Arkimedesen printzipioa

Arkimedesen printzipioak honelaxe dio: fluido batean sartutako objektu orok, gorputz horrek desplazatutako fluidoaren pisu bereko indar bertikala jasango du gorantz. Gaur egun indar horri Arkimedesen bultzada deritzo. Indar horren jatorria fluidoaren barneko presio hidrostatikoaren aldaketan dago; izan ere, fluidoan zenbat eta sakonago egon hainbat eta handiagoa da presioa. Gauzak horrela, eta presioak norabide guztietan eragiten duenez, fluidoan murgildutako objektuaren behealdean presioak gorantz egindako indarra handiagoa da objektuaren goialdean presioak beherantz eginiko indarra baino. Ondorioz, fluidoaren presioak objektuan eginiko indar erresultantea goranzkoa da; hau da, murgildutako objektuak goranzko bultzada jasaten du: bultzada hidrostatikoa.

Arkimedesen bultzadaren balioak fluidoaren eta objekturen dentsitateen arteko balio erlatiboaren eta tokiko grabitatearen menpekotasuna du, eta loturik dago objektuen flotagarritasunarekin. Nolanahi ere, fluidoaren eta objektuaren dentsitateen arteko balio erlatiboak erabakitzen du objektuen flotagarritasuna: objektuaren dentsitatea fluidoarena baino txikiagoa denean flotatzen du objektuak.

Printzipio hori Arkimedes jakintsu greziarrak (K.a. 287-212) formulatu zuen lehen aldiz, eta horregatik darama beraren izena. Arkimedes hidrostatikaren sortzailetzat jotzen da.

 Arkimedesen printzipioaren aurkikuntza: historia eta legenda 
Zientzia gertukoa zuen giro batean hezi zen Arkimedes, haren aita astronomoa baitzen. Matematika, fisika, geometria, mekanika, optika eta astronomiako ikasketak egin zituen, eta arlo horietan guztietan egin zituen ikerkuntzak eta lortu zituen emaitza garrantzitsuak. Baina ziurrenik historiarako geratu den aurkikuntzarik handiena gorputzen flotazioarekin loturiko da: Arkimedesen printzipioa.

 Historia 

 Legenda 
Arkimedesen lorpenaren inguruan, ordea, bada kontakizun interesgarri bat. Hain zuzen, Vitruvio-k anekdota bat kontatu zuen printzipioaren aurkikuntzari buruz, guregana legenda modura iritsi dena.

Hona hemen Vitruvioren kontakizuna. Sirakusako Hieron II. erregeak, urrezko koroa bat fabrikatzeko eskatu omen zion bitxigile bati, horretarako erabili beharreko urrea emanez. Nolanahi ere, artisauak eginiko lanaz mesfidati geratu zenez, Arkimedesi eskatu zion egiaztatzea ea bitxigileak koroaren urrearen purutasuna jaitsi ote zuen; alegia, egiazta zezala ea bitxigileak urrearen parte bat beretzat hartu ote zuen, eta haren ordez pisu bereko zilarra gehitu eta pisu egokiko urre-zilarrezko aleaziozko koroa prestatu ote zion.

Erregearen eskariari erantzun nahian, termako uretan lasai murgildurik problema nola ebatzi hausnartzen ari zela, uretan sartzean bainuontziko uraren maila igo egiten zela ohartu omen zen, eta bat-batean ondorioztatu zuen, ezen, efektu hori erabiliz, koroaren bolumena zehaztu ahal izango zuela; izan ere, koroak bere bolumen bereko ur-kantitatea desplazatzen zuela konturatu zen.

Ondorioz, desplazatutako uraren pisua kontuan hartuz, koroaren dentsitatea urre puruaren dentsitatearekin konparatzea lortu zuen. Izan ere, arrazoiketaren azken pausoa emateko, nahikoa zuen koroaren pisu bereko urre purua uretan sartzea, eta urreak desplazaturiko ura pisatuz, koroak desplazaturiko berbera ote zen jakingo zuen; alegia, bitxigileak iruzur egin zion ala ez jakingo zuen, zeren, bitxigileak beste metal merkeago batzuk aleazioan erabili izan bazituen, koroak ur gutxiago desplazatuko baitzuen. Legendarekin jarraituz, eginiko aurkikuntzaz konturatu zenean hain harridura eta poz handia izanik, biluzik atera zen uretatik eta korrika joan zen kalera, Eureka!  hitza behin eta berriro oihukatuz (grezierazko hitz horrek Aurkitu dut! esan nahi zuen).

Istorio legendarioak horrelaxe kontatzen du pasadizoa, baina zalantzan jarri behar da horrela gertatu ote zen. Izan ere, Hieron eta Arkimedes garaikideak ziren arren (K.a. III. mendekoak), Vitruvio K.a. I. mendean bizi izan zen, eta badirudi ahoz ahoko mito baten berri eman zigula. Beraz, istorioa oso polita bada ere, ezin ziurtatu benetan gertatu zenik. Nolanahi dela, kontuan izanik zilarraren dentsitatearen balioa  dela eta urrearena , agerikoa da aleazioaren dentsitatea urre puruarena baino txikiagoa izango zela, eta balantza baten bi aldeetan pisu bereko koroa faltsutua eta urre purua jarriz eta aldi berean biak urpean sartuz, begi bistakoa izango zen iruzurra.

 Arkimedesen printzipioaren formulazioa 
Honelaxe adieraz daiteke Arkimedesen printzipioa: «Pausagunean dagoen fluido batean murgildutako gorputz orok behetik goranzko indar bertikal bat jasaten du, zeinaren balioa murgiltzean desplazaturiko fluidoaren pisuaren balio berekoa den». Printzipio hori berdin betetzen da gorputza fluidoan erabat murgilduta dagoenean zein parte bat fluidoaren gainazaletik gorago dagoenean ere. Goranzko indar horri Arkimedesen bultzada deritzo, eta desplazaturiko fluidoaren masa-zentroan dago aplikaturik, zeinari bultzada-zentroa deritzon. Dena den, printzipioa bere horretan aplikatu ahal izateko, fluidoak eta gorputzak pausagunean egon behar dute.

Jarraian Arkimedesen bultzadaren esanahia aztertuko dugu, fluidoaren eta murgildutako gorputzaren ezaugarriak kontuan izanik, horien balio erlatiboen arabera sortzen diren egoera desberdinak aipatuz.

 Erabat murgildutako gorputzen kasua 
Guztiz murgildutako gorputz solido iragazgaitzen kasuan (ura xurgatzen ez dutenak), gorputzak desplazatutako fluidoaren bolumena eta gorputzaren beraren bolumena berdinak dira. Gauzak horrela, horrelako objektu bat fluidoan erabat murgilduta dagoenean, solidoan eragiten ari diren bi indar hauek hartu behar ditugu kontuan: batetik, Lurraren erakarpenezko pisua, zeina gorputzaren grabitate-zentroan (irudietan  sinboloaz adierazita dago) aplikaturik dagoen, eta beheranzko noranzkoa daukan; bestetik, Arkimedesen bultzada, desplazatutako fluidoari dagokion bultzada-zentroan ( sinboloa) aplikatua, eta goranzkoa.

 Gorputz homogeneoak 
Solido homogeneoak deitzen dira puntu guztietan material eta dentsitate berbera dutenak. Ondorengo kalkuluetan, gorputz homogeneoaren dentsitateak  balio duela kontsideratuko dugu, eta fluidoarenak, .

