Mõõt (matemaatika)

Mõõdu mõistet kasutatakse matemaatika harus mõõduteoorias hulga "suuruse" iseloomustamiseks. Pikkus, pindala ja ruumala on tavaliste mõõtude seas. Mõõdu mõiste on oluline funktsiooni integraali defineerimisel üldjuhul. Mõõduteooria etendab olulist osa matemaatilises analüüsis ja tõenäosusteoorias.

Mõõduteooria ideed leidus juba Vana-Kreekas:  Archimedes tahtis kindlaks teha ringi ümbermõõdu täpset väärtust. Mõõduteooria on siiski 20. sajandi leiutis. Mõõduteooria pioneerid olid Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory ja Alfréd Haar. Henri Lebesgue töötas välja revolutsioonilise Lebesgue'i mõõdu ja Lebesgue'i integraali ruumis . Georg Cantor ja Émile Borel defineerisid hiljem mõõtuvad hulgad ja Boreli hulgad. Constantin Carathéodory võttis kasutusele välismõõdu ja Carathéodory konstruktsiooni. Alfréd Haar töötas välja Haari mõõdu, mis sarnaneb Lebesgue'i mõõdule, kuid on rakendatav topoloogilistes rühmades. 

Taust
Kas kõigil kehadel on ruumala?

Kuubi ruumala saab defineerida kõrguse, laiuse ja sügavuse korrutisena. Geomeetria abil saab ruumala omistada ka keradele, püramiididele ja teistele kehadele. Aga kas kõigile kolmemõõtmelistele hulkadele saab omistada ruumala? Sellisel funktsioonil Ruumala(x), peavad olema (vähemalt) järgmised omadused:

Kui x ja y on ühisosata hulgad, siis
Ruumala(x ja y) = Ruumala(x) + Ruumala(y)
Hulga ruumala ei muutu, kui teda pöörata või nihutada.
Tühihulga ruumala on 0.
Ruumala on alati mittenegatiivne, kuid võib olla lõpmatu.
(1 × 1 × 1)-kuubi ruumala on 1.

Paraku osutub, et on võimatu leida ruumala definitsiooni, mis täidaks kõik need nõuded. Need tingimused on loogiliselt vastuolulised. Lahendus on nimetada ühtesid hulki mõõtuvateks ja teisi, väga veidraid hulki mittemõõtuvateks, ning leppida sellega, et ruumala saab omistada ainult mõõtuvatele hulkadele.

Kui esimest tingimust tugevdada nii, et see kehtiks ka loenduva hulga hulkade korral (nagu matemaatikas peaaegu alati eeldatakse), siis ei saa sarnaselt defineerida ka pindala mõõtmes 2  ega pikkust mõõtmes 1. 

Banachi-Tarski paradoks

pisi|Kera saab jagada viieks tükiks, millest saab kokku panna kaks niisugust kera!

Stefan Banach ja Alfred Tarski tõestasid 1924. aastal avaldatud artiklis järgmise tulemuse, mida paljud pidasid väga üllatavaks: "Iga kolmemõõtmeliste objektide 𝐴 ja 𝐵 paari puhul on võimalik jagada objekt 𝐴 teatud arvuks (𝑛) tükkideks ja neist tükkidest pöörete ja rööplükete teel moodustada objekt 𝐵 (ilma auke tekitamata)."Banach, Tarski. "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. – Fundamenta Mathematicae,
1924, 6: 244–277. Teoreem ütleb näiteks, et "herne" (väikese objekti) saab jagada lõplikuks arvuks tükkideks, mille omakorda saab kokku panna üheks (õõnsusteta) "Päikeseks". Seda nimetatakse Banachi-Tarski paradoksiks. Lahendus peitub selles, et "tükid" on nii äärmiselt keerulised, et nende ruumala ei ole võimalik mõistlikult defineerida. Tükkidel on muu hulgas omadus, et pööramisel nende ruumala muutub.

 Mõõdu konstruktsioon 

Selle asemel et loobuda mõnest ülaltoodud nõudest, lahendatakse probleem tavaliselt nii, et mõõt defineeritakse ainult mõõtuvate hulkade kogumil. Osutub, et selle kogumi saab teha nii suureks, et see hõlmab sisuliselt kõiki hulki, millega matemaatikud praktikas kokku puutuvad.

Konstruktsioon ise seisneb selles, et mõõt defineeritakse esmalt teatud lihtsatel hulkadel, millega saab kõik hul­kad ära katta. Näide lihtsatest hulkadest on kõik poollõigud , millele omistatakse mõõt . Mingi hulga mõõt on vähim võimalik summa nende lihtsate hulkade mõõtudest, millega see hulk ära kaetakse. Seda nimetatakse välismõõduks, mis on defineeritud kõikide alamhulkadele. See ei täida veel kõiki mõõdule seatud nõudeid. Välismõõdu abil saab defineerida mõõtuvuse ja näidata, et välismõõt on mõõtuvate hulkade puhul tegelikult mõõt.

 Formaalne definitsioon 
Mõõt  on funktsioon, mis on defineeritud σ-algebral  üle hulga  ja mille väärtused kuuluvad hulka  (vt laiendatud reaalsirge), ning rahuldab järgmisi tingimusi:

 mittenegatiivsus: ühegi hulga mõõt ei ole negatiivne:



kõikide  korral;

 tühihulga mõõt on null:



 Loenduv aditiivsus ehk σ-aditiivsus: kui , ,  , ... on σ-algebrasse  kuuluvate paarikaupa ühisosata hulkade lõpmatu jada, siis



σ-algebra  elemente nimetatakse mõõtuvateks hulkadeks ja järjestatud kolmikut  nimetatakse mõõduruumiks.

Omadused
Olgu  mõõduruum.

Monotoonsus: kui , kusjuures , siis

.

Subaditiivsus: kui  on (mitte tingimata ühisosata) hulkade jada, siis 

.

Mõõdul on järgmised koonduvusomadused:

 Kui , siis

.

 Kui , kus , siis

.

Piirväärtused  ja  leiduvad, sest mõõt on monotoonne:


Kui , siis defineerime: .

Piirväärtustega seotud omadusi rakendatakse Lebesgue'i integraali defineerimisel.

 Lihtsad mõõdud 

Diraci mõõt on kõige lihtsam mõõt. See keskendub üksnes sellele, kas hulgas leidub teatud kindel punkt. Diraci mõõt on oluline funktsionaalanalüüsis, eriti üldistatud funktsioonide teoorias. 

Loendav mõõt, mis on Diraci mõõtude summa, on lihtne mõõt, mis on võrdne hulga elementide arvuga. Sellel mõõdul on ka rakendusi jadade teoorias.

Viited

Kirjandus
Paul Halmos. Measure theory, D. van Nostrand and Co. 1950.

Kategooria:Matemaatika