Ehrenfesti teoreem

Ehrenfesti teoreem kvantmehaanikas seob vaadeldava suuruse keskväärtuse ajatuletise selle suuruse ja Hamiltoni operaatori kommutaatori keskväärtusega. Lühidalt kirjeldab see, kuidas mistahes kvantmehaanilise suuruse keskväärtus muutub ajas. Lecture 9: Ehrenfest Theorem, Intermediate Quantum Mechanics. (2015), lk 2. 

Ehrenfesti teoreem ilmus 1927. aastal Austria füüsiku Paul Ehrenfesti artiklis „Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik“, kus ta näitas, et kvantmehaaniliste suuruste keskväärtused järgivad Newtoni II seadust. Wheeler, Nicholas (1998). Remarks concerning the status & some ramificiations of Ehrenfest’s Theorem. Reed College, lk 1, 3-4.

 Tuletus Schrödingeri võrrandi kaudu 
Eeldame, et kvantsüsteemi olekut saab täielikult kirjeldada kompleksse lainefunktsiooniga . Kui vaadeldav suurus on määratud hermiitilise operaatoriga , siis on suuruse keskväärtus määratud avaldisega

Võttes sellest täistuletise ajas saame

Schrödingeri võrrand ja selle komplekskonjugaat

Asendades need tuletisse saame

Kokkuvõttes

Kui vaadeldav suurus  ei sõltu ajast ehk kehtib , saame lihtsustatud kuju

 Seos klassikalise mehaanikaga 

 Diraci vastavusprintsiip 
Diraci vastavusprintsiip võimaldab klassikalise mehaanika võrrandeid viia kvantmehaanilisse vormi, asendades Poissoni sulud vastavate operaatorite kommutaatoritega. Klassikalises mehaanikas kirjeldab mingi suuruse  ajas muutumist järgmine võrrand:

Näeme, et esimene liige vasakul pool kirjeldab suuruse  otsest ajasõltuvust ning ülejäänud liikmed  kirjeldavad kaudset ajasõltuvust koordinaatide  ja impulsside  kaudu. Kasutame Hamiltoni liikumisvõrrandeid:

Asendades need, saame:

kus  on Poissoni sulg. Võrreldes saadud tulemust Ehrenfesti teoreemi definitsiooniga, kus oleme vahetanud viimases seoses kommutaatorite järjekorra

saame tuletada Diraci vastavusprintsiibi, mis üldiselt avaldub kujul

Gilmore, Robert (2010). ''Ehrenfest Theorems''. Physics Department, Drexel University

 Klassikalised liikumisvõrrandid 
Ehrenfesti teoreemi abil saab tuletada seosed, mis meenutavad klassikalise mehaanika liikumisvõrrandeid. Eeldame, et tegemist on massiga osakesega potentsiaaliväljas . Hamiltoni operaator avaldub kujul:

Kui  ning  ei sõltu ajast, siis Ehrenfesti teoreemi üldkujus osatuletise liige puudub ning kommutaatori kaudu saame:

Kuna kehtib seos , siis saame:

mis on vastav klassikalise mehaanika seosele  impulsi jaoks. 

Samamoodi, kui , siis:

Teades, et , saame:

Tuletatud liikumisvõrrandid annavad meile seose:

ehk Ehrenfesti teoreem viib kujule, mis meenutab Newtoni II seadust



Siin eeldame, et tegemist on konservatiive jõuväljaga, mis defineeritakse klassikalises mehaanikas kujul

Klassikalise konservatiivse jõuvälja definitsiooni põhjal avaldub potentsiaal kvantmehaanikas järgmiselt:

See konservatiivse jõuvälja tõlgendus kvantmehaanikas erineb Ehrenfesti teoreemi põhjal tuletatust kasutatavast, sest 

 Klassikalise lähenduse kehtivus 
Ehrenfesti teoreemi põhjal kehtib kvantmehaanikas liikumisvõrrandi kuju, mis meenutab klassikalist mehaanikat, juhul kui rahuldub seos

See seos kehtib vaid erijuhtudel, aga võib olla ka hea lähendus , kui lainepakett on koondunud kitsasse piirkonda.  

Kui potentsiaal on lineaarne, näiteks , siis , mis tähendab, et

Kui potentsiaal on ruutvõrdeline, näiteks harmoonilise 
ostsillaatori korral  , siis  ning

Kui potentsiaal on aga kirjeldatav näiteks , siis võrdsus ei kehti täpselt. Sel juhul saab potentsiaali tuletise operaatori arendada Taylori ritta

mille keskväärtus annab:

kus  on lainepaketi dispersioon. Kui , siis hajuvus on väike ja seos kehtib heas lähenduses

Sellisel juhul järgib osakese keskmine asukoht kvantmehaanikas ligikaudu sama trajektoori, mida ennustaks klassikaline mehaanika. Kui aga lainepakett on laiali hajunud, siis erinevus  ja  vahel kasvab ning klassikaline lähendus ei kehti. 

 Viited 

Kategooria:Kvantmehaanika