David Hilbert

David Hilbert"Hilbert". Random House Webster's Unabridged Dictionary. (Königsberg, Ekialdeko Prusia, 1862ko urtarrilaren 23a - Göttingen, Alemania, 1943ko otsailaren 14a), matematikari alemaniarra zen, XIX. mende amaierako eta XX. hasierako garrantzitsuenetakotzat jotzen dena. Hilbertek funtsezko ideia ugari aurkitu eta garatu zituen, besteak beste, inbarianteen teoria, aldakuntzen kalkulua, aljebra trukakorra, zenbaki aljebraikoen teoria, geometriaren oinarriak, eragileen teoria espektrala eta bere aplikazioa ekuazio integraletan, fisika matematikoan eta matematikaren oinarrietan (bereziki frogaren teoria). 

Hilbertek Georg Cantor-en multzoaren eta zenbaki transfinituen teoria onartu, eta defendatu zuen. 1900. urtean XX. mendeko matematika-ikerketari bide ematen zioten problemen bilduma aurkeztu zuen.

Hilbertek eta bere lana ikasi zutenek mekanika kuantikorako eta erlatibitate orokorrerako beharrezkoa zen egitura matematikoaren zati garrantzitsuak atera zituzten. Frogapen matematikaren eta logika matematikoaren sortzaileetako bat izan zen, baita matematika eta metamatematika ezberdintasunarena ere.

Bizitza
Hasierako urteak eta heziketa
Hilbert, bi seme-alabetatik lehena eta Otto (konderriko epailearen seme bakarra) eta Maria Therese Hilberten (Erdtmann jaioa) (merkatari baten alaba) semea; Hilbert jaio zen Prusiako probintzian (Prusiako Erresuma), edo Königsbergen (Hilberten beraren deklarazioaren arabera) edo Wehlakon (1946az geroztik Znamensk izenarekin ezagutua), Königsbergetik gertu, non bere aitak lan egiten zuen bere jaiotzaren garaian. Aitaren aldeko aitona David Hilbert zen, epailea eta Geheim-rat (kontseilari pribatua). Bere ama, Mariak, filosofia, astronomia eta zenbaki lehenengatik zuen interesa, eta bere aita, Ottok, prusiar bertuteak irakasten zizkion. Bere aita hiriko epaile bihurtu ondoren, familia Königsbergera joan zen bizitzera. Davidek sei urte zituela jaio zen bere arreba, Elise. Zortzi urte zituela hasi zen eskolan, ohi baino bi urte beranduago; also on p. 8, Reid notes that there is some ambiguity as to exactly where Hilbert was born. Hilbert himself stated that he was born in Königsberg..

1872ko amaieran, Hilbert Friedrichskolleg Gimnasiumen sartu zen (Collegium fridericianum, 140 urte lehenago Immanuel Kant eskolatu zen eskola bera), baina, zorigaiztoko garai baten ondoren, zientziara bideratutako Wilhelm Gimnasiumera aldatu zen (1879ko amaiera), eta graduatu egin zen (1880ko hasiera). Graduatu zenean, 1880ko udazkenean, Hilbert Königsbergeko Unibertsitatean matrikulatu zen, «Albertina»-n. 1882ko hasieran, Hermann Minkowski (Hilbert baino bi urte gazteagoa eta Königsbergen jaioa baina Berlinera hiru seihileko egitera joana) Königsbergera itzuli, eta unibertsitatean sartu zen. Hilbertek betiko adiskidetasuna izan zuen Minkowski lotsatiarekinWeyl, Hermann (2012), "David Hilbert and his Mathematical Work", in Peter Pesic (ed.), Levels of Infinity/Selected writings on Mathematics and Philosophy, Dover, p. 94, ISBN 978-0-486-48903-2.

Karrera

1884an, Adolf Hurwitz Göttingenetik Extraordinarius (hau da, irakasle elkartua) gisa iritsi zen. Hiruren arteko trukaketa zientifiko bizi eta emankorra hasi zen, eta, batez ere Minkowskik eta Hilbertek  elkarrenganako eragina izango zuten beren karrera zientifikoetan. Hilbertek 1885ean lortu zuen doktoretza, Ferdinand von Lindemannen agindupean idatzitako tesi batekin eta Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Forma binario berezien propietate inbaditzaileei buruz, bereziki funtzio harmoniko esferikoei buruz") izenburupean.

Hilbert Königsbergeko Unibertsitatean geratu zen, Privatdozent (goi mailako irakasle) gisa, 1886tik 1895era. 1895ean, Felix Kleinen bere alde esku hartzearen ondorioz, Matematika irakasle postua lortu zuen Göttingeneko Unibertsitatean. Klein eta Hilberten urteetan, Göttingen matematikako erakunde nagusia bihurtu zen, eta han geratu zen bizitza osoan.


Göttingeneko Unibertsitatea
Hilberten ikasleen artean, Hermann Weyl, Emanuel Lasker xake txapelduna, Ernst Zermelo eta Carl Gustav Hempel zeuden. John von Neumann bere laguntzailea zen. Göttingeneko Unibertsitatean, Hilbert XX. mendeko matematikari garrantzitsuenen zirkulu sozial batez inguratua zegoen, hala nola Emmy Noether eta Alonzo Church.

Göttingeneko ikasle asko, gerora, matematikari ospetsu bihurtu ziren, besteak beste (tesi datarekin): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) eta Wilhelm Ackermann (1925)"The Mathematics Genealogy Project – David Hilbert". Retrieved 7 July 2007.. 1902 eta 1939 artean, Hilbert Mathematische Annalen, garai hartako matematika-aldizkari nagusia, aldizkariko editorea izan zen. Ameriketako Estatu Batuetako Zientzien Akademia Nazionaleko Nazioarteko kide hautatu zuten 1907anDavid Hilbert". www.nasonline.org. Retrieved 30 June 2023..

Bizitza pertsonala

1892an, Hilbert Käthe Jerosch-ekin ezkondu zen (1864–1945), Königsbergeko merkatari baten alaba zena, «Hilbertenarekin bat zetorren buru-independentzia zuen neska gazte bat». Königsbergen zeudela, seme bakarra izan zuten, Franz Hilbert (1893 – 1969). Franzek gaixotasun mentala izan zuen bizitza osoan, eta klinika psikiatriko batean sartu ondoren, Hilbertek esan zuen: «Hemendik aurrera, semerik ez daukadala pentsatu behar dut» Franzenganako jarrerak atsekabe handia ekarri zion Kätheri.

Hilbertek kontsideratzen zuen bere lagunik onena eta egiazkoena Hermann Minkowski matematikaria zela.

Hilbert Eliza Ebanjeliko Prusiarrean bataiatu, eta kalbinista moduan hazi zutenDagoeneko, Hilbertarrak bataiatu eta ezkondu ziren eliza protestante kalbinistatik alde eginak ziren. – Reid 1996, 91. or. Eliza utzi eta agnostiko bihurtu zenDavid Hilbertek agnostikoa zirudien, eta ez zuen zerikusirik teologiarekin, ezta erlijioarekin ere. Constance Reidek gai horri buruzko istorio bat kontatzen du:1927an, Hanburgoko helbidean, Hilbertek esan zuen: «Matematika aurresuposiziorik gabeko zientzia da (die Mathematik ist eine voraussetzungslose Wissenschaft)" eta hori aurkitzeko ez dut Jainko on bat behar» ([z]u ihrer Begründung brauche ich weder den lieben Gott)" (1928, S. 85; van Heijenoort, 1967, p. 479). Hala ere, Mathematische Probleme-tik (1900) Naturerkennen und Logik-era (1930) giza izpirituan eta pentsaera hutsaren ahalmenean jarri zuen bere fede ia erlijiosoa bere haur maitearekin, matematikarekin. Erabat konbentziturik zegoen problema matematiko guztiak arrazoi hutsez konpon zitezkeela: bai matematikan, bai natur zientzietako edozein ataletan (matematikaren bidez), ez zegoen "ezjakintasunik". (Hilbert, 1900, S. 262; 1930, S. 963; Ewald, 1996, pp. 1102, 1165) Horregatik matematikarako barne-oinarri absolutua aurkitzea Hilberten bizitza-lan bihurtu zen. Ez zion inoiz uko egin jarrera horri, eta sinbolikoa da bere hitzak «wir müssen wissen, wir werden wissen»" (jakin behar dugu, jakingo dugu) 1930eko Königsbergeko bere helbidetik grabatuak izatea bere hilarrian. Hemen teologia baztertuaren mamu bat aurkitzen dugu (George Berkeleyren hitzak aldatzeko), giza ezagutza absolutizatzeko jainkotiar batekin tazituki identifikatu behar baita. —Shaposhnikov, Vladislav (2016).  "Theological Underpinnings of the Modern Philosophy of Mathematics. Part II: The Quest for Autonomous Foundations Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. 44 (1): 147–168. doi:10.1515/slgr-2016-0009. Era berean, egia matematikoa Jainkoaren existentziatik edo a priori beste suposizio batzuetatik independentea zela defendatzen zuen"Matematika aurresuposiziorik gabeko zientzia da. Hori baieztatzeko ez dut Jainkoaren beharrik, Kroneckerrek egiten duen moduan, edo Poincarék gure adimenaren ahalmen berezi baten suposizioak indukzio matematikoaren printzipioarekin bat egiten duen gisan, edo Brouwerren intuizio primarioak, edo, azkenik, Russellek eta Whiteheadek moduan, infinitutasunaren, murriztasunaren edo osotasunaren axiomak, egiazki suposizio errealak, kontingenteak direnak, kontsekuentziazko frogen bidez konpentsatu ezin direnak. " David Hilbert, Die Grundlagen der Mathematik,  Hilbert's program, 22C:096, University of IowaMichael R. Matthews (2009). Science, Worldviews and Education. Springer. p. 129. ISBN 978-90-481-2779-5 Jakina denez, Hilbertek Leopold Kroneckerren Jainkoa baztertu zuen matematikaren oinarrien arazoa konpontzeko.. Galileo Galilei kritikatua izan zenean, teoria heliozentrikoari buruz zituen usteen alde ez agertzeagatik, Hilbertek esan zuen: «Baina Galileo ez zen ergela. Ergel batek bakarrik sinets lezake egia zientifikoak martirioa behar duela; hori beharrezkoa izan daiteke erlijioan, baina emaitza zientifikoak bere garaian frogatzen dira»Constance Reid; Hermann Weyl (1970). Hilbert. Springer-Verlag. p. 92. ISBN 978-0-387-04999-1 Agian, gonbidatuek Galileoren epaiketa eztabaidatuko zuten, eta norbaitek Galileori leporatuko zion bere usteen alde ez agertzea. -Baina ez zen ergel bat-kontra egiten zion Hilbertek. "Ergel batek bakarrik sinets lezake egia zientifikoak martirioa behar duela; hori beharrezkoa izan daiteke erlijioan, baina emaitza zientifikoak garaiz frogatzen dira. ".

Azken urteak
Albert Einsteinek moduan, Hilbertek harreman estuak izan zituen Berlingo Taldearekin, zeinaren sortzaile nagusiek Hilberten aginduetara ikasi baitzuten Göttingenen (Kurt Grelling, Hans Reichenbach eta Walter Dubislav).

1925 inguruan, Hilbertek anemia kaltegarri bat garatu zuen, garaian ezin tratatuzkoa zen bitamina-urritasuna, zeinaren sintoma nagusia nekea baita; bere laguntzaileak, Eugene Wignerrek, «neke izugarriaren» mendean zegoela eta «nahiko zahar itxura» zuela deskribatu zuen, eta, azkenean, diagnostikatu eta tratatu ondoren ere, «1925etik aurrera, ia ez zela ez zientzialaria ezta Hilbert ere»1992 (as told to Andrew Szanton). The Recollections of Eugene P. Wigner. Plenum. ISBN 0-306-44326-0.

1932an, Hilbert Amerikako Elkarte Filosofikorako aukeratu zuten.

Hilbertek, 1933an, Göttingeneko Unibertsitateko fakultateko kide ospetsu asko ikusi zuen naziak garbitzen. Alemaniatik alde egin behar izan zuen batek, Paul Bernaysek, Hilbertekin kolaboratu zuen logika matematikoan, eta harekin batera Grundlagen der Mathematik (azkenean bi liburukitan agertu zen, 1934an eta 1939an) liburu garrantzitsua idatzi zuen. Hori Hilbert – Ackermannen 1928ko Principles of Mathematics Logic liburuaren jarraipena izan zen. Hermann Weylen ondorengoa Helmut Hasse izan zen.

Handik urtebetera, Hilbert oturuntza batera joan, eta Bernhard Rust Hezkuntza ministro berriaren ondoan eseri zen. Rustek galdetu zion ea Matematika Institutuak hainbeste sufritu zuen juduen irteeragatik. Hilbertek erantzun zion: Sufritu? Ez da gehiago existitzen, ezta?Eckart Menzler-Trott: Gentzens Problem. Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland., Birkhäuser, 2001, ISBN 3-764-36574-9, Birkhäuser; Auflage: 2001 p. 142Hajo G. Meyer: Tragisches Schicksal. Das deutsche Judentum und die Wirkung historischer Kräfte: Eine Übung in angewandter Geschichtsphilosophie, Frank & Timme, 2008, ISBN 3-865-96174-6, 202. or.

Heriotza
1943an, Hilbert hil zenerako, naziek ia erabat aldatua zuten unibertsitateko langileria, aurreko fakultateko asko juduak edo juduekin ezkonduak baitziren. Hilberten hiletara dozena bat lagun baino gutxiago joan ziren, horietako bi bakarrik akademiakideak, horien artean Arnold Sommerfeld, fisikari teorikoa eta Königsbergen jaioa. Haren heriotzaren berri hil eta hilabete batzuetara baino ez zen mundu zabalean ezagutu.

1930eko irailaren 8an Alemaniako Zientzialari eta Medikuen Elkartean egin zuen erretiro-hitzaldia amaitzean esan zituen lerro ospetsuek osatzen dute Göttingeneko bere hilarriaren epitafioa. Ignoramus et ignorabimus edo Ez dakigu eta ez dugu jakingo latinezko maximari erantzunez eman ziren hitzak. 
 Wir müssen wissen - Jakin behar dugu
 Wir werden wissen - Jakingo dugu

Hilbertek Alemaniako Zientzialari eta Medikuen Elkartearen 1930eko urteko batzarrean esaldi hauek esan zituen bezperan —Epistemologiari buruzko Konferentzian Gizartearen bilerekin batera egindako eztabaidan, mahai-inguru batean—
Kurt Gödelek bere osagabetasunaren teoremaren lehen adierazpena iragarri zuen behin-behinekoz"Zientzia Zehatzen Epistemologiari buruzko Konferentzia hiru egunez luzatu zen, irailaren 5etik 7ra" (Dawson 1997:68). "Hain zuzen ospatu zen Alemaniako Zientzialari eta Medikuen Elkartearen laurogeita hamaikagarren urteko eta Alemaniako Fisikari eta Matematikarien VI. batzarrarekin, elkarrekin egindakoa. Gödelek ekarritako hitzaldi larunbatean izan zen, irailaren 6an [1930], arratsaldeko 3etatik 3:20ak arte, eta, igandean, bilera amaitu zen lehen eguneko diskurtsoei buruzko mahai-inguru batekin. Azken ekitaldi horretan, abisatu gabe eta ia mindurik, Gödelek lasai-lasai esan zuen: «Norberak proposizioen adibideak ere eman ditzake (eta are Goldbach edo Fermat motakoen adibideak ere), zeinak egiazkoak izanik ere Matematika klasikoaren sistema formalean frogaezinak diren» [153]" (Dawson: 69)... Hilbert bera Königsbergen zegoen, baina ez Epistemologiako Biltzarrean. Mahai-inguruaren biharamunean, hasierako hitzaldia eman zuen, Alemaniako Zientzialari eta Medikuen Elkartearen aurrean, bere Naturerkennen und Logik hitzaldi ospetsua (Logika eta naturaren ezagutza), eta amaieran hau adierazi zuen: Izan ere, matematikariarentzat Ignorabimus ez da existitzen, eta, nire ustez, natur zientzietarako ere ez. Nire ustez, inork ez du arazo konponezinik aurkitu.arazo konponezinik ez dagoelako Ordea, ignorabimus zentzugabearen aurrean, gure kredoak dio: jakin behar dugu, jakingo dugu [159]'"(Dawson:71). Gödelen artikulua 1930eko azaroaren 17an jaso zen (cf Reid p. 197, van Heijenoort 1976:592) eta 1931ko martxoaren 25ean argitaratu zen (Dawson 1997:74). «Baina Gödelek aldez aurretik hitz egin zuen horretaz... 1930eko urrian, Hans Hahn-ek laburpen bat aurkeztu zuen Vienako Zientzien Akademian» (van Heijenoort:592); Laburpen hori eta artikulu osoa van Heijenoort: 583ff-en daude.. Gödelen ez-osotasunaren teoremek erakusten dute oinarrizko sistema axiomatikoak ere, hala nola Peano aritmetika, bere baitan kontraesankorrak direla edo sistema horren barruan frogatu edo gezurtatu ezin diren proposizio logikoak dituztela.

