarrizko kontzeptuak 
 Eragiketak 
Izan bedi  multzo bat. Orduan,  multzoan eragiketa bat,  moduan adierazten dena, ondorengoa betetzen duen arau bat da: , .

 Taldea 
Izan bitez  multzoa eta  -ko eragiketa.  taldea dela esaten da hurrengo hiru baldintzak betetzen direnean:

 Propietate elkarkorra betetzen bada, hau da,  .
 Elementu neutroa existitzen bada, hau da,  .
  multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira, hau da,  . Kasu horretan,  -ren alderantzizkoa deitzen zaio.

Gainera, propietate trukakorra betetzen bada, hau da,  , orduan,  talde abeldarra edo talde trukakorra deitzen da.

 Eraztuna 
Izan bitez  multzoa eta  gaineko bi eragiketa. Orduan,  eraztuna dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  talde abeldarra bada.
  propietate elkarkorra betetzen badu.
 Banatze-propietateak betetzen badira, hau da,  eta  .

 Gorputza 
Izan bitez  eremu bat ( zenbaki errealen, zenbaki osoen edo zenbaki arrunten multzoa izan ohi da, adibidez) eta  eraztuna. Orduan,  gorputza dela esaten da ondorengo propietateak betetzen badira:

  ez bada tribiala, hau da,  -k elementu bat baino gehiago badu.
  identitateduna eta trukakorra bada.
  multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira  eragiketarekiko.

 Espazio bektorialak 
XIX. mendera arte, aljebra lineala sistema linealen ekuazioekin eta matrizeekin adierazi zen. Matematika modernoan, espazio bektorialen bidezko adierazpena hobesten da orokorrean; izan ere, mota horretako adierazpena sintetikoagoa, orokorragoa eta kontzeptualki adierazteko errazagoa da, nahiz eta abstraktuagoa izan.

Izan bitez  gorputza eta  multzoa. Orduan  -espazio bektoriala dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  -n eragiketa bat definiturik badago,  denotatzen dena, eta  talde abeldarra bada.
 Banatze-propietateak betetzen badira bi eragiketekiko:  eta  eta  .
 Biderketak propietate elkarkorra betetzen badu:  eta  .
 Biderketa eskalarrak elementu neutroa badu: .

-ko elementuak bektoreak deitzen dira eta -koak, aldiz, eskalarrak.

 Aplikazio linealak 
Aplikazio linealak bektore-espazio egitura gordetzen duten espazio bektorialen arteko aplikazioak dira. Izan bitez  eta  bi -espazio bektorial, orduan  aplikazio lineal bat izango da ondorengoa betetzen badu:   eta . Horrek ondorengoa inplikatzen du: .

Aplikazio lineal baten nukleoa  moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da: .

Aplikazio berdinaren irudia  edo  moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da: .

Aplikazio bat injektiboa izango da, baldin eta soilik baldin,  bada, eta supraiektiboa da baldin eta .

Kontzeptu horiekin isomorfismoak definitu ditzakegu:  aplikazio lineala isomorfismoa dela esaten da baldin eta  bijektiboa bada, hau da, injektiboa eta supraiektiboa.  deneko kasuan, isomorfismoari automorfismo deritzo.

 Azpiespazioak eta oinarriak 
 -espazio bektorial baten azpiespazio lineala -ren azpimultzo bat da,  deituko duguna, ondorengoa betetzen badu:  eta ,  eta .  ere -espazio bektoriala da.

-ren bi azpiespazioen batura honela definitzen da: . Batura hori zuzena dela esaten da  bada, eta kasu horretan  denotatuko litzateke.

Espazio bektorialak adierazteko, eta horiei buruzko informazioa barneratzeko, oinarriak ezinbestekoak dira. Oinarri bateko elementuekin espazio lineal baten elementu guztiak adieraz ditzakegu horien konbinazio linealen bidez, hau da,  bektoreek  espazio bektorialaren oinarria osatzen badute, edozein  bektore  moduan idatz daiteke,  eskalarrak izanik. Baina   azpiespazioaren oinarria izango da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen baditu:

   -ren sistema sortzailea bada, hau da, -ko edozein bektore  bektoreen konbinazio lineal moduan adieraz badaiteke. Kasu horretan  multzoari  deritzo, eta  idazten da.
  sistema askea bada, hau da,  izateak  direla inplikatzen du.

 espazio bektorial baten sistema sortzailea ( denotatzen dena) finitua bada, orduan  finituki sortua dela esaten da, eta -k sortzen duen oinarriaren kardinalari -ren dimentsioa deritzo.

 Matrizeak 
Matrizeek dimentsio finituetako espazio bektorialak eta aplikazio linealak modu esplizituan manipulatzea ahalbidetzen dute. Gainera, aljebra linealean funtsezkoak dira. Matrizeak isomorfismo batean parte hartzen duten bi espazioen arteko oinarri batetik bestera pasatzeko erabiltzen dira gehien.

