Integral

Artikulu hau kontzeptu matematikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus Integral (argipena) eta Integrazio (argipena).
eskuinera|thumb|260px|Integral mugatuak funtzio baten grafikoak mugatutako azalera adierazten du, zeinu positiboarekin funtzioak balio positiboak dituen tarteetan, eta zeinu negatiboarekin funtzioak balio negatiboak dituen tarteetan.
Integrala, matematikan, infinitu batugai azkengabe txikiren batuketa da. Kalkulu integrala kalkulu infinitesimalaren parte bat da; batura baten elementu kopurua handitzean eta baturaren elementuen neurria txikitzean, baturak duen limitea aztertzen du. Kalkulu integralaren oinarri intuitiboa integral mugatuaren definizioa da;  funtzio baten adierazpen grafikoa den kurbak,  aldagai askearen bi baliok ( eta  adibidez) eta  ardatzak mugatzen duten azaleraren adierazpena alegia.

Kalkulu integrala oso erabilia da ingenieritzan eta matematika orokorrean; batez ere azalerak eta biraketa gorputzen bolumenak kalkulatzeko. Forma diferentzialen integralak funtsezkoak dira geometria diferentzial modernoan. Integral kontzeptuaren zabaltze hori fisikaren beharrek eragin zuten lehenik, eta oso garrantzitsuak dira fisika-lege askoren formulazioan; adibidez, elektromagnetismoaren legeetan. Integralaren kontzeptu berrien oinarria Lebesgueren integrala deritzon teoria matematiko abstraktua da, Henri Lebesguek garatu zuena.

Arkimedes, René Descartes, Isaac Newton eta Isaac Barrow dira integralak erabili zituzten lehenengo zientzialariak. Barrowren lanen eta Newtonen ekarpenen emaitza da kalkulu integralaren oinarrizko teorema, non alderantzizko prozesuak bezala agertzen baitira deribazioa eta integrazioa.

 Teoria 
Emanik  funtzio bat, non  aldagai erreala den, eta  zuzen errealaren tarte bat, orduan integrala


honako hau da: f-ren grafikoak, x ardatzak, eta x = a eta x = b zuzen bertikalek mugatutako xy planoko eskualdearen azalera, non negatiboak baitira x ardatzaren azpiko azalerak. Integral horri integral mugatua edo Riemannen integrala esaten zaio.

"Integral" hitza jatorrizko nozioarekin ere lotu daiteke: deribatua f emandako funtzioa duen F funtzio bat aipatzeko, alegia. Kasu horretan, integral mugagabea deritzo.

Beraz, integral mugatua eta integral mugagabea bereizi behar ditugu.

 Integral mugatuak: tarte zehatz eta ezagun batean egindako integralak dira.
 Integral mugagabeak: kasu orokor baterako eginiko integralak dira.

 Integral berehalakoak 

Izan bedi u x-ren funtzioa eta deribagarria.

Izan bedi u' u-ren deribatua.

Orduan:











Hitzarmenez, integral mugatuak ez direnetan (integral mugagabeetan), beharrezkoa da integralen emaitzan K (integrazio-konstantea) edo beste hizki bat jartzea, hala emaitzak guztiak zehazturik geldi daitezen.

 Helburu nagusiak 

Kalkulu integralaren helburu nagusiak hauek dira:
 Eremu leun baten azalera
 Integral mugagabea
 Integral mugatua
 Integral inpropioak
 Integral anizkoitzak
 Lerro-integralak (edo integral lerromakurrak)
 Gainazal-integralak
 Forma diferentzialen integralak
 Integral trigonometrikoak, logaritmikoak eta esponentzialak
 Kalkuluaren oinarrizko teorema
 Biraketa-gorputz baten bolumena

 Historia 

 Integralen lehenengo aztarnak 

Integrazioaren hastapenak aurkitzeko antzinako Egiptoraino jo behar dugu, Moskuko matematika-papiroak (K.a. 1800  inguruan) erakusten du Antzinako Egipton jadanik ezagutzen zutel formula bat piramide-enborraren bolumena kalkulatzeko. Integralak determinatzeko balio duen lehenbiziko teknika sistematiko dokumentatua Eudoxoren exhauzio-metodoa da (K.a. 370 inguruan). Metodo horren helburua zen azalerak eta bolumenak kalkulatzea, azalera edo bolumena ezaguna duten formak kopuru infinitutan zatitzearen bidez. Metodo hori Arkimedesek garatu zuen geroago eta parabolen azalerak eta zirkuluaren azaleraren hurbilketa bat kalkulatzeko erabili zuen. Bere aldetik, Txinan, III. mendearen inguruan, Liu Huik antzeko metodoak garatu zituen zirkuluaren azalera kalkulatzeko. Geroago, Zu Chongzhik esferaren bolumena kalkulatzeko erabili zuen metodo hori. XII. mendean Bhaskara II.a indiar matematikariak idatzitako Siddhanta Shiromani astronomia liburuan ere kalkulu integralari dagozkion zenbait ideia aurkitzen dira.

XVI. mendera arte ez zen aurrerapen nabarmenik izan exhauzio-metodoaren gainean. Sasoi hartan, Cavalieri —bere zatiezinen metodoarekin— eta Fermat kalkulu modernoaren lehen oinarriak garatzen hasi ziren; bestetik, XVII. mendearen hasieran, Barrowk eta Torricellik aurrerapauso gehiago egin zituzten. Haien lanetan, integrazioaren eta deribazioaren arteko loturaren lehenengo zantzuak ageri dira.

XVII. mendearen amaieran, Newtonek eta Leibnizek, bakoitzak bere aldetik, kalkuluaren oinarrizko teorema formulatzen dute. Teorema horretan, integrazioa deribazioarekin lotzen dute; eta, hala, funtzio baten integral mugagabea oso erraz kalkula dezakegu haren jatorrizkoren bat ezagutuz gero. Harrez gero, integralak eta deribatuak kalkuluaren oinarrizko erreminta izatera pasa ziren, eta erabilera asko izan dute geroztik bai zientzian, bai injinerutzan.

Bernhard Riemannek integralaren definizio zehatz-zehatza eman zuen. Zati bertikal txikietan zatituz, eskualde lerromakur baten azalera hurbiltzen duen limite batean oinarritzen da. XIX. mendearen hasieran, integralaren nozio sofistikatuagoak agertzen hasi ziren, eta ugaritu egin dira funtzioen motak eta integrazioa aplikatzen zaien eremuak. Integral lerromakurra bizpahiru aldagaiko funtzioetarako definitzen da, eta planoaren edo espazioaren bi puntu lotzen dituen kurba moduko batek ordezkatzen du [a,b] integrazio tartea. Gainazal-integral batean, kurba horren ordez, espazio tridimentsionaleko gainazal zati bat izaten dugu.

 Newton eta Leibniz 

Integrazioan, XVII. mendean etorri ziren aurrerapen handienak, Newtonek eta Leibnizek, bakoitzak bere aldetik lan eginez, eta sarritan elkarren aurka ibili arren, kalkuluaren oinarrizko teorema formulatu zutenean. Teorema horrek integrazioaren eta deribazioaren arteko lotura frogatzen du. Lotura hori izateak erraztu egiten du integralak kalkulatzeko prozesua, deribatuak errazagoak baitira kalkulatzen. Bereziki, problema mota gehiago ebazteko aukera ematen digu kalkuluaren oinarrizko teoremak. Horrez gain, aipagarria da Newtonek eta Leibnizek matematikaren esparruan eraikitako marko orokorra. Kalkulu infinitesimal deiturikoari esker, zehatz-mehaz azter ditzakegu eremu jarraituko funtzioak. Gerora, baliabide horrek kalkulu modernora eraman gaitu, eta hala, integralen gaurko notazioak Leibnizek ezarritakoan du jatorria, nahiz eta integrazioaren propietateak eta arauak Newtonek lehenago aurkitu.

