Lokaalselt kompaktne ruum

Lokaalselt kompaktne ruum on topoloogiline ruum, mille igal punktil leidub lahtine ümbrus, mille sulund on kompaktne.О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов.  Элементарная топология, М.: МЦНМО 2012, ISBN 978-5-94057-894-9. П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию, М.: ГИИТЛ 1948Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Т. М. Фоменко. Введение в топологию, 2., täiendatud trükk, Наука. Физматлит. 1995, ISBN 5-02-014118-6. Mõnikord kasutatakse nõrgemat definitsiooni: piisab sellest, kui igal punktil on kompaktne ümbrus (ümbruse lahtisust ei nõuta).Дж. Л. Келли. Общая топология, М.: Наука 1968.James Munkres. Topology, 2. trükk, Prentice Hall 1999, ISBN 0-13-181629-2. Hausdorffi ruumi korral on need definitsioonid ekvivalentsed.

Näited ja vastunäited

Mis tahes kompaktne ruum on lokaalselt kompaktne.
Mis tahes eukleidiline ruum  on lokaalselt kompaktne. See järeldub Heine-Boreli lemmast ning sellest, et lõpliku arvu kompaktsete ruumide korrutis on kompaktne.
Ent ükski lõpmatumõõtmeline normeeritud ruum ei ole lokaalselt kompaktne.
Mis tahes topoloogiline muutkond on lokaalselt kompaktne.
Diskreetsed ruumid on lokaalselt kompaktsed (neid nimetatakse mõnikord 0-mõõtmelisteks muutkondadeks), kuid lõpmatud diskreetsed ruumid ei ole kompaktsed.
Lokaalselt kompaktse ruumi mis tahes kinnine alamhulk on lokaalselt kompaktne.

Omadused

Lokaalselt kompaktne Hausdorffi ruum on Tihhonovi ruum.

Topoloogilise ruumi X ühepunktiline kompaktifikatsioon on Hausdorffi ruum parajasti siis, kui on lokaalselt kompaktne Hausdorffi ruum.

Lokaalselt kompaktse Hausdorffi ruumi alamruum 𝑋 on lokaalselt kompaktne parajasti siis, kui leiduvad kinnised hulgad 𝐴 ja 𝐵 nii, et 𝑋=𝐴∖𝐵. Sellest järeldub, et lokaalselt kompaktse Hausdrffi ruumi tihe alamhulk on lokaalselt kompaktne parajasti siis, kui ta on lahtine. Veel enam, kui suvalise Hausdorffi ruumi alamruum on lokaalselt kompaktne, siis saab selle esitada kahe kinnise hulga vahena; pöördväide ei kehti.

Topoloogiliste ruumide pere korrutis on lokaalselt kompaktne parajasti siis, kui kõik ruumid selles peres on lokaalselt kompaktsed ning kõik peale võib-olla lõpliku arvu on kompaktsed.

Lokaalselt kompaktse ruumi kujutis pideva lahtise kujutuse korral Hausdorffi ruumi on samuti lokaalselt kompaktne.

Lokaalselt kompaktsete Hausdorffi ruumide faktorruumid on kompaktselt tekitatud ruumid. Iga kompaktselt tekitatud Hausdorffi ruum on mõne lokaalselt kompaktse Hausdorffi ruumi faktorruum.

Lokaalselt kompaktsed rühmad

Lokaalne kompaktsus on eriti oluline topoloogiliste rühmade uurimisel, sest igal lokaalselt kompaktsel rühmal, mille kandja on Hausdorffi ruum, saab defineerida Haari mõõdu, mis võimaldab funktsioone sellel rühmal integreerida. Lebesgue'i mõõt ruumis  on Haari mõõdu erijuht.

Rühm, mis on Pontrjagini mõttes duaalne topoloogilise Abeli rühmaga 𝐴, on lokaalselt kompaktne parajasti siis, kui 𝐴 on lokaalselt kompaktne. Täpsemalt, lokaalselt kompaktsete Abeli rühmade kategooria on eneseduaalne Pontrjagini duaalsuse suhtes.

Lokaalselt kompaktseid Abeli rühmi rakendatakse harmoonilises analüüsis (abstraktses harmoonilises analüüsis).

 Viited

Välislingid
Локально компактное пространство, Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
Locally Compact, MathWorld

Kategooria:Topoloogilised ruumid