Separaabel ruum

Separaabel ruum on topoloogiline ruum, millel on loenduv tihe alamhulk; st eksisteerib selle ruumi elementide jada  nii, et selle ruumi igasse mittetühja lahtisesse alamhulka kuulub vähemalt üks selle jada element.

Nagu teisedki loenduvusaksioomid, on separaablus "suurusepiirang" mitte tingimata võimsuse mõttes (kuigi osutub, et Hausdorffi ruumi puhul see nii on), vaid peenemas topoloogilises mõttes. Iga pidev kujutus separaablil ruumil, mille kujutis on Hausdorffi ruumi alamhulk, on määratud oma väärtustega loenduval tihedal alamhulgal.

Teine loenduvusaksioom on üldiselt tugevam omadus kui separaablus, kuid metriseeruvate ruumide klassis on need omadused ekvivalentsed.

Esimesed näited
Iga topoloogiline ruum, mis on ise lõplik või loenduv hulk, on separaabel, sest kogu ruum on iseenda loenduv tihe alamhulk. Mitteloenduva separaabli ruumi tähtis näide on arvtelg, millel ratsionaalarvud moodustavad loenduva tiheda alamhulga. Sarnaselt on kõikide pikkusega  ratsionaalarvude vektorite   hulