Aljebra abstraktu

Aljebra abstraktua egitura aljebraikoak, eraztunak eta taldeak, esaterako, ikertzen dituen matematikaren arloa da. Terminoa lehen aldiz XX. mendearen hasieran hasi zen erabiltzen, aljebraren beste ataletatik bereizteko.

Aljebra abstraktuan, hainbat eragiketaz konbinatutako elementuak, oro har, ezin dira zenbaki gisa interpretatu; horregatik, aljebra abstraktua ezin da aritmetikaren hedapen soiltzat hartu. Aljebra abstraktuaren azterketari esker, argi eta garbi ikusi ahal izan da zein berezkoak diren matematika eta natur zientzia guztiak oinarritzen diren baieztapen logikoak, eta, gaur egun, matematikaren ia adar guztietan erabiltzen da. Gainera, historian zehar, itxuraz oso desberdinak diren egitura logikoak axioma multzo txiki batekin forma berean karakteriza daitezkeela ohartu ziren aljebra aztertzaileek.

Aljebra abstraktu terminoa erabiltzen da eremu hori oinarrizko aljebratik edo bigarren hezkuntzako aljebratik bereizteko, zeinak zenbaki errealei eta zenbaki konplexuei dagozkien formula eta adierazpen aljebraikoak manipulatzeko arau egokiak erakusten baititu. Aljebra abstraktua, XX. mendearen lehen erdian, aljebra moderno gisa ezagutu zen.

Historia
XIX. mendea baino lehen, aljebrak ekuazio polinomikoen ebazpena aztertzea esan nahi zuen. Aljebra abstraktua XIX. mendean, ebazpen-arazo eta -metodo konplexuagoak garatu ahala sortu zen. Problema eta adibide zehatzak zenbakien teoriatik, geometriatik, analisitik eta ekuazio aljebraikoen ebazpenetatik zetozen. Orain aljebra abstraktuaren partetzat hartzen diren teoria gehienak hasi ziren matematikaren adar desberdinetako gertaera desberdinen bilduma gisa; gai komun bat hartu, eta horren inguruan bildu ziren hainbat emaitza, eta, azkenik, kontzeptu multzo komun batean oinarrituta bateratu ziren. Bateratze hori XX. mendeko lehen hamarkadetan gertatu zen, eta hainbat egitura aljebraikoren definizio axiomatiko formalak sortu zituen, hala nola taldeenak, eraztunenak eta eremuenak.​ Garapen historiko hori testuliburu herrikoietan aurkitzen den tratamenduaren ia aurkakoa da, adibidez, van der Waerden-en Aljebra Modernoa: kapitulu bakoitza egitura baten definizio formal batekin hasten da, eta, gero, adibide zehatzekin jarraitzen dute.

Oinarrizko aljebra
Ekuazio polinomikoen edo ekuazio aljebraikoen azterketak historia luzea du. K.a. 1700 inguruan, babiloniarrak gai ziren hitz-problema gisa zehaztutako ekuazio koadratiko zehatzak ebazteko. Hitz-problemen etapa hori aljebra erretorikotzat sailkatzen da, eta XVI. mendera arte ikuspegi nagusia izan zen. Muhammad ibn Mugusal-Khwārizmhori-k sortu zuen aljebra hitza, K.o. 830. urtean, baina bere lana, erabat, aljebra erretorikoa zen. Aljebra guztiz sinbolikoa, ez zen agertu 1591ko François Viète-ren Aljebra berria agertu arte, eta horrek bazituen hitz batzuk letreiaturik ere, sinboloak 1637ko Descartesen La Géometrien jaso zituztenak.​ Ekuazio sinbolikoen ebazpenaren azterketa formalak, orduan «zentzurik gabeko» errotzat hartzen zirenak, zenbaki negatibo eta zenbaki irudikari gisa onartzera eraman zuen Leonhard Euler XVIII. mendearen amaieran.​ Hala ere, europar matematikariak, gehienak, kontzeptu horien aurka egon ziren XIX. mendearen erdialdera arte.

1830eko George Peacock-en Aljebraren tratatua izan zen aljebra oinarri erabat sinboliko baten gainean jartzeko lehen saiakera. Beste aljebra sinboliko bat bereizi zuen, antzinako aljebra aritmetikoz bestelakoa. Aljebra aritmetikoan   mugatzen bada ere, aljebra sinbolikoan, eragiketen arau guztiak murrizketarik gabe mantentzen dira. Hori erabiliz, Peacock-ek  gisako legeak erakuts zitzakeen  -tan utziz. Peacockek forma baliokideen iraupen-printzipioa deitu zuena erabili zuen bere argudioa justifikatzeko, baina haren arrazoiketak indukzioaren problema falta zuen.​ Adibidez,  zenbaki erreal ez-negatiboentzat betetzen da, baina ez zenbaki konplexu orokorrentzat.