Matematikari eta fisikari egindako ekarpenak
Gordanen arazoa konpontzen
Hilbertek funtzio inbarianteei buruz egin zuen lehen lanak, 1888an, bere finitutasunaren teorema ospetsuaren frogapenera eraman zuen. Hogei urte lehenago, Paul Gordanek forma bitarretarako sorgailuen finitutasunaren teorema frogatu zuen ikuspegi konputazional konplexu bat erabiliz. Bere metodoak, kalkuluen zailtasun izugarriagatik, porrot egin zuen bi aldagai baino gehiagoko funtzioetara orokortzeko saiakeran. Zenbait zirkulutan Gordanen arazotzat ezagutzen zena konpontzeko, Hilbert konturatu zen guztiz bestelako bide bat hartu behar zela. Ondorioz, Hilberten oinarri-teorema frogatu zuen, erakutsiz multzo finitu baten existentzia edozein aldagai-kopurutan kuantikoaren aldaezinentzat, baina forma abstraktuan. Hau da, multzo hori existitzen zela frogatu arren, ez zen froga eraikitzailea izan —ez zuen objekturik erakusten—, baizik eta haren existentziaren froga, eta oinarritzen zen hirugarren baztertzearen printzipioaren amaigabeko hedadura erabiltzean.

Geometriaren axiomatizazioa
Hilbertek 1899an argitaratutako Grundlagen der Geometrie (Geometriaren oinarriak) testuak multzo formal bat proposatzen du, Hilbert-en axioma izenekoak, zeinek Euklidesen Elementuak ordezkatzen duten. Euklidesenetan identifikatutako ahuleziak saihesten dituzte, garai hartan, oraindik, testuliburu-moduan erabiltzen zirenak. Zaila da Hilbertek erabilitako axiomak zehaztea Grundlagen-en argitalpen-historia aipatu gabe, Hilbertek hainbat aldiz aldatu baitzituen. Jatorrizko monografiari berehala gehitu zitzaion frantsesezko itzulpena, eta bertan Hilbertek V.2 gehitu zuen, Osotasun Axioma. Ingelesezko itzulpena, Hilbertek baimenduta, E.J. Townsendek argitaratu zuen 1902an, egile eskubideekinG. B. Mathews(1909) The Foundations of Geometry from Nature 80:394,5 (#2066). Itzulpen horrek frantsesezko itzulpenean egindako aldaketak jaso zituen, eta, beraz, 2. argitalpenaren itzulpentzat hartzen da. Hilbertek testuan aldaketak egiten jarraitu zuen, eta hainbat edizio agertu ziren alemanez. 7. argitalpena izan zen Hilbert bizi zela agertutako azkena. 7.aren ondoren argitalpen berriak etorri ziren, baina, funtsean, testu nagusia ez zen berrikusiEra independentean eta aldi berean, Robert Lee Moore izeneko 19 urteko ikasle estatubatuar batek axioma multzo baliokide bat argitaratu zuen. Axioma batzuk bat datoz, eta Moore-ren sistemako axioma batzuk Hilbert-en teoremak dira, eta alderantziz..

