Lokaalselt kompaktne rühm

Lokaalselt kompaktne rühm on topoloogiline rühm, mille aluseks olev topoloogiline ruum on  lokaalselt kompaktne. Lokaalselt kompaktsetele rühmadele saab üldistada eukleidilisest ruumist tuntud analüütilisi mõisteid üldistada. Need rühmad, eriti nende esitused, on harmoonilise analüüsi aine. Osa autoreid eeldab veel Hausdorffi omadust.

 Definitsioon 
Topoloogiline rühm on rühm  rühmatehtega  ja ühikelemendiga , mis on varustatud topoloogiaga nii, et rühmatehe  (korrutisetopoloogiaga rühmal ) ja pöördelemendi võtmine on  pidevad. Topoloogilist ruumi nimetatakse lokaalselt kompaktseks, kui igal selle punktil leidub kompaktsetest hulkadest koosnev ümbruste baas. Lokaalselt kompaktseid rühmi saab aga iseloomustada ka väiksema arvu tingimustega: topoloogiaga rühm  on lokaalselt kompaktne rühm parajasti siis, kui
 topoloogia on eelregulaarne (eralduvusaksioom R1),
 ühikelemendil  leidub kompaktne ümbrus  ja
 rühm moodustab pooltopoloogilise rühma, st kujutus  on kummaski komponendis eraldi pidev, st iga  korral on translatsioonikujutused  ja  pidevad.
Et vasaktranslatsioon  võrra on pidev, siis on iga  korral  kompaktne. Et vasaktranslatsioon  võrra on pidev, siis   on punkti  ümbrus. Seega leidub igal punktil kompaktne ümbrus; eelregulaarsuse tõttu on ruum seega lokaalselt kompaktne. Osutub, et igal lokaalselt kompaktsel pooltopoloogilisel rühmal on korrutisetopoloogia suhtes pidev tehe  (nii et see on paratopoloogiline rühm) ja ka pöördelemendi võtmine on pidev (nii et see on topoogiline rühm).Ahmed Bouziad. Every Čech-Analytic Baire Semitopological Group is a Topological Group. – Proceedings of the American Mathematical Society, 1996, kd 124, nr 3. Täistekst.

Osa autoreid eeldab definitsioonis alati Hausdorffi omadust. Enamasti (eriti esituste teoorias) piisab sellest, kui piirduda Hausdorffi omadusega lokaalselt kompaktsete rühmadega. Nimelt on iga lokaalselt kompaktse rühma korral selle rühma Kolmogorovi faktorruum Hausdorffi omadusega lokaalselt kompaktne rühm, millel on sisuliselt samad omadused. Kolmogorovi faktorruumi moodustamine kui funktor on vasakult adjungeeritud Hausdorffi omadusega lokaalselt kompaktsete rühmade kategooria sisestamisega lokaalselt kompaktsete rühmade kategooriasse (kus morfismid on pidevad homomorfismid).

 Näited
 Iga diskreetse topoloogiaga või triviaalse topoloogiaga rühm on lokaalselt kompaktne rühm. (Viimase näite korral küll üldjuhul ei kehti Hausdorffi aksioom, mida osa autoreid lokaalselt kompaktsete rühmade definitsioonis eeldab.)
 Eukleidiline ruum  moodustab liitmise suhtes,  korrutamise suhtes ja üldiselt iga Lie rühm rühmatehte suhtes lokaalselt kompaktse rühma.
 Iga hulga  korral moodustab  Tihhonovi teoreemi järgi  elemendikaupa liitmise suhtes kompaktse ja seega lokaalselt kompaktse rühma; kui , siis nimetatakse seda Cantori rühmaks.
 p-aadiliste arvude korpus   moodustab liitmise suhtes,  korrutamise suhtes lokaalselt kompaktse rühma. Üldiselt kehtib see kõikide lokaalsete korpuste korral.
 Normeeritud vektorruum üle reaalarvude või kompleksarvude korpuse on liitmise suhtes topoloogiline rühm, mis on lokaalselt kompaktne parajasti siis, kui ruum on lõplikumõõtmeline.

Viited

Kategooria:Rühmateooria