Talde-teoria primitiboa
Matematikaren hainbat arlok eraman zuten taldeak aztertzera. Kintikaren soluzioen Lagrangeren 1770eko azterketak gidatu zuen polinomio baten Galoisen taldea. 1801eko Gaussen azterketa (Fermaten teorema txikiari buruzkoa) eraman zuen osoen eraztunaren n modulura, osoen biderketa-multzoaren n modulura eta talde zikliko eta talde abeldarraren kontzeptu orokorragotara. Kleinen 1872ko Erlangen programak geometria aztertu zuen, eta simetria taldeak gidatu zituen, hala nola talde euklidearra eta transformazio proiektiboko taldea. 1874an, Liek Lieren taldeen teoria sartu zuen «Galoisen ekuazio diferentzialen teoria» garatzeko helburuarekin. 1876an, Poincaré eta Klein-ek Möbius-en transformazio-taldea eta haren azpitaldeak sartu zituzten, hala nola modulu-taldea eta Fuchen taldea, analisian funtzio automorfikoei buruzko lanean oinarrituak.

Talde kontzeptu abstraktua XIX. mendearen erdialdean sortu zen pixkanaka. Galois izan zen, 1832an, talde terminoa erabiltzen lehena, konposiziopean itxitako permutazioen bilduma esan nahi duena.​ Arthur Cayley-ren Taldeen teoriari buruzko lanak, 1854an argitaratua, honela definitzen zuen taldea: elkartze-konposizioko eragiketa bat eta 1 identitatea dituena, gaur egun monoide deritzona.​ 1870ean, Kroneckerrek eragiketa bitar abstraktu bat definitu zuen, itxia, kommutatiboa, asoziatiboa eta  ezeztapen-ezker propietatea zuena eta lege modernoen antzekoak talde abeldar finitu batentzat.​ Weberrek, 1882an, talde bati buruz emandako definizioa eragiketa bitar itxia zen, asoziatiboa eta ezker eta eskuin ezeztapenak zituena.​ Walther von Dyck 1882an lehena izan zen alderantzizko elementuak eskatzen talde baten definizioaren parte gisa.

Behin talde abstraktuaren kontzeptu hori sortu zenean, emaitzak ingurune abstraktu horretan birformulatu ziren. Adibidez, Sylow-en teorema Frobenius-ek frogatu zuen berriro 1887an zuzenean talde finitu baten legeetatik abiatuta. Dena den, Frobenius-ek aipatu zuen teorema Cauchy-k permutazio-taldeei buruz zuen teorematik eta talde finitu oro permutazio-talde baten azpitaldea dela dioen egitatetik ondorioztatu.​​ Otto Hölder bereziki emankorra izan zen arlo horretan, eta zatidura-taldeak definitu zituen, 1889an, talde-automorfismoak, 1893an, baita talde sinpleak ere. Jordan-Hölderren teorema ere osatu zuen. Dedekind eta Miller-ek talde hamiltondarrak modu independentean karakterizatu zituzten, eta bi elementuren kommutadorearen nozioa sartu zuten. Burnside, Frobenius eta Molienek talde finituen taldeen errepresentazioa sortu zuten XIX. mendearen amaieran.​ J.A. de Séguierren monografia, Talde abstraktuen teoriaren elementuak, 1905ekoa, emaitza horietako asko modu abstraktuan eta orokorrean aurkezten zituen, eta talde zehatzak apendize batera baztertzen zituen, nahiz talde finituetara mugatzen zen. Talde abstraktu finitu zein infinituei buruzko lehen monografia O.K. Schmidten Abstract Theory of Groups izan zen, 1916an.

Eraztunen teoria goiztiarra
1843an, eraztun ez-kommutatiboen teoria William Rowan Hamiltonekin hasi zen zenbaki konplexuetatik zenbaki hiperkonplexuetarako luzapenekin, bereziki koaternioienak. Geroxeago, beste zenbaki-sistema askok segitu zuten. 1844an, Hamiltonek bikoaternioiak aurkeztu zituen; Cayleyk oktonioiak sartu zituen, eta Grassmanek kanpoko algebrak sartu zituen.​ James Cocklek zenbaki bikonplexuak aurkeztu zituen 1848an, eta kokuaternioiak, 1849an.​ William Kingdon Cliffordek, 1873an, bikaternioi zatituak sartu zituen. Gainera, 1854an, Cayleyk zenbaki erreal eta konplexuei buruzko taldeko algebrak sartu zituen, eta matrize karratuak, 1855eko eta 1858ko bi artikulutan.

Behin adibide nahikorik egonda, sailkatzea geratzen zen. 1870eko monografia batean, Benjamin Peircek 6 baino dimentsio txikiagoko 150 zenbaki-sistema hiperkonplexu baino gehiago sailkatu zituen, eta aljebra asoziatibo baten definizio esplizitua eman zuen. Elementu nilpotente eta idempotenteak definitu zituen, eta edozein aljebrak bat edo beste daukala frogatu zuen. Peirceren deskonposizioa ere definitu zuen. Frobenius-ek, 1878an, eta Charles Sanders Peirce-k, 1881ean, independenteki, frogatu zuten  buruzko dimentsio finituko zatiketaren aljebra bakarrak zirela: zenbaki errealak, zenbaki konplexuak eta koaternioiak. 1880ko hamarkadan, Killingek eta Cartanek frogatu zuten Lieren erdisimpleen aljebrak sinpleetan deskonposa zitezkeela eta Lieren sinpleen aljebra guztiak sailkatu zituzten. Horretan inspiratuta, 1890eko hamarkadan, Cartan Frobenius-ek eta Molien-ek frogatu zuten, independenteki,  edo -n dagoen dimentsio finituko elkartze-aljebra bat aljebra nilpotente baten batura zuzenean deskonposatzen dela unibokoki eta aljebra erdifinko bat (zenbait aljebra sinpleren emaitza dena) matrize karratuak zatiketa-aljebren gainean. Cartan izan zen lehenengoa batuketa zuzena eta aljebra sinple kontzeptuak definitzen, eta eragin handia izan zuten. 1907an, Wedderburn-ek Cartan-en emaitzak eremu arbitrario batera zabaldu zituen, gaur egun, Wedderburn-en teorema nagusia eta Artin-Wedderburn-en teorema izenez ezagutzen dena.

Eraztun kommutatiboen kasuan, zenbait area elkartuta eraztun kommutatiboen teoria sortu zuen.​ 1828ko eta 1832ko bi artikulutan, Gaussek Gaussen zenbaki osoak formulatu zituen, eta faktorizazio bakarreko domeinua (FBD) osatzen dutela frogatu zuen, eta elkarrekikotasun bikoadratikoaren legea frogatu zuen. Jacobik eta Eisensteinek (gutxi gorabehera aldi berean) elkarrekikotasun kubikoaren legea frogatu zuten Eisensteinen zenbaki osoentzat.​ Fermaten azken teoremaren (FAT) azterketak eraman zuen aljebraren zenbaki osoetara. 1847an, Gabriel Lamék pentsatu zuen FAT frogatu zuela, baina bere frogapena akastuna zen, eremu ziklotomiko guztiak FBDak zirela onartu baitzuen; hala ere, Kummerrek adierazi moduan, ez zen FBD bat.​ 1846an eta 1847an, Kummer-ek zenbaki idealak sartu zituen, eta eremu ziklotomikoetarako primo idealetan bakarra den faktorizazioa frogatu zuen. Dedekindek, 1871n, hori zabaldu zuen frogatzeko zenbaki aljebraikoen eremu baten zenbaki osoen domeinuko ideal ez-nulu bakoitza zenbaki primo idealen biderkadura bakarra dela, Dedekinderen domeinuaren teoriaren aitzindari bat. Oro har, zenbaki aljebraikoen teoriaren gaia Dedekinden lanak sortu zuen.

Adibide bat
Azterketa sistematikoa ez da egia, baina aljebraren azterketari esker, matematikariek itxuraz desberdinak diren kontzeptuak deskripzio logiko komun batera eraman dituzte. Adibidez, har ditzagun nahiko ezberdin diren bi eragiketa:  aplikazioen konposizioa eta  matrizeen biderkadura. Bi eragiketa horiek, izan ere, berdinak dira. Hori, modu informalean, honela ikus dezakegu: biderkatu bi  matrize karratu zutabe bateko  bektore batez. Izan ere, horrek  con  ==-rekin konposatzearen baliokidea den funtzio bat definitzen du. Konposiziopeko funtzioek eta biderketapeko matrizeek monoide izeneko egiturak osatzen dituzte. Monoide bat operaziopean asoziatiboa da bere  elementu guztientzat, eta  elementu bat du , -ren edozein baliotarako. Beraz, bi multzo isomorfoak berdin-berdinak kontsideratzen dira; hala, multzo horietan, eragiketak eta haien legeak dira interesa dutenak.

Erreferentziak

Bibliografia
 Fraleigh, John B.: Álgebra abstracta (1987).
 Herstein, I.N. Álgebra abstracta (1988).




 Birkhoff, G., MacLane, S. (1954). Álgebra Moderna. Barcelona: VICENS-VIVES.

Kanpo estekak

Aljebra abstraktua