Izan bitez  dimentsioko -espazio bektoriala eta  -ren oinarri bat. Oinarriaren definizioagatik

aplikazioa  espaziotik  espaziorako bijekzio bat da.  Isomorfismo horrekin bektore bat bere aurreirudiaren bidez adieraz dezakegu, hau da,  koordenatuen bidez.

Orain, izan bitez  dimentsioko -espazio bektoriala eta  -ren oinarri bat, orduan ondorengo aplikazioa, , -ren oinarriko elementuen gainean ondo definiturik dago, hau da,  non   balioetarako. Beraz,   matrizearekin adieraz dezakegu.

Matrizeen biderkadurak bi aplikazioren arteko konposizio matrizea ematen du.

 Sistema linealak 
Ekuazio linealetako sistema bat  ekuazio eta  ezezagunekin egindako sistema da. Matrizeak bezala, aljebra linealean funtsezkoak dira. Historikoki, aljebra lineala eta matrizeen teoria sistema ezberdinei soluzioak emateko garatuak izan dira. Gaur egungo aljebra linealean, problema ezberdinak espazio bektorialen eta matrizeen bitartez interpreta daitezke, ekuazio linealetako sistema bezala.

Orokorrean ekuazio linealetako sistemak honela idazten dira:

 non .

Ekuazio linealetako sistemak matrizialki adieraz daitezke, eta  bezala denotatuko lirateke, non:

 sistemaren matrizea den.

 gai askeen matrizea den.

 ezezagunen matrizea den.

 sistemaren matrize hedatua den.

Izan bedi  ekuazio linealetako sistema bat.  matrizea sistemaren soluzioa dela esaten da baldin eta  betetzen bada.

 soluziorik ez badu sistema bateraezina deitzen da; eta beste kasuan bateragarria. Azkenengo kasuan:

 Sistemak soluzio bakarra badu, bateragarri determinatua deitzen da.
 Sistemak soluzio bat baino gehiago badu, bateragarri indeterminatua dela esaten dugu.

 Adibidea 
Izan bitez ondorengo sistema lineala:

Lehenengo eta behin, har dezagun sistemaren matrizea:

eta gai askeen matrizea:

Deitu diezaiogun  ezezagunen matrizea non  den.

Orain, ezabaketa gaussiarra erabiliko dugu. Metodo hau errenkaden arteko eragiketetan oinarrituta dago, beraz, eragiketa hauek ez dute sistemaren soluzioa aldatzen.

Beraz, sistema honen soluzio bakarra  da, hots, sistema hau sistema bateragarri determinatua da.

Orokortasuna eta lotutako gaiak
Aljebra lineala oso teoria arrakastatsua denez, matematikaren beste arlo batzuetan ere ugaritu dira haren metodoak: moduluen teorian, eskalarretan gorputza eraztun batez ordezten duena; aljebra multilinealean, batek aldagai askorekin borrokatzen du mapatze linealeko problema batean, non aldagai kopuru bakoitza tentsore kontzeptura zuzentzen den, eta baita programazioaren esparruan ere, bada, gaur egun, web-orrien indexazioa aljebra linealeko metodoetan oinarritzen baita; dimentsio infinituko matrizeak kontrolatzeko eragileen espektroaren teorian, erabat aljebraikoa ez den teoria batean analisi matematikoa aplikatuz. Kasu horietan guztietan, zailtasun teknikoak askoz handiagoak dira.

Geometriarekin duen harremana
Harreman handia dago aljebra linealaren eta geometriaren artean, René Descartesek 1637an koordenatu cartesiarrak sartu zituenean hasi zena. Geometria berri horretan (une horretakoa), orain geometria cartesiar deritzonean, puntuak koordenatu cartesiarren bidez adierazten dira, hiru zenbaki errealen sekuentziak direnak (ohiko Hiru dimentsioko espazioaren kasuan). Geometriaren oinarrizko objektuak, hau da, lerroak eta planoak, ekuazio linealen bidez adierazten dira. Beraz, lerroen eta planoen ebakidurak kalkulatzea, ekuazio linealen sistemak ebaztearen baliokidea da. Hori izan zen aljebra lineala garatzeko motibazio nagusietako bat.

Transformazio geometriko gehienek, hala nola translazioek, errotazioek, islapenek, mugimendu zurrunek, isometriek eta proiekzioek, lerroak lerro bihurtzen dituzte. Hortik ondorioztatzen da mapa linealen arabera definitu, zehaztu eta azter daitezkeela. Hori da homografien eta Möbius-en eraldaketen kasua ere, espazio proiektibo baten eraldaketatzat hartzen direnean.

