Sierpiński ruum

Sierpiński ruum ehk sidus kaksikpunkt ehk Aleksandrovi kaksikpunkt ehk sidus kaheelemendiline ruum on lõplik topoloogiline ruum, mis koosneb kahest punktist nii, et üks ühest punktist koosnev alamhulk on lahtine ja mitte kinnine ning teine kinnine ja mitte lahtine. Sierpiński ruum on saanud nime Wacław Sierpiński järgi.

Sierpiński ruum on üks klassikaline topoloogilise ruumi näide.  

 Definitsioon ja põhiomadused
Sierpiński ruumi  kandja on ; selle lahtised hulgad on  ja . Elementide alternatiivsed tähistused ja nimetused on näiteks  ("kinnine") ja  ("lahtine") ning 0 ja 1. 

Sierpiński ruumi kinnised hulgad on  

Nii et üheelemendiline hulk  on kinnine ja hulk  on lahtine ( on tühihulk).

Sulund on ruumis S määratud nii: 

Lõplik topoloogiiline ruum on ka üheselt määratud oma spetsialisatsioonieeljärjestusega. Sierpiński ruumi puhul on see eeljärjestus tegelikult osaline järjestus ja on antud nii:

Topoloogilised omadused
Sierpiński ruum  on nii lõpliku seesoleva punkti topoloogia (seesoleva punktiga ) kui ka lõpliku väljasoleva punkti topoloogia (väljasoleva punktiga ) erijuht. Sellepärast on ruumil  palju ühiseid omadusi ühe või mõlemaga neist klassidest.

Sierpiński ruum on vähim mittediskreetse ja mittetriviaalse topoloogiaga ruum. Ta on (homöomorfismi täpsusega) ainus niisugune kaheelemendiline ruum.

Sierpiński ruum on Aleksandrovi ruum.

Eraldatavus

Punktid  ja  on ruumis S topoloogiliselt eristatavad, sest hulk  on lahtine hulk, millesse kuulub ainult üks neist punktidest. Punktil  on ümbrus , millesse ei kuulu punkt . Järelikult on S Kolmogorovi ruum ehk T0-ruum. 

Ent S ei ole T1-ruum, sest punkt ei moodusta kinnist hulka ja punktil  ei ole ümbrusi peale kogu ruumi. Sellest järeldub, et S ei ole Hausdorffi ruum ega Tn-ruum ühegi  korral. Sierpiński ruum on mitte-Hausdorffi ruumi kõige lihtsam sisuline näide. 

S ei ole regulaarne (ega täielikult regulaarne ruum), sest punkti  ja temaga mittelõikuva kinnist hulka  ei saa ümbrustega eraldada. (Pealegi tähendaks regulaarsus koos tingimusega T0, et tegu on Hausdorffi ruumiga.)

On tühi tõde, et S on normaalne ja täielikult normaalne, sest seal ei ole mittetühje eraldatud hulki.

S ei ole perfektselt normaalne, sest eraldatud kinnisi hulki  ja  ei saa pideva kujutusega täpselt eraldada. Tõepoolest,   ei saa olla ühegi pideva kujutuse  nullihulk, sest iga selline kujutus on konstantne.

Loenduvus ja kompaktsus
Nagu kõik lõplikud topoloogilised ruumid, on ka Sierpiński ruum  kompaktne ja selles kehtib  teine loenduvusaksioom. Sierpiński ruumis kehtib teine loenduvusaksioom. Ta on Lindelöfi ruum ja separaabel ruum.

Kompaktne alamhulk  ruumis S ei ole kinnine, mis näitab, et kompaktsed alamhulgad T0-ruumides ei pea olema kinnised.

Ruumi S igasse lahtisesse kattesse peab kuuluma ruumi S kandja, sest see  on  punkti 0 ainus lahtine ümbrus. Sellepärast leidub ruumi S igal lahtisel kattel lahtine alamkate, millesse kuulub ainult hulk, mille ainus element on ruumi S kandja. (See on ka Sierpiński ruumi kompaktsuse tõestus.)

Sellest järeldub, et S on täiesti normaalne.

Sidusus
Sierpiński ruum S on hüpersidus (sest igasse mittetühja lahtisesse hulka kuulub 1) ja supersidus  (sest igasse mittetühja kinnisesse hulka kuulub 0).

S on järelikult sidus ja liinsidus. 

Tee punktist 0 punkti 1 ruumis S on antud kujutusega:  ja  kõikide  korral. Kujutus  on pidev, sest , mis on lahtine ruumis I. 

Nagu kõik lõplikud topoloogilised ruumid, on S lokaalselt liinsidus.

