Biderketa eskalar

Matematikan, biderketa eskalarra "Dot Product". www.mathsisfun.com eragiketa aljebraiko bat da, dimentsio bereko bi bektore hartzen dituena eta zenbaki bat ematen duena. Geometria euklidearrean, biderketa eskalarra oso erabilgarria da koordenatuekin lantzeko.

Aljebraikoki, bi bektoreen biderketa eskalarra batuketa bat da, eta honela kalkulatzen da: 

Geometrikoki bektoreen arteko angeluarekin () erlazionatzen da:

non  eta  bektoreen luzerak diren.

 Historia 
Biderketa eskalarra  biderketa bektorialarekin batera garatu zen. XVIII.mendean,  Joseph-Louis Lagrange matematikari italiarrak definitu zituen bi biderketa hauek tetraedroa ikertzeko.

Ondoren, 1843an, William Rowan-ek koartenioiak sortu zituenean, biderketa eskalarra ere azaldu zuen. 40 urte geroago, Josiah Williard Gibbs konturatu zen koaternioien teoria gogaikarria zela; izan ere, biderketa eskalarrak beste era batera egin behar ziren.

Momentu honetan, Gibbsen lanari esker biderketa eskalarra baliabide estandar gisa onartu zen ikerketa geometrikoetan.

 Interpretazio geometrikoa 
Bektoreak geometrikoki deskribatzen badira, moduluaren, norabidearen eta noranzkoaren arabera, posible da biderketa eskalarra geometrikoki definitzea.  edo  espazioetan, bektoreak gezi gisa adieraz daitezke. Gezien luzera bektorearen modulua da, eta bektorearen norabidean eta noranzkoan apuntatzen dute. Bektoreak puntu beretik abiatuta irudikatzen badira, haien geziek angelu bat osatuko dute. Biderketa eskalarra bektoreen artean puntu bat jarriz adierazten dugu.

Formula honen elementuak aztertzen baditugu, lehenengo biak  eta  dira. Hauek  eta -ren moduluak dira; beraz, biderketa eskalarrak bektoreak zein luzeak diren hartzen du kontuan. Azkeneko faktorea   da, non   eta  bektoreek osatzen duten angelua den. Horrek adierazten digu biderketa eskalarrak norabidearekin zerikusia duela. A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Translated by Richard Silverman. Dover. p. 14.

Zehazki,  denean bi bektoreek norabide bera dute. Orduan hartzen du biderketa eskalarrak baliorik handiena,  baita. Oro har, bi bektoreen norabidea zenbat eta antzekoagoa izan, orduan eta handiagoa izango da haien arteko biderketa eskalarra.

 denean, bi bektoreak elkarzutak dira. Kasu honetan biderketa eskalarra 0 izango da,  delako.

Biderketa eskalarra negatiboa izan daiteke bi bektoreek kontrako noranzkoan seinalatzen badute, hau da,  denean.

Biderketa eskalarra ikusteko beste modu bat da bektore batek bestearen gainean proiektatzen duen itzalean pentsatzea. Angelua txikia denean, itzala jatorritik urrun dago eta biderketa eskalarra handia da. Angelua tik gertu dagoenean, berriz, proiektatzen den itzala jatorriaren ondoan dago eta biderketa txikia da.

 Bektoreen luzera 
Aurreko formula erabiliz bektore baten luzera kalkula daiteke.



 Bi bektoreren arteko angelua 
Bektoreen arteko angelua ere kalkula daiteke.



 Propietateak 
Bira a,b eta c bektoreak espazio jakin batean eta izan bedi k eskalar bat, hau da, zenbaki bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira Nykamp, Duane. "The dot product". Math Insight. Retrieved September 6, 2020.:

1. Trukakortasuna:2. Banakortasuna gehieketarekiko:3. Elkarkortasuna k eskalar baten biderketarekiko:A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Engineering Mechanics: Statics (5th ed.). Prentice Hall. p. 60.

 Definizio orokorra 
Biderketa eskalarra espazio bektorialetan defini daiteke. Izan bedi   gaineko bektore-espazioa. Orduan,  gaineko biderketa eskalarra  aplikazio bat da non  forma bilineala, simetrikoa, ez-endakatua eta positiboki definitua den Txomin Ramirez, M. Asun García. Espazio Euklidearrak (2015). OCW Proiektua.. Hau da, -k hurrengo propietateak ditu:

  bilineala da:

 .
 .

  simetrikoa da:

 .

  ez-endakatua da:

 .

  positiboki definitua da:

 .