Fluidoaren barnean guztiz murgildutako  bolumeneko gorputzaren kasuan, honelaxe kalkula daitezke  Arkimedesen bultzada eta objektuaren  pisua, noranzko positiboa gorantz hartuta:

Beraz, fluido barnean murgilduriko gorputzak jasaten duen indar erresultantearen modulua honako hau izango da:

Objektuaren eta fluidoaren dentsitateek zer balio duten arabera, hiru kasu bereiz daitezke gorputz homogeneoetan:

  Fluidoaren dentsitatea gorputzarena baino txikiagoa izanik gorputza erabat murgilduta badago, pisua Arkimedesen bultzada baino handiagoa izango da, eta indar erresultantea negatiboa izango da, beheranzkoa. Gorputzak beherantz egingo du; hots, hondoratu egingo da.

  Fluidoaren eta gorputzaren dentsitateak berdinak badira, bultzada eta pisua balio berekoak izango dira, eta indar erresultantea nulua izango da. Hasierako aldunean gorputza geldi bazegoen, oreka indiferentean geratuko da likidoaren barruan, ez gora ez behera; utzitako tokian orekan egongo da.

  Fluidoaren dentsitatea gorputzarena baino handiagoa denean, indar erresultantea positiboa izango da, goranzkoa, eta ondorioz, gorputza gorantz higituko da. Azkenean, goraino igo ondoren, gainazal askean flotatzen geratuko da, objektuaren parte bat fluidotik kanpora egonik.thumb|330x330px|1.Solido homogeneoa.  puntu berean. 2. Solido ez-homogeneoa,  : a) hasierako posizio ez-egonkorrean, b) bukaerako oreka-posizioan. 

Nolanahi ere, gorputza homogeneoa bada, alegia, puntu guztietan material eta dentsitate berbera badauka, kasu guztietan grabitate-zentroa, , eta bultzada-zentroa, , bat datoz, toki berean daude.

 Gorputz ez-homogeneoak 
Gorputz ez-homogenoa esatean, puntu guztietan material eta dentsitate berbera ez daukala adierazi nahi dugu.

Guztiz murgildutako gorputza homogeneoa ez bada edo, gauza bera esanda, ez-homogeneoa bada, grabitate-zentroa eta bultzada-zentroa normalean ez dira bat etorriko, hau da, ez dira puntu berean egongo. Ondorioz, Arkimedesen bultzadak eta pisuak osatutako indar-pareak eraginik, objektua biratzen has daiteke; hain zuzen, biratzen ez hasteko baldintza bi puntu horiek bertikal berean egotea da, indar-momentua nulua izanik. Bertikal bertikal berean ez badaude, orduan gorputzak bira egingo du, harik eta bultzada eta pisua lerro bertikal berean lerrokatzen diren arte. Orduan, biraketari dagokionez, bi motatako orekak gerta daitezke:

 Bultzada-zentroa grabitate-zentroaren gainean badago, oreka egonkorra izango dugu, zeren, gorputza oreka-posiziotik ateratzean, berriro aurreko bertikalera itzuliko baita bultzadaren eta pisuaren arteko indar-parearen eraginez.
 Bultzada-zentroa grabitate-zentroaren azpian badago, ordea, oreka ez-egonkorra izango da. Objektua oreka-posiziotik ateratzean, indar-parearen eraginez urrundu egingo da oreka-posiziotik. Dena den, bira erdia eman ondoren, azkenean oreka egonkorra lortuko da grabitate-zentroa behealdean dagoenean.

hurrengo atalean flotazioa aztertzean ikusiko dugunez, bultzada-zentroaren eta grabitate-zentroaren altuera erlatiboak garrantzi handia du itsasontzien flotazioaren kasuan.