 Integralak gauzatzen 

Newtonek eta Leibnizek integrazioa ikuspegi sistematikotik aztertzen badute ere, haien lanek badituzte nolabaiteko gabeziak, zehaztasun mailari dagokionez. Gogoangarria da nola eraso zien Berkeley apezpikuak infinitesimaldarrei "desegiten diren kopuruen mamuak" deituz. Kalkuluaren oinarriak sendotu egin ziren limiteak garatu zirenean; eta, XIX. mendearen lehenengo erdian, Cauchyk funts egokiak ezarri zizkion. Integrazioa, erabateko zehaztasunez, Riemannek gauzatu zuen lehenengo aldiz, limiteak erabiliz. Nahiz eta zatikatutako eta bornatutako funtzio jarraitu guztiak integragarriak izan, gerora, funtzio orokorragoei erreparatuta, jabetu ziren bazirela Riemannen definizioa aplikatzen ezin zitzaien funtzioak, eta Lebesguek integralarenRiemannen definizioa aplikatzen den funtzioen kasuetan, emaitzak bat datoz definizio desberdin bat eman zuen neurriaren teorian oinarrituta. Riemannen eta Lebesgueren definizioak zabaltzen dituzten beste definizio batzuk ere proposatu dira.

 Notazioa 

Isaac Newtonek integrazioa adierazteko, barra bertikal txiki bat erabiltzen zuen aldagaiaren gainean, edo aldagaia kutxa baten barruan jartzen zuen. Barra bertikala erraz nahasten zen  edo  adierazpenekin, Newtonek berak deribazioa adierazteko erabiltzen zuen notazioarekin, alegia; "kutxa" notazioak, berriz, arazoak ematen zizkien inprimatzaileei. Horregatik, notazio horiek ez zuten arrakastarik izan.

Integral mugagabeen notazio modernoa Leibnizek ezarri zuen 1675. urtean.Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6. ed.), McGraw-Hill, ikus 359. or., Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, 154. or. Summa (ſumma) adierazteko (latinez, "batuketa" edo "guztira"),"∫", integralaren sinboloa sortu zuen S luzanga hizkia erabiliz. Integral mugatuaren notazio modernoa, integralaren sinboloan beheko eta goiko borneak dituena, Joseph Fourierek erabili zuen lehenengo aldiz Frantziako Akademiaren Mémoires lanean, 1819–20 inguruan; lan hori bere 1822koCajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, II. lib., Open Court Publishing, ikus 247.–252. or., Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, ikus §231. or.,  liburuan berrargitaratu zuen.
Arabiera modernoaren matematika-notazioan, eskuinetik ezkerrera idazten denez gero, integralaren sinbolo alderantzikatua 22pxW3C (2006). Arabic mathematical notation erabiltzen dute.

 Terminologia eta notazioa 

Funtzio batek integrala badu, integragarria dela esaten dugu. Integrala kalkulatzen duguneko funtzioari integrakizuna deritzogu. Funtzioa integratzen duguneko eskualdeari integrazio-eremua deritzogu. Integralak integrazio-eremurik ez badauka, mugagabea da, eta integrazio-eremua badauka, mugatua da. Normalean, integrakizuna aldagai bat baino gehiagoko funtzio bat izan daiteke; eta integrazio-eremua, bolumen bat, dimentsio gehiagoko eskualde bat, edo baita geometria egiturarik gabeko espazio abstraktua ere.

Kasu soilena, x aldagai erreal bakarreko f funtzioaren integrala [a, b] tartearen gainean, honela idazten da:

∫ ikurrak, "S" luzangak, integrazioa adierazten du; a eta b integrazioaren beheko muga eta goiko muga dira, eta integrazio-eremua zehazten dute; f integrakizuna da, x aldagaia [a,b] tartean zehar aldatzean balioztatu behar duguna; eta dx-ek interpretazio ezberdinak izan ditzake erabiltzen den teoriaren arabera. Adibidez, ikus liteke x integrazio-aldagaia dela adierazten duen ikur bezala soilik, Riemannen baturako pisuen adierazle bezala, neurri bat bezala (Lebesgueren integrazioan eta hedaduretan), infinitesimal bat bezala (analisi ez estandarrean) edo matematika-kantitate independente bat bezala —forma diferentzial bat, alegia—. Kasu korapilatsuenetan notazioa alda daiteke pixka bat.