Sierpiński ruum on kokkutõmbuv, nii et ruumi S fundamentaalrühm on triviaalne. Ka selle kõrgemad homotoopiarühmad on triviaalsed.

S ei ole kaarsidus.

Kazimierz Alster tõestas, et Sierpiński ruum on sidusate ruumide klassi universaalne kujutis.

Koonduvus
Iga jada ruumis S koondub punktiks 0, sest selle punkti ainus ümbrus on ruumi S kandja.

Jada ruumis S koondub punktiks 1 parajasti siis, kui jadas on ainult lõplik arv nulle (st jadas on  lõpuks ainult ühed).

Punkt 1 on jada kuhjumispunkt parajasti siis, kui jadas on lõpmata palju ühtesid.
Näited:
1 ei ole jada  kuhjumispunkt.
1 on jada  kuhjumispunkt (kuid mitte piirväärtus).
Jada  koondub nii 0-ks kui ka 1-ks.

Metriseeruvus

Sierpiński ruum S ei ole metriseeruv ega isegi pseudometriseeruv, sest iga pseudomeetriline ruum on täielikult regulaarne, aga Sierpiński ruum ei ole isegi mitte regulaarne.

Ruumi S tekitab hemimeetrika (ehk pseudokvaasimeetrika), kus  ja 

Pidevad kujutused iseendasse ja homöomorfismide rühm
On ainult kolm pidevat kujutust Sierpiński ruumist S iseendasse: samasusteisendus ja konstantsed kujutused punktidesse 0 ja 1.

Järel1kult, et Sierpiński ruumi S homöomorfismide rühm on triviaalne.

Karakteristliku funktsiooni analoog
Kujutus  topoloogilisest ruumist  sidusasse kaksikpunkti on pidev siis ja ainult siis, kui punkti  originaal  on lahtine ruumis  (ehk punkti  originaal  on kinnine ruumis ). 

Kui  on suvaline hulk ja  on kaheelemendiline hulk, siis vastab igale kujutusele   alamhulk  ja ümberpöördult.

Hulgaga  analoogset osa etendab  pidevate kujutuste ja lahtiste alamhulkade puhul. Olgu  suvaline topoloogiline ruum. Pideva kujutuse  puhul kehtib pideva kujutuse  definitsiooni järgi, et lahtiste hulkade originaalid on lahtised.  ja . Huvitava tulemuse annab . See on nimelt ruumi  lahtine alamhulk ja  on pideva kujutusega  üheselt määratud.

Sierpiński ruum on Kolmogorovi ruumide kategooria kogeneraator:   kui  pidevad kujutused Kolmogorovi ruumist  Kolmogorovi ruumi , kusjuures , siis eksisteerib pidev kujutus  nii, et . Tõepoolest, kui  korral , siis on vähemalt  lahtise ümbrusega  punktist  eraldatud või ümberpöördult (sest  on Kolmogorovi ruum). Siis on  soovitud kujutus . Tegelikult on Kolmogorovi ruumide kategooria kogeneraatorid parajasti kõik Kolmogorovi ruumid, millel on alamruum, mis on homöomorfne ruumiga  ist.Dieter Pumplün. Elemente der Kategorientheorie,  Spektrum – Akademischer Verlag: Heidelberg u. a.1999, ISBN 3-86025-676-9, lk 80.

Algebralises geomeetrias
Algebralises geomeetrias tekib Sierpiński ruum diskreetse absoluutväärtusega ringi , näiteks  (täisarvude ringi lokaliseering algarvu  tekitatud algideaalis) spektrina. Spektri  üldpunkt, mis tuleb nullideaalist, vastab lahtisele punktile 1, spektri  eripunkt, mis tuleb ainsast  maksimaalsest ideaalist, vastab kinnisele punktile 0.

Aleksandrovi kuup
Aleksandrovi kuup – sidusa kaksikpunkti aste  — on universaalne ruum eralduvusaksioomiga  ruumidele (Kolmogorovi ruumidele) kaaluga , kus , st mis tahes Kolmogorovi ruum kaaluga  on homöomorfne ruumi  alamruumigaЭнгелькинг, Р. Общая топология, М.: Мир 1986, lk 138, teoreem 2.3.26.П. С. Александров. К теории топологических пространств. – ДАН СССР, 1936, kd  2, lk 51–54..

Rakendused
Sierpiński ruumil on rakendusi formaalses semantikas ja rekursiivsusteoorias.Martín Escardó. Synthetic topology of data types and classical spaces, Elsevier  2004. Ta on Scotti topoloogia lahtiste hulkade klassifitseeriv ruum.   

Vaata ka

Pseudoringjoon
Freydi kate

 Viited 

Kategooria:Topoloogilised ruumid