XIX. mendearen amaiera arte, espazio geometrikoak definitzen ziren puntuak, lerroak eta planoak erlazionatzen zituzten axiomen bidez (geometria sintetikoa). Data horren inguruan agertu zen espazio geometrikoak espazio bektorialak dituzten eraikuntzen bidez ere defini daitezkeela. Frogatu da bi ikuspegiak funtsean baliokideak direlaEmil Artin (1957) Álgebra Geométrica Interscience Publishers. Geometria klasikoan, parte hartzen duten bektore-espazioak errealen gainean dauden espazio bektorialak dira, baina eraikuntzak edozein eremutako bektore-espazioetara heda daitezke, horrela geometria eremu arbitrarioetan kontuan hartzea ahalbidetuz, eremu finituak barne hartuz.

Gaur egun, testuliburu gehienek aljebra linealetik sartzen dituzte espazio geometrikoak, eta geometria, maiz, oinarrizko mailan aurkezten da, aljebra linealaren azpieremu gisa.

Erabilera eta aplikazioak
Aljebra lineala matematikaren ia arlo guztietan erabiltzen da; beraz, garrantzitsua da matematika erabiltzen duten ia eremu zientifiko guztietan. Aplikazio horiek hainbat kategoria zabaletan bana daitezke.

Ingurumen-espazioaren geometria
Ingurumen-espazioaren eredua geometrian oinarritzen da. Espazio horretaz arduratzen diren zientziek asko erabiltzen dute geometria. Mekanika eta robotikaren kasuan, gorputz zurrunen dinamika deskribatzeko; geodesian, Lurraren forma deskribatzeko; perspektiba, ikusmen artifiziala eta ordenagailu bidezko grafikoetan, eszena baten eta planoan duen irudikapenaren arteko erlazioa deskribatzeko, eta beste jakintza-arlo asko.

Aplikazio horietan guztietan, geometria sintetikoa deskribapen orokorretarako eta ikuspegi kualitatibo baterako erabili ohi da, baina, egoera esplizituak aztertzeko, koordenatuen bidez kalkulatu behar da. Horrek aljebra linealaren erabilera intentsiboa eskatzen du.

Analisi funtzionala
Analisi funtzionalak funtzio-espazioak aztertzen ditu. Horiek egitura gehigarria duten espazio bektorialak dira, hala nola Hilbert-en espazioak. Aljebra lineala, beraz, azterketa funtzionalaren eta haren aplikazioen funtsezko zatia da, bereziki mekanika kuantikoa barne hartzen dutenak (uhin-funtzioa).

Sistema konplexuen azterketa
Fenomeno fisiko gehienak ekuazio diferentzial partzialen bidez modelatzen dira. Horiek ebazteko, espazioa deskonposatzen da non ebazpenak elkarri eragiten dioten zelula txikietan bilatzen diren. Sistema linealetan, elkarrekintza horrek funtzio lineala inplikatzen du. Sistema ez-linealetan, elkarrekintza hori funtzio linealen bidez hurbildu ohi da.​ Bi kasuetan, matrize oso handiek hartzen dute parte. Ohiko adibide bat da eguraldiaren iragarpena, non Lurraren atmosfera osoa gelaxkatan banatzen den, adibidez, 100 km zabal eta 100 m altu dutenak.

Kalkulu zientifikoa
Ia kalkulu zientifiko guztiek aljebra lineala inplikatzen dute. Ondorioz, aljebra linealeko algoritmoak oso optimizatuak izan dira. BLAS (Aljebra linealeko oinarrizko azpiprogramak) eta LAPACK (Aljebra linealeko paketea) dira ezarpen ezagunenak. Eraginkortasuna hobetzeko, horietako batzuek automatikoki konfiguratzen dituzte algoritmoak exekuzio-denboran, ordenagailuaren berezitasunetara egokitzeko. (Catxearen tamaina, erabilgarri dauden nukleoak...).

Prozesadore batzuk (normalean Grafikoak prozesatzeko unitatea edo GPU, aljebra linealeko eragiketak optimizatzeko, matrize-egitura batekin diseinatuta daude.

 Erreferentziak 

 Bibliografía 
 Historia 
 Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.

 Sarrerako testuliburuak 







 Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5}}. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations




 The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., 

 Testuliburu aurreratuak 


























 Kanpo estekak 

 Álgebra lineal por Elmer G. Wiens 
 Álgebra Lineal: Conceptos Básicos
 Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto |url=https://web.archive.org/web/20100523155645/http://www.abaco.com.ve/lineal/InterfaseAlgebraContexto.htm |data=20100523155645 
  Álgebra Lineal por René A Hernández-Toledo, 2008
 MIT Linear Algebra Video Lectures, 
 International Linear Algebra Society |url=https://www.math.technion.ac.il/iic/ |data=20200705161054
 Linear Algebra on MathWorld
 Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
 Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
 Essence of linear algebra, a video presentation from 3Blue1Brown of the basics of linear algebra, with emphasis on the relationship between the geometric, the matrix and the abstract points of view
 Un Curso de Álgebra Lineal con notación asociativa y un módulo para Python por Marcos Bujosa (con vídeos y notebooks de jupyter)

Kategoria:Aljebra lineala
Kategoria:Zenbakizko analisia