23 problemak

Jarraian, Hilberten 23 problemei buruzko lerroburuak daude, 1902ko itzulpenean Bulletin of the American Mathematics Society liburuan agertzen ziren moduan.
 1. Cantorrek etengabeko zenbaki kardinalari buruz duen problema.
 2. Axioma aritmetikoen bateragarritasuna.
 3. Oinarri eta altitude bereko bi tetraedroren bolumenen berdintasuna.
 4. Lerro zuzenaren arazoa, bi punturen arteko distantziarik laburren gisa.
 5. Lie-ren eraldaketa talde jarraituaren kontzeptua taldea definitzen duten funtzioen deribagarritasuna suposatu gabe.
 6. Fisikaren axiomen tratamendu matematikoa.
 7. Zenbait zenbakiren irrazionaltasuna eta transzendentzia.
 8. Zenbaki lehenen problemak ("Riemann-en hipotesia")
 9. Edozein zenbaki-eremutan elkarrekikotasun-lege orokorrenaren froga.
 10. Ekuazio diofantoar baten ebatzigarritasunaren determinazioa.
 11. Edozein zenbaki-koefiziente aljebraikoko forma koadratikoak.
 12. Kroneckerren teorema gorputz abeldarrei buruz arrazionaltasun aljebraikoaren edozein eremutara hedatzea.
 13. Zazpigarren graduko ekuazio orokorra bi argumentu soilik dituzten funtzioen bidez ebazteko ezintasuna.
 14. Funtzio-sistema oso batzuen egoera finituaren froga.
 15. Schuberten kalkulu enumeratiboa edo geometria aljebraikoaren oinarri zorrotza.
 16. Kurba eta gainazal aljebraikoen topologiaren problema.
 17. Karratuen baturek definitutako formen adierazpena.
 18. Poliedro kongruenteen espazioaren eraikuntza.
 19. Bariazioen kalkuluko problema arrunten soluzioak beti analitikoak al dira?
 20. Dirichlet muga-baldintzen problema orokorra.
 21. Fuksiar klaseko ekuazio diferentzial linealen existentzia frogatzea, haien puntu singularrak eta talde monodromikoa ezagututa.
 22. Erlazio analitikoen uniformetasuna funtzio automorfoen bidez: beti posible da bi aldagairen arteko edozein erlazio aljebraiko uniformizatzea aldagai baten funtzio automorfoen bidez.
 23. Bariazioen kalkulurako metodoen hedapena.

Batzuk denbora gutxian konpondu ziren. XX. mendean zehar beste batzuk eztabaidatu izan dira, eta, orain, gutxi batzuk garrantzirik gabekoak edo itxi ezinezkoak direla ondorioztatu da. Batzuek, gaur egun ere, matematikarientzako erronka izaten jarraitzen dute.

Oharrak

Erreferentziak

Bibliografia
Ingelesera itzulitako literatura originala

 1918. "Axiomatic thought," 1114–1115.
 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115–1133.
 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134–1147.
 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157–1165.
 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148–1156.
 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129–138.
 1925. "On the infinite," 367–392.
 1927. "The foundations of mathematics," with comment by Weyl and Appendix by Bernays, 464–489.






Bigarren mailako literatura
 , available at Gallica. The "Address" of Gabriel Bertrand of 20 December 1943 at the French Academy: he gives biographical sketches of the lives of recently deceased members, including Pieter Zeeman, David Hilbert and Georges Giraud.
 Bottazzini Umberto, 2003. Il flauto di Hilbert. Storia della matematica. UTET, 
 Corry, L., Renn, J., and Stachel, J., 1997, "Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute," Science 278: nn-nn.

 Dawson, John W. Jr 1997. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. Wellesley MA: A. K. Peters. .

 Grattan-Guinness, Ivor, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
 Gray, Jeremy, 2000. The Hilbert Challenge. 

 Mehra, Jagdish, 1974. Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation. Reidel.
 Piergiorgio Odifreddi, 2003. Divertimento Geometrico. Le origini geometriche della logica da Euclide a Hilbert. Bollati Boringhieri, . A clear exposition of the "errors" of Euclid and of the solutions presented in the Grundlagen der Geometrie, with reference to non-Euclidean geometry.
  The definitive English-hizkuntza=biography of Hilbert.



Sieg, Wilfried, and Ravaglia, Mark, 2005, "Grundlagen der Mathematik" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 981-99. (in English)
 Thorne, Kip, 1995. Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy,  W. W. Norton & Company; Reprint edition. .

Kategoria:Alemaniako matematikariak
Kategoria:Prusiarrak
Kategoria:XIX. mendeko matematikariak
Kategoria:XX. mendeko matematikariak
Kategoria:Royal Societyko kideak
Kategoria:Agnostikoak
Kategoria:Zenbakien teorialariak
Kategoria:Formalismo deduktiboa