 Flotazioa, partzialki murgilduta dauden gorputzen kasua 
Aurreko atalean aipatutako hirugarren kasuan —alegia,  denean—, erabat murgildutako objektuaren gaineko indar erresultantea goranzkoa da; beraz, indar horren eraginez objektua fluidoaren goialderantz igoko da, azkenean beraren parte bat fluidoaren gainazaletik kanpoaldean geratuz. Noiz arte igoko da? Erantzuna erraza da: Arkimedesen bultzada eta objektuaren pisua berdindu arte, zeren orduan indar erresultantea nulua izango baita, eta bi indar horien arteko oreka lortuko baita; hau da, objektuak "flotatu" egindo du. Ordutik aurrera, objektua partzialki murgilduta geratuko da fluidoan, orekan, geldi, flotatzen.
Dena den, zehaztapen bat egin behar da: partzialki murgilduta flotatzen ari diren gorputzetan Arkimedesen printzipioa aplikatzeko, gainazal askearen azpian dagoen solidoaren bolumena da kontuan hartu beharreko fluido-bolumentzat. Alboko irudian ikus dezakegu orekan flotatzen dagoen objektuan eragiten duten indarren eskema. Bertan,  dentsitateko  bolumeneko solidoa dugula, honelaxe adieraz dezakegu beraren pisuaren balioa:

Flotatzen dagoela, fluidoaren gainazaletik behera murgildutako partearen bolumena —hots, solidoak desplazaturiko fluidoaren bolumena—  izanik, Arkimedesen bultzadak balio hau izango du:

Objektua orekan flotatzen dagoenean, bi indar horiek berdinak dira moduluz: . Berdintza horrek bidea ematen digu fluidoaren barnean dagoen solidoaren partearen bolumena kalkulatzeko:

Horrela,  denez, murgildutako partearen bolumena solidoaren baino txikiagoa da: . Horrexegatik geratzen da solidoaren parte bat fluidoaren gainazala baino gorago; alegia, flotatzen.

 Icebergen flotazioa 

Ziurrenik argazkietatik ezagunak dira Lurreko poloetatik hurbil dauden itsasoetan batetik bestera flotatzen ibiltzen diren iceberg izenekoak. Urrunetik ikusita, itsasoko mendi zurien itxura dute; hortik dator euskaraz izozmendi izenez ere ezagunak izatea. Icebergak ur gezaren izotzezko masa handiak dira, itsasoko uretan flotatzen daudenak. Glaziar baten ertza hautsi eta uretara erortzen denean sortzen dira izozmendiak.

Ur puruzko izotzaren dentsitatea  ingurukoa da -tan. Demagun horrelako masa handi bat itsasoko ur gazian flotatzen dagoela, eta itsasoko uraren dentsitatea  dela —zer esanik ez itsasoetako uren dentsitatea aldakorra da totikik tokira—; bestalde, ur puruaren dentsitatea  da -ko tenperaturan. Kasu horretan, aurreko formulan balio horiek ordezkatuz, urazaletik azpira murgildutako icebergaren partearen bolumena iceberg osoarena baino txikiagoa dela ikus daiteke, kalkulua eginez:

Horrek esan nahi du icebergaren  urpean dagoela. Horrexek bihurtzen ditu icebergak arriskugarri itsasontzien nabigaziorako, kanpotik ikusten den parte txikiak ez baitu erakusten azpian dagoen erraldoia.

 Edalontzian urtzen ari den izotz-koskoa 
Etxean egin daitekeen esperimentu sinple batez, erraz egiazta daiteke ezen, edaria freskatzeko gehituriko izotz koskoa urtzean, edariaren maila berbera dela denbora guztian. Izan ere, izotz-koskoari dagokion  pisua eta koskoaren parte murgilduaren  bolumenari dagokion ur desplazatuaren pisua berdinak dira, zeren Arkimedesen bultzada eta koskoaren pisua berdinak baitira. Beraz, izotz-koskoa ur likido bihurtzean hasieran desplazaturiko ur likidoaren tokia betetzen du, zehatz bete ere.

 Igerilariak eta flotazioa 
Giza gorputzaren dentsitatea uraren berdintsua da, gutxi gorabehera, eta horregatik uretan murgiltzean flotazioaren inguruko egoeran egongo da, ez gora ez behera. Egoera horretan, biriketan sartzen den airea gehituz edo kenduz, eta beso eta zangoen zenbait mugimendu eginez, gizakiak gai dira flotatzeko edo urpera mugiltzeko. Beste hitz batzuekin esanez, igerian egin dezakegu.