 Definizioa koordenatuekin 
Izan bitez  =  eta  =  -ko bi bektore. Orduan, haien arteko biderkadura eskalarra honela definitzen da: 

Adibidez, espazio tridimentsionalean,  eta  bektoreen biderketa eskalarra horrela kalkulatzen da:

Halaber,  bektorearen luzeraren karratua honela lortzen da:

 Beraz, -ren luzera  da.

 Matrizeekin 
 eta  bektoreak beren koordenatuen zutabe-matrizeekin identifikatzen badira, biderketa eskalarra matrizial gisa ikus daiteke: 

non  -ren iraulia den.

 Biderketa eskalarra espazio euklidearrean 

 Adierazpen analitikoa 
Izan bitez   y  bektoreak   espazio euklidear tridimentsionalean.

 eta -ren arteko biderketa eskalarra forma matrizialean definitzen da:Bi bektoreak  oinarri batean adierazten badira, orduan, bidekerta eskalarraren propietateak kontuan hartuta:

Adierazpen luze hau era matrizialean laburbil daiteke:non A-ri biderketaren Gram-en matrizea deritzon. Matrize honen sarrerak oinarriaren biderketa eskalarrak dira, hau da, . Oinarria ortonormala izanez gero, Gramen matrizea unitate matrize da.

Adierazpen hauek n dimentsioko espazioetara orokortu ahal dira. U eta V -en bi bektore baldin badira, orduan:Era berean,  oinarri batean bi bektoreen koordenatuekin lan daiteke, ondorioz, biderketa eskalarra honela idazten da:non Gramem A matrizea n x n ordena duen.

 Biderketa eskalarra beste espaziotan 
Hurrengo zerrendan espazio normatuetan erabiltzen diren biderketa eskalar ohikoenak zerrendatzen dira. Espazioaren arabera, biderketa eskalar desberdinak definitzen dira, espazioetako elementuak desberdinak baitira. Biderketa eskalar hauek kanonikotzat hartzen dira. Hala ere, espazio bakoitzean biderketa eskalar bat baino gehiago defini daiteke.

 -en arrunta da biderketa eskalar honekin lantzea:



 -en  biderketa eskalar ohikoena hau da:

 Berberian, Sterling K. (2014) [1992]. Linear Algebra. Dover. p. 287

non elementua -ren konjugatua den.

 Matrize-espazioetan ere defini daitezke, adibidez, m x n dimentsiodun matrize errealetan biderketa eskalar hau definitzen da:



non     matrizearen aztarna den eta  matrizearen iraulia.

 [a, b] tarteko funtzio jarraituen espazio bektorialean:



non  funtzioa -ren konjugatua den.

 n edo gradu gutxiagoko polinomioen espazio bektorialean:

Izan bedi , non elementuak ordenatuta dauden, hau da, :

 Biderketa hirukoitza 
Biderketa eskalarrak bektoreen arteko biderketa hirukoitza definitzeko balio du, biderketa bektorialarekin batera.

Eragiketa honi biderketa hirukoitza esaten zaio:

 Honen balioa determinante bat da J. Heading (1970). Mathematical Methods in Science and Engineering. American Elsevier Publishing Company, Inc. pp. 262–263. , hiru bektoreen koordenatuek osatzen duten matrizearen determinantea, alegia. Horrez gain, hiru bektoreek definitzen duten paralelepipedoaren bolumena da. Oso lagungarria da, batez ere Fisikan, kalkuluak errazteko.

 Kosinuaren Teorema 

Izan bitez bi bektore  eta , haien artean  angelua osatzen dutenak. Horrela  bektorearekin triangelu bat osatzen dute. Halaber, ,  eta  balioak , , eta  bektoreen luzerak baldin badira, hurrenez hurren. Orduan, azken bektore honen luzera kalkulatu 

eta kosinuaren teorema lortzen da.

 Ikus, gainera 

 Biderketa bektorial
 Espazio euklidear
Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

 Bibliografia 







 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 

Kategoria:Matematika
Kategoria:Operazio bitarrak
Kategoria:Eskalarrak