Zenbaki arrazional

denez naturala
pizza bat zein pastel bat
zatitu bezala
osoen zatidura
da ARRAZIONALA

Zenbaki arrazionalak zatiki bidez adieraz daitezkeen zenbakiak dira. Adibidez, 345/456. Zenbaki guztiak ez dira arrazionalak. Adibidez, () zenbakia ez da arrazionala: irrazionala da. Zenbaki arrazionalak identifikatzeko pista bat hau da: dezimal kopuru mugatua dute. Zenbaki irrazionalek aitzitik, dezimal kopuru infinitua dute (, pi, e zenbakia, ...). Zenbaki arrazionalen multzoa  ikurrez izendatzen da 
(edo, bestela , arbeleko letra lodiz) zatiduratik eratortzen dena (latineko Quotiens-etikWiktionary Quotiens (latín), Europako hainbat hizkuntzatara zatidura gisa egokitua). Zenbaki multzo horrek zenbaki osoak () eta zatiki zenbakiek hartzen ditu barne, eta zenbaki errealen azpimultzo bat da ().

Zenbaki arrazional baten grafia hamartarra zenbaki hamartar finitua edo zenbaki erdiperiodikoa da. Hau ez da egia 10 oinarrian (sistema hamartarra) idatzitako zenbakientzat bakarrik, bitarrean, hamaseitarran edo beste edozein osoko oinarrian ere egia da. Era berean, hedapen finitua edo periodikoa onartzen duen edozein zenbakia (edozein oinarri osotan) zenbaki arrazionala da.

Arrazionala ez den zenbaki erreal bati zenbaki irrazionala deitzen zaio; zenbaki irrazionalen adierazpen hamartarra, arrazionalak ez bezala, infinitu aperiodikoa daT.S. Tsipkin. Manual de Matemática Editorial Mir, Moscú.

Zentzu hertsian, zenbaki arrazionala zatiki baten baliokideen multzoa da; horien guztien artean, zatiki laburtezina hartzen da zenbaki arrazional horren ordezkari kanonikotzat. Elkarren artean baliokideak diren zatikiak –zenbaki arrazionala– baliokidetasun-klase bat dira,  -ri  aplikatutako baliokidetasun-erlazioaren emaitza

 Zenbaki arrazionalen eraikuntza 

 Har ditzagun  zenbaki arrunten bikoteak non .

  zatikiak  denotatzen du.  zenbakitzaile deritzogu eta  izendatzaile

 Mota horretako zenbakiak  hitzaz adierazten dira. Hots, 

 Historia 
Egiptoarrek problema praktikoen ebazpena kalkulatzen zuten izendatzaile bezala zenbaki oso positiboak dituzten zatikiak erabiliz; zenbaki oso baten zatiak irudikatzeko erabili ziren lehenengo zenbaki arrazionalak dira, zenbaki oso baten alderantzizkoaren kontzeptuaren bidez.

Antzinako Greziako matematikariek zioten bi magnitude neurgarriak zirela, baldin eta hirugarren bat aurkitzerik bazegoen non lehen biak azkenekoaren multiploak ziren, hau da, unitate komun bat aurki zitekeen zeinentzako bi magnitudeek balio osoa izango zuten. Zenbaki guztiak osoen zatidura direla dioen printzipio pitagorikoak honela adierazten zuen edozein bi magnitudek neurgarriak izan behar dutela zenbaki arrazional izan aurretik.

Etimologikoki, zenbaki horiek arrazionalak deitzea bi zenbaki osoren arrazoia izateari dagokio, eta hitz horren sustraia latinezko ratio hitzetik dator, zeina grekotik datorren λόγος (arrazoi); eta hau da antzinako Greziako matematikariek zenbaki horiei deitzen zieten modua. Zenbaki arrazionalen multzoa izendatzeko erabiltzen den notazioa 1895ean eginiko Giuseppe Peanoren lan batetik eratorria den quoziente italiar hitzetik dator.

 Zenbaki arrazionalen aritmetika 

 Baliokidetasun eta ordena erlazioak 

 Osoen murgilketa 
Edozein n zenbaki oso n/1 zenbaki arrazional bezala adieraz daiteke, horregatik idazten da maiz  bezala.

 Baliokidetasuna 
Hau betetzen bada:

 Ordena 
Izendatzaile biak positiboak badira:

Izendatzaileetako bat negatiboa bada, zatikiak, lehenik, izendatzaile positiboak dituzten beste batzuk bihurtu behar dira, ekuazio hauei jarraituz:

eta

 Eragiketa arrazionalak 
Batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa eragiketei eragiketa arrazionalak deitzen zaie.

 Gehiketa 
Bi zenbaki arrazionalen batuketa edo gehiketa zenbaki arrazionalen pare orori bere batuketak egokiarazten dion eragiketari deitzen zaio:

 Kenketa 
Zenbaki arrazional guztiei bere diferentzia egokitzen dien eragiketari kenketa edo diferentzia deitzen zaio, eta baturaren alderantzizko eragiketatzat hartzen da.

 BIderketa 
Bi zenbaki arrazionalen biderketa edo biderkadura:

 Zatiketa 
Bi zenbaki arrazionalen zatiketa edo zatidura, alegia r zati s ezberdin 0,  bezala adieraz daiteke. Edo bestela:

Erabat definituta dagoen eragiketa bat da, baina biderketaren alderantzizko eragiketa dela onartzen da, s · x = r, s≠0 ekuazioa ebazten duena.

 Alderantzizkoa 
Zenbaki arrazionaletan aurkako eta alderantzizkoak daude:

 Propietateak 

 Aljebraikoak 

Zenbaki arrazionalen multzoa, , batuketa eta biderketa operazioez hornituta, trukakor, elkarkor eta banakor diren propietateak betetzen ditu, hau da:

 (trukakorra)
 (elkarkorra)
 (banakorra).

Badira batuketarako eta biderketarako elementu neutroak. Batuketaren elementu neutroa zeroa da, 0z adierazten dena, izan ere,  edozein -rentzat. Biderketaren elementu neutroa 1 da,  gisa adieraz daitekeena (n zero ez bada), eta  betetzen duena.

Batuketarako eta biderketarako elementu simetrikoak ere baditu. Horrela, edozein zenbaki arrazionalen  batuketarekiko elementu simetrikoa  da, aurkako elementu izenekoa, eta  betetzen du. Gauza bera gertatzen da biderketarekiko elementu simetrikoarekin: edozein  (zero ez dena) zenbakirentzat, badago , alderantzizko zenbaki izenekoa, eta  da.

Goian definitutako batuketa eta biderketa operazioekin,  multzoak gorputz kommutatibo bat osatzen du, osoko zenbakien  zatiki-gorputza dena.

Zenbaki arrazionalak dira karakteristika nulua duen gorputzik txikiena. Karakteristika nulua duen beste edozein gorputzek -ren kopia bat dauka barnean.

-ren itxiera aljebraikoa zenbaki aljebraikoen multzoa da.

Zenbaki arrazionalek faktorizazio bakarreko eremu bat osatzen dute, zero ez den edozein arrazional honela faktorizatu baitaiteke:
,
non  zenbaki lehenak diren,  (haietako batzuk negatiboak izango dira q osoa ez bada), eta .
Adibidez: .

 Erreferentziak 

 Kanpo estekak 
 3.DBH. ZENBAKI ARRAZIONALAK: Zatikiak eta hamartarrak bideoa youtuben.

A
Kategoria:Zatikiak
Kategoria:Gorputzen teoria
Kategoria:Oinarrizko matematika
Kategoria:Zenbaki errealak
Kategoria:Gorputz teoria