 Kontzeptuak eta erabilerak 

Integralak oso erabilgarriak dira zenbait kasutan. Esate baterako, igerileku bat laukizuzena baldin bada, haren luzera, zabalera eta sakonera ezagututa, aise kalkula ditzakegu eduki ahal duen ur-bolumena (betetzeko), azalera (estaltzeko), eta ertzaren luzera (estalkia lotzeko). Baina forma obal eta hondo biribildua baditu, integralak beharko ditugu kantitate horiek guztiak kalkulatzeko. Hasieran, nahiko izan daiteke hurbilketa praktikoak egitea; baina, azkenean, era horrelako problemek erantzun guztiz zehatzak beharko dituzte.

Hasteko, demagun y = f(x) funtzioa x = 0 eta x = 1 artean, non f(x) = √x den. Galdera honako hau da:
Zein da f funtzioaren azpiko azalera 0-tik 1-erainoko tartean?
Azalera hori (oraindik kalkulatzeke) f-ren integrala izango da. Integral horretarako notazioa hau da:
.
Lehen hurbilketa gisa, x=0-tik x=1-erainoko aldeak sortutako unitate bateko karratua hartuko dugu. Bere azalera 1 da zehazki. Baina, irudian ikus daitekeenez, integralaren benetako balioa txikiagoa da. Hurbilketa egiteko erabilitako zutabeen zabalera txikiagotuz emaitza hobea lortuko dugu; hala, tartea bost zatitan partekatuko dugu, zutabeen oinarrietarako honako puntuak erabiliz: 0, 1⁄5, 2⁄5, 3⁄5, 4⁄5 eta 1; eta zutabeen altuerak hurrenez hurren hauek izango dira: √1⁄5, √2⁄5, √3⁄5, √4⁄5 eta √1 = 1. Laukizuzen hauen azalerak batuz gero, kalkulatu nahi dugun integralerako hurbilketa hobea lortuko dugu.

Ohar gaitezen f funtzioaren balio kopuru finitua batzen ari garela, ondoz ondoko hurbilketaren bi punturen kendurarekin biderkatuta. Hala ere, begi-bistakoa da, erabilitako hurbilketak integralarena baino balio handiagoa ematen duela oraindik. Tartea zati gehiagotan partekatuz gero, hurbilketa doituagoa lortuko genuke; baina, inoiz ez litzateke guztiz zehatza izango: 5 zutabetan zatitu ordez hamabitan zatituz gero —alegia, ezkerreko balioak hartuz, irudian agertzen den bezala— 0,6203ko balio hurbildua lortzen dugu; hortaz, txikiegia, oraingoan. partiketa finitua erabili beharrean partiketa fin azkengabea edo infinitesimala erabiltzean datza gakoa. Integralaren notazioak

integrala batuketa haztatu gisa aurkezten du ("S" luzangak hala adierazita), batuketa horretan batugaiak funtzioaren balioak dira (y = f(x)) diferentzial (dx adierazita) deritzen zabalera infinitesimaleko oinarriekin biderkatuta.

Integralen benetako kalkuluari dagokionez, kalkuluaren oinarrizko teorema —Newtonek eta Leibnizek sorturikoa— da deribazioaren eta integrazioaren arteko funtsezko lotura. f(x) = √x funtzioari dagokion funtzioa F(x) = 2⁄3x3/2 da, beraz, gure adibidearen integrala kalkulatzeko F(1)−F(0) kenketa egin behar dugu, non 0 eta 1 baitira [0,1] tartearen borneak. Hori arau orokor baten adibide bat da: f(x) = xq funtzioari, non q ≠ −1 den, dagokion funtzioa —jatorrizkoa deiturikoa— F(x) = (xq+1)/(q+1) da. Beraz, kurbaren azpiko azalera zehatza honela kalkulatuko dugu:

Historikoki, infinitesimalak zehazki definitzeko lehenengo ahaleginek porrot egin eta gero, Riemannek batuketa haztatuen limite gisa definitu zituen integralak formalki, horrela dx-ek kendura baten limitea iradokitzen du (tartearen zabalera). Riemannen definizioak tarteekiko eta jarraitasunarekiko mendekotasun handia duenez, definizio berriak sortu ziren, hala nola, Lebesgueren integrala bereziki, "neurri" ideia era askoz malguagoan hedatzean oinarritutakoa. Horrela,

notazioa funtzioa zatikatzen deneko balioen batuketa haztatuarekin lotzen da, non μ-k balio bakoitzari dagokion pisua neurtzen duen. Hor A-k integrazio-eskualdea adierazten du. Geometria diferentzialak, "barietateen kalkuluarekin", ohiko notazio horren beste interpretazio bat ematen du. Orain f(x) eta dx forma diferentzialak izango dira, ω = f(x)dx, eragile diferentzial berri bat agertzen da d, kanpoko deribatua deiturikoa, eta oinarrizko teorema orokorragoa den Stokesen teorema bihurtuko da,

eta teorema horretatik eratortzen dira Greenen teorema, dibergentziaren teorema, eta kalkuluaren oinarrizko teorema.

Duela gutxi, berriro infinitesimalak berriro jarri dira boladan, analisi ez estandarra bezalako berrikuntzen bitartez. Metodo horiek aitzindarien intuizioa aldarrikatzeaz gain, matematika berrirantz bideratzen gaituzte, eta intuitiboagoa eta ulergarriagoa bihurtu dute kalkulu infinitesimala.

Integrala ulertzeko modu guztiak berdinak ez diren arren, bat egiten dute maila askotan, esate baterako, forma obaleko igerilekuaren azalera kalkulatzeko elipse geometrikoa erabil daiteke, edo Riemannen integrala, edo Lebesgueren integrala, edo forma diferentzial bat duen barietate bat. Kalkuluaren bidez lortutako emaitza berbera da kasu guztietan.

 Beste integral batzuk 
Riemannena eta Lebesguerena Integralaren definizio garrantzitsuenak badira ere, ez dira bakarrak, hor daude esaterako:
 Riemann-Stieltjesen integrala, Riemannen integralaren hedapena.
 Lebesgue-Stieltjesen integrala, Johann Radonek garatua, Riemann-Stieltjesen eta Lebesgueren integralak zabaltzen dituena.
 Daniellen integrala, ezein neurriren mende egon gabe Lebesgueren integrala eta Lebesgue-Stieltjesen integrala barnean hartzen dituena.
 Henstock-Kurzweilen integrala, Arnaud Denjoyek, Oskar Perronek eta Jaroslav Kurzweilek era askotan definitua eta Ralph Henstockek garatua.
 Darbouxen inegrala, Riemannen integralaren baliokidea dena.
 Haaren integrala, Lebesgueren integrala dena Haaren neurriarekin.
 McShaneren integrala.
 Buchneren integrala.

 Integrazioaren propietateak 

 Linealtasuna 

 [a, b] tarte itxian funtzio Riemannen zentzuan integragarrien multzoa bektore-espazioa da batuketa eta eskalarrekiko biderketa eragiketekin. Integrazio eragiketa

bektore-espazio horren funtzional lineal bat da. Ondorioz, lehenik, funtzio integragarrien multzoa itxia da konbinazio linealarekin, eta bigarrenik, konbinazio lineal baten integrala integralen konbinazio lineala da, hots:

 Horren antzera, funtzio erreal Lebesgueren zentzuan integragarrien multzoa (E espazio metriko batean, μ neurriarekin) itxia da konbinazio linealei dagokionez, eta horregatik bektore-espazio bat da, eta Lebesgueren integrala


bektore-espazio horren funtzional lineal bat da, beraz, era honetan:

Linealtasuna, integralaren beste definizio bat emateko erabil daiteke zenbait jarraitasun propietaterekin batera. Hori da Daniellen ikuspegia X multzo bateko funtzio errealen kasurako, Bourbakik zabaldu egiten du definizioa bektore-espazio topologikoki trinko batean balioak hartzen dituzten funtzioetarako. Ikusi Hildebrandt (1953)Hildebrandt, T. H. (1953). "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society 59(2): ikus 111.–139. or., ISSN 0273-0979  integralaren karakterizazio axiomatiko baterako.

 Integrazio borneen alderantzikatze 

a > b bada, orduan honako hau definitzen da:

Horrek, a = b bada, honako hau dakar:
 Zero luze diren tarteen gaineko integralak. a zenbaki erreala bada, orduan:


 Batukortasuna 

Bira [a,b] tartean jarraitua den f funtzioa eta  puntua. Orduan:

Aurreko propietatea aplikatzen badugu, honako hau izango dugu:

ondo definituta geratzen da a, b, eta c elementuen edozein permutazio ziklikorako.

 Batez bestekoaren teorema 

 funtzio jarraitua bada, orduan existitzen da  non  baita.

 Desberdintzak integralekin 

[a, b] tarte itxi eta bornatuan Riemannen zentzuan integragarriak diren funtzioetarako zenbait desberdintza betetzen dira. Beste integral nozioetara ere zabal daitezke (Lebesgue eta Daniell).

 Goiko eta beheko borneak. [a, b] tartean f funtzioa integragarria bada, orduan bornatua ere izango da tarte horretan. Hortaz, badaude bi zenbaki erreal m eta M zeinak m ≤ f (x) ≤ M diren [a, b] tarteko x guztietarako. f-ren goiko eta beheko batukariak ere [a, b] tartean bornatuak direnez gero, m(b − a)rako eta M(b − a)rako hurrenez hurren, honako hau ondorioztatzen dugu


 Monotonia (edo Konparazio-Teorema). Bira [a, b] tartean jarraituak diren f eta g funtzioak , non  den, orduan:

 Azpitarteak. [c, d] [a, b] tartearen azpitarte bat bada, eta emandako tarteetan f(x)≥ 0 bada, orduan:


 Balio absolutua. Teorema hau Konparazio-Teoremaren korolariotzat jo dezakegu. f funtzioa [a, b] tartean integragarria bada, orduan:

 Biderketak eta berreketak. f eta g bi funtzio badira, orduan haien biderketa eta berreketa erabil ditzakegu:
 f eta g integragarriak badira, orduan f 2, g 2, eta fg ere integragarriak izango dira, eta

Desberdintza hori Cauchy-Schwarzen desberdintza izenez ezagutzen da, eta funtsezkoa da Hilberten espazioen teorian, non eskuineko aldea ulertzen baita [a, b] tartean integragarriak diren f eta g bi funtzioren biderkadura eskalar gisa.

 Hölderen desberdintza. p eta q bi zenbaki erreal badira, 1 ≤ p, q ≤ ∞ non 1/p + 1/q = 1 den, eta f eta g bi funtzio Riemannen zentzuan integragarri, orduan |f|p eta |g|q funtzioak ere Riemannen zentzuan integragarriak dira eta Hölderen desberdintza betetzen dute:p = q = 2 kasuan, Hölderen desberdintza Cauchy–Schwarzen desberdintza da.

 Minkowskiren desberdintza. p ≥ 1 zenbaki erreal bat bada, eta f eta g bi funtzio Riemannen zentzuan integragarri, orduan |f|p, |g|p eta |f + g|p ere Riemannen zentzuan integragarriak dira eta Minkowskiren desberdintza betetzen dute:

Horren antzeko desberdintza bat erabiltzen da Lebesgueren integralerako, Lp espazioak eraikitzeko.


 Erreferentziak 

 Bibliografia 

 . III. eta IV. atalak bereziki




 Ingelesezko bertsioan honela: 
 (Jatorrizkoa University Press-ek argitaratua, 1897. urtean, J. L. Heiberg's Greek-en bertsio batean oinarrituta.)








 .


 Ikus, gainera 
 Integralen zerrenda
 Integrazio-metodoak
 Zenbakizko integrazioa
 Deribatua
 Integralaren sinboloa
 Sinbolo matematikoen taula

 Kanpo estekak 
 The Integrator de Wolfram Research
 Function Calculator de WIMS
 P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques
 Definite Integrals
 Liburuak online 
 Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
 Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
 Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
 Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
 Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
 Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
 Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
 Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
 Kalkuluaren Wikiliburua
 Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute''
 P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques

Kategoria:Matematika
Kategoria:Kalkulu integrala