Mooduli ruut

Mooduli ruut on kompleksarvu mooduli ruut. Kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni mooduli ruut on funktsioon, mille väärtused on lähtefunktsiooni väärtuste mooduli ruudud. 

Mooduli ruutu kasutatakse näiteks signaaliteoorias, et arvutada signaali koguenergiat. Kvantmehaanikas rakendada mooduli ruutu, et arvutada olekute tõenäosusi, näiteks osakeste viibimistõenäosusi. 

 Definitsioonid 

 Arvud
pisi|Reaalarvude absoluutväärtuste graafik on normaalparabool

Reaalarvu  mooduli ruut   on lihtsalt:

.

Kompleksarvu  (reaalosaga  ja imaginaarosaga ) mooduli ruut  aga (juhu kui ) ei ole mitte selle ruut  , vaidMay-Britt Kallenrode. Rechenmethoden der Physik: Mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik, Springer 2005, ISBN=3-5402-7482-0, lk 91.

.

Siin on  arvu  kaaskompleksarv.

Mooduli ruut on alati mittenegatiivne reaalarv.

 Funktsioonid 
pisi|Siinusfunktsiooni ruut

Funktsioonide mooduli ruut defineeritakse punktikaupa, nii et saadakse jälle funktsioon. Reaalarvuliste väärtustega funktsiooni mooduli ruut     on antud valemiga

ning võrdub seega funktsiooni ruuduga. Kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni   mooduli ruut on defineeritud valemiga

. 

Funktsiooni mooduli ruut on seega sama määramispiirkonnaga  reaalarvuliste väärtustega funktsioon, mille väärtused võrduvad lähtefunktsiooni väärtuste mooduli ruutudega. Reaalarvulisel juhtumil tähistatakse seda  ja kompleksarvulisel juhtumil ka .Klaus Stierstadt. Thermodynamik: von der Mikrophysik zur Makrophysik, Springer 2010, ISBN 3-642-05098-0, lk 83–84

 Omadused 

Järgnevalt on ära toodud kompleksarvude mooduli ruudu põhiomadused. Need omadused kanduvad puunktikaupa üle funktsioonidele. 

 Pöördväärtus 

Kompleksarvu  pöördväärtuse kohta kehtib

.

Niisiis võib selle arvutada, jagades kaaskompleksarvu arvu mooduli ruuduga. 

 Ruudu moodul 

Kompleksarvu mooduli ruut võrdub arvu ruudu mooduliga, stIlja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig. Taschenbuch der Mathematik, 7. trükk, Harri Deutsch 2008, ISBN 3-817-12007-9, lk 37.

.

Nimelt kehtib

.

Polaarkujul , kus , saadakse vastavalt 

.

 Korrutis ja jagatis 

Kahe kompleksarvu  ja  puhul kehtib:

.

Analoogselt kehtib kahe kompleksarvu () puhul:

.

Kahe kompleksarvu korrutise või vastavalt jagatise mooduli ruut on niisiis nende arvude mooduli ruutude  korrutis või vastavalt jagatis. Need omadused on ka juba moodulil endal. 

 Summa ja vahe 

Kahe kompleksarvu summa või vastaval vahe puhul kehtib vastavalt:Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2. trükk, CRC Press 2010, ISBN=1-420-03522-3, lk 22.

.

Kui kujutleda kompleksarve  ja   ning nende summat või vastavallt vahet   punktidena komplekstasandil, siis vastab see seos täpselt koosinusteoreemile tekkiva kolmnurga kohta. Kui mõlema kompleksarvu moodul on 1, siis saame kahe kompleksarvu summa mooduli ruuduks:

.

 Rakendused 

 Signaaliteooria 

Signaaliteoorias on pideva kompleksarvuliste väärtustega signaali  koguenergia defineeritud integraalina üle selle mooduli ruudu, st 

.

Koguenergia vastab seega signaali -normile. Üks keskne tulemus on siin Planchereli teoreem, mille järgi signaali energia ajapiirkonnas võrdub signaali energiale sagedusepiirkonnas. Kui  on funktsiooni  (normeeritud) Fourier' teisenduse tulem, siis kehtibUwe Kiencke, Michael Schwarz, Thomas Weickert. Signalverarbeitung: Zeit-Frequenz-Analyse und Schätzverfahren, Oldenbourg 2008, ISBN 3-486-58668-8, lk 401.

.

Fourier' teisendus säilitab niisiis signaali koguenergia ja on seega unitaarne kujutus.

 Kvantmehaanika 

Mooduli ruutu kasutatakse sageli ka kvantmehaanikas.Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë. Quantenmechanik, kd 1, 3. trükk,  de Gruyter 2007, ISBN 3-110-19324-8, lk 90–91.  Bra-ket-tähistuses kirjutatakse aluseks oleva Hilberti ruumi kahe vektori  ja    skalaarorrutis kui . Kui mingi vaadeldav on antud operaatorina  
mittekõdunud omaväärtusega , mis 
vastab normeeritud omavektorile  , st

,

siis saab tõenäosuse mõõta olekus  vaadeldava  väärtus  arvutada vastava tõenäosusamplituudi kaudu:

.

Schrödingeri võrrandis figureeriva normeeritud lainefunktsiooni mooduli ruut punktikaupa mõttes võrdub osakese viibimistõenäosustihedusega:

.

Viited

Kategooria:Matemaatika