Algteguriteks lahutus

Algteguriteks lahutus ehk lahutus algteguriteks on positiivse naturaalarvu  esitus algarvude  korrutisena. Neid 
algarve nimetatakse siis arvu  algteguriteks. See esitus on ühene (kui mitte arvestada tegurite järjekorda; see on multihulk).

Algteguriteks lahutamine on üks arvuteooria põhilisi ja klassikalisi tööriistu. Seda käsitleb aritmeetika põhiteoreem. 

Seni ei ole teada efektiivset algteguriteks lahutamise meetodit mis tahes arvu jaoks.  

 Arv Tegurid
üksikult Tegurite arv Tegurid
kanooniliselt  1 – 0 –  2  1   3  1   4  2   5  1   6  2   7  1   8  3   9  2   10  2   11  1   12  3   13  1   14  2   15  2   16  4   17  1   18  3   19  1   20  3  

 Definitsioonid 
Olgu  positiivne naturaalarv. Arvu  nimetatakse arvu  algteguriks,
 kui  on arvu  jagaja ja
  on algarv.

Algteguriteks lahutus on arvu  esitus tema algtegurite korrutisena.  Et naturaalarvude korrutamine on kommutatiivne ja assotsiatiivne, on algtegurite järjekord arvuteooria seisukohast ebaoluline. Arvu 1 lahutust algteguriteks võib vaadelda tühja korrutisena.   Kui  ise on algarv, siis ta on ise ainuke algtegur.  Kui algtegureid on rohkem kui üks, siis nimetatakse arvu    kordarvuks. Üks algtegur võib korrutises esineda mitu korda ning seetõttu on algtegurite arvust rääkides tarvis täpsustada, kas jutt on erinevate algtegurite arvust või tegurite arvust kordsust arvestades. Korduvalt esinevad tegurid saab astmenäitajate abil kergesti loetavalt kokku võtta. Kui  erinevat algtegurit  on kasvavalt järjestatud (), siis räägitakse ka kanoonilisest algteguriteks lahutusest:

Algteguri  astmenäitaja  on algteguri   kordsus arvus . Ta näitab, mitu korda  jagub arvuga . Kordsust arvestades on arvul  siis  algtegurit.

Üks samaväärne kirjutusviis on :
kusjuures astmenäitajad  on nullist erinevad ainult lõpliku arvu  korral.

 Algteguriteks lahutamise näiteid 

 (algarv)

 (kahe aste)
, kanoonilisel kujul 
 (kümne aste)

 Aritmeetika põhiteoreem 

Väited algteguriteks lahutuse olemasolu kohta iga positiivse naturaalarvu korral ja selle ühesuse kohta kanoonilisel kujul on aritmeetika põhiteoreem. Kumbki väide formuleeritakse ja tõestatakse eraldi. Tõestused on elementaarsed, klassikaliselt formuleeritakse need vastuväitelistena ja need kasutavad naturaalarvude hulga täielikku järjestatust. Aritmeetika põhiteoreemi tõestas esimest korda täielikult ja korrektselt Carl Friedrich Gauß  teoses "Disquisitiones arithmeticae". Pisut teisel kujul oli see teoreem tuntud juba Eukleidesele.Franz Lemmermeyer: Zur Zahlentheorie der Griechen (PDF; 208 kB)

 Olemasolu tõestus 
Arvu  kohta ei ole midagi tõestada. Iga algarv on ise enda lahutus algteguriteks. Jääb üle näidata, et ülejäänud naturaalarvude puhul on lahutus algteguriteks olemas. 

Oletame, et ülejäänud naturaalarvude seas on selliseid, mille korral algteguriteks lahutust ei eksisteeri. Et naturaalarvude hulk  
on täielikult järjestatud, siis on selliste arvude seas olemas vähim, nimelt . Et   ei ole algarv, eksisteerivad arvul   mittetriviaalsed jagajad  , nii et , kusjuures . Et  on vähim arv, mille puhul  algteguriteks lahutust ei ole olemas, siis eksisteerib arvu  korral (või vastavalt arvu  korral) algteguriteks lahutus  (või vastavalt ). Siis on  arvu  algteguriteks lahutus, ja see on oletusega vastuolus.

 Ühesuse tõestus 
Arvu  ja algarvude puhul pole midagi näidata. Jääb näidata, et ülejäänud positiivsete naturaalarvude korral eksisteerib ülimalt üks lahutus algteguriteks. 

Oletame, et ülejäänud arvude seas eksisteerivad niisugused, millel eksisteerib mitu erinevat algarvudeks lahutust. Et naturaalarvude hulk on täielikult järjestatud, siis nende seas eksisteerib vähim niisugune arv . Kui arvul  eksisteerib mitu erinevat algteguriteks lahutust, siis tal eksisteerib kaks erinevat algteguriteks lahutust  ja . Peale selle,  ei ole algarv, järelikult 

Peale selle võib eeldada, et . Tõepoolest, kui mõni tegur oleks ühine, näiteks   , siis oleks . Et  on vähim kahe erineva algteguriteks lahutusega arv, oleks , nii et ülaltoodud algteguriteks lahutused oleksid identsed, ja see oleks vastuolus  arvu  valikuga.

Et  jagab korrutist  , siis Eukleidese lemma järgi jagab  ka mõnd selle korrutise sobivalt valitud jagajat.  See ei saa olla mõni algteguritest  , sest muidu oleks . Järelikult jagab  mõnd hulga   erineva elemendi korrutist. Seda argumenti saa korrata, st  jagab mõnd hulga   erineva elemendi korrutist jne. Lõpuks peab   jagama mõnd hulga  elementi. Et tegu on algarvudega, on seega . See on vastuolu.

 Viited 

Kategooria:Matemaatika