Diraci mõõt

Diraci mõõt on matemaatikas mõõt, mille väärtus on 1 hulkade puhul, millesse kuulub mingi kindel element, ja 0 ülejäänud hulkade puhul. 

See mõõt kontsentreerub ühele punktile, st selle kandja on üheelemendiline. See on ka tõenäosusmõõt.

Diraci mõõduga on seotud peaaegu kindlalt konstantse juhusliku suuruse jaotus.

Funktsionaalanalüüsis läheb Diraci mõõtu tarvis sellepärast, et see on seotud üldistatud funktsiooniga, mida nimetatakse Diraci deltafunktsiooniks.

Diraci mõõt on nimetatud Paul Diraci auks.

 Definitsioon 

Olgu antud mõõtuv ruum 
, st alushulk  koos sellel defineeritud σ-algebraga . Iga punkti   korral defineeritakse kujutus , mis seab igale hulgale  vastavusse väärtuse , kui  kuulub sellesse, ja väärtuse , kui  ei kuulu sellesse:

Kujutus  on sel juhul mõõt ja seda nimetatakse Diraci mõõduks punktis .

Karakteristliku funktsiooni  abil saab definitsiooni kirja panna ka nii:

kõikide  ja  korral.

 Omadused 
Diraci mõõt on lõplik ja mõõduruum on σ-lõplik.

Olgu  Diraci mõõt, mis on kontsentreeritud kindlasse punkti  mõõtuvas ruumis . Et  , siis 

  on tõenäosusmõõt ja seega lõplik mõõt.  on tõenäosusruum. Nii saab defineerida Diraci jaotuse. 

Eeldusel, et  on topoloogiline ruum ja  on vähemalt sama peen nagu Boreli -algebra  ruumis , siis kehtib:
  on rangelt positiivne mõõt siis ja ainult siis, kui topoloogia  on niisugune, et  asetseb igas mittetühjas lahtises hulgas, nt triviaalne topoloogia .
 Et  tõenäosusmõõt, siis see on ka lokaalselt lõplikult mõõt.
 Kui  on Hausdorffi ruum oma Boreli -algebraga, siis  on sisemine regulaarne mõõt, sest üheelemendilised ruumid, nagu , on alati kompaktsed. Järelikult on  ka Radoni mõõt.
 Eeldusel, et topoloogia  on piisavalt peen, et  oleks kinnine (nagu enamikus rakendustes ongi), on mõõdu  kandja võrdne hulgaga . (Vastasel korral on  hulga  sulund ruumis .) Peale selle on  ainus tõenäosusmõõt, mille kandja on .
 Kui  on -mõõtmeline eukleidiline ruum  oma tavalise -algebraga ja -mõõtmelise Lebesgue'i mõõduga , siis  on singulaarne mõõt mõõdu  suhtes: lahutatagu näiteks ruum  ruumideks  ja  veendutagu, et .
 Diraci mõõt on -lõplik.

 Saab tõestada, et Diraci mõõdu mõõduintegraal funktsiooni  korral on

 Diraci integraal 

Funktsiooni  Diraci integraal on defineeritud kui Lebesgue'i integraal Diraci mõõdu suhtes. Lebesgue'i mõõdu asemel kasutatakse integraali arvutamiseks Diraci mõõtu. Suvalise funktsiooni  Diraci integraal on

 Kirjandus 
 W. Rudin. Functional analysis, McGraw-Hill  1973.

Kategooria:Matemaatika