Dena den, itsasoko ura gazia denez (hainbeste gatz baitauka uretan disolbaturik), ur puruak baino dentsitate handiagoa dauka, eta horrek erraztu egiten du gizakien flotazioa itsasoko uretan.  Itsako uren gazitasuna aldatu egiten da kokapen geografikoaren arabera, baina oro har,  gatz egoten da uretan. Zenbat eta gatz gehiago eduki, itsasoko uraren dentsitatea hainbat eta handiagoa da, eta flotazioa, errazagoa. Muturreko kasua Itsaso Hilean dugu, zeinean  baitago. Hori dela eta, gizakiak uretan sartzean, gorputzaren parte handi bat geratzen da uretatik kanpora, eta posible da egunkaria «uretan eserita» irakurtzea.

 Itsasontzien flotazioa eta oreka 
Uraren gainean flotatzen ari diren itsasontzien kasuan, bultzada-indarra eta itsasontziaren pisua balio berekoak dira orekan, esa nahi baita, itsasontzia hondoratzen ez den bitartean. Hala ere, nabigazio ziurra izateko, flotatzea ez da nahikoa; flotatzeaz gain, funtsezkoa da itsasontzia ez iraultzea. Izan ere, itsasontzia iraul ez dadin, komeni da —are gehiago, beharrezkoa da— grabitate-zentroa bultzada-zentroa baino beherago egotea, horrela, olatuen eraginez inklinatzean, itsasontzia zutik jartzera eramango duen bultzadaren eta pisuaren arteko indar-pare egokia sor dadin. Zenbat eta grabitate-zentroa beherako egon, hainbat eta hobeto. Horretarako, haizearen eraginez iraultzeko arriskua duten belaontzien kasuan, material astunez lastatzen da azpiko gila luzea, grabitate-zentroa beheratzeko eta bultzada-zentroa baino baxuago kokatzeko (ikus 3a. irudia).
erdian|thumb|600x600px|3. irudia. Itsasontzien grabitate-zentroaren eta bultzada-zentroaren posizio erlatiboa eta metazentroaren posizioa, iraulketa-arriskuari aurre egiteko.

Dena den, oreka-posiziora itzularazteko indar-parea sortzeko, ez da nahitaezkoa horrela izatea, itsasontziaren kroskoak forma eta diseinu egokia izanez gero.  Alboko 3b eta 3c irudietako adibidean ikus daitekeenez, itsasontziaren grabitate-zentroa bultzada-zentroa baino gorago dago. Itsasontzia okertzean, grabitate-zentroa toki berean geratzen da, baina, itsasontziaren formari esker, bultzada-zentroa beste puntu batera pasatzen da, kasu bietan urpeko bolumena berbera izan arren. Horrela, 3c irudian ikus daitekeenez, bultzada-zentroaren bertikalak grabitate-zentroa baino gorago ebakitzen du itsasontziaren simetria-ardatza,  puntuan hain zuzen, eta itsasontzia zutitzera eramango duen indar-momentua sortzen da bi indarren artean, itsasontzia zutitzera eramanez eta egonkortasuna ziurtatuz.  puntu horri metazentroa deritzo, eta kontuan hartzen da itsasontziaren kroskoa diseinatzean, kulunkatzen denean metazentroa beti grabitate-zentroa baino gorago egon dadin.
 Itsaspeko ontziak 
ezkerrera|thumb|Alemaniako itsaspeko handi bat portuan.|alt=|250x250px
Izenak berak adierazten duenez, itsaspetik ibiltzeko gai diren itsasontziak dira. Normalean, hitz osoa laburtuz, itsaspeko edo urpeko izenez ezagutzen dira. Gainerako itsasontziak bezala, Arkimedesen printzipioan oinarritzen dira, urazalean flotatzeko gaitasuna izanik; zer esanik ez, orekan bultzada-indarra eta urpekoaren pisua berdindurik daude. Baina, horrez gain, itsaspekoek gaitasuna dute modu kontrolatuan urpean osorik murgiltzeko eta urpetik nabigatzeko ere. thumb|200x200px|Urperatzen ari den itsaspekoa. Lasta-gordetegiak urez betetzen ari dira, eta airez husten.|alt=thumb|Hidrogenoz beteriko lehen globo aerostatikoa airean (1783).|alt=|ezkerrera|366x366pxHondorantz murgiltzeko, itsaspekoek pisua irabazi behar dute, bultzada-indarra gainditzeko. Horretarako, lasta-gordetegiak deritzen ur-biltegi bereziak dituzte, kontrolpean ireki eta urez betetzeko modukoak. Ura gordetegira sartu ahala, itsaspekoaren pisua handiagotu egiten da eta poliki-poliki urpekoa hondoratu egin daiteke, oreka egokia lortuz. Gero, urpean dagoela gorantz igo nahi izanez gero, alderantzizko prozesua egiten da, ura biltegietatik kanporatuz, eta horrela pisua txikiagotuz; bultzada-indarra pisua baino handiagoa izatean, urpekoa poliki doa urazalerantz.
 Arkimedesen printzipioa atmosferako airean 
Arkimedesen bultzada edozein fluidotan dagoen objektuak jasaten du, baita atmosferako airean ere. Kasu horretan airearen dentsitatea txikia izanik — lurrazalean—, airean “flotatzeko” objektuaren batez besteko dentsitateak hori baino txikiagoa izan behar du. Horixe da, hain zuzen  baloi aerostatiko edo globo aerostatikoen kasua. Horretarako, baloi oso handia eraikitzen da eta airea baino arinagoa den gas batez betetzen da; adibide aire beroaz edo helioaz. Jadanik XVII. mendean hasi ziren ideia hori proposatzen, baina praktikan XVIII. mendearaen bukaera aldera gauzatu zuten ideia hori Montgolfier anaiek, 1783an.

 Bestelako aplikazioak 
Bultzadari esker, likidoen dentsitatea neur daiteke dentsimetro edo hidrometro izeneko tresnaren bidez, hain zuzen ere. Tresna hori Alexandriako Hipatiak (370-415) asmatu zuela uste da.

Gaur egungo dentsimetro arruntak mutur batean itxita daukan beirazko hodi luze batekin eraikitzen dira. Hodiak dentsitate handiko gai bat dauka barnean —merkurioa edo beruna, normalean— beheko partean, lasta modura jokatzen duena likidoan barneratzean hodia bertikal gera dadin —gorago edo beherago likidoaren dentsitatearen arabera—, eta beirazko hodian eskala graduatua markatzen da, bertan likidoaren gainazal askearen mailak adierazitako dentsitatea irakurtzeko. Agerikoa denez, dentsitate handiko likido batean sartzean, dentsimetroa gutxi ondoratuko da likidoan; alderantziz, likidoa dentsitate txikikoa bada, dentsimetroa sakonago sartuko da.

Dentsitatearekin erlazionaturik dauden bestelako magnitude fisikoak ere neur daitezke horrelako tresnekin. Esate baterako, antzina, haltz-zurezko printza bat erabiltzen zuten sagardotegietan dentsimetro modura, sagardoaren dentsitatea neurtzeko.

 Herri kulturan 
Arkimedesen printzipioa Anari abeslariaren Arquimedes abestian aipatzen da:

 Erreferentziak 

 Bibliografia 

 Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. {{ISBN|84-291-4382-3}}.
 UEUko Fisika Saila (askoren artean), Fisikaren historia laburra, UEU, Bilbo (1990). .
 Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) Fisika orokorra (2. argitalpena) UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.

 Ikus gainera 

 Hidrostatika
 Presioa
 Presio atmosferikoa
 Fluidoen mekanika

 Kanpo estekak 

Kategoria:Fisika
Kategoria:Fluidoen mekanika
Kategoria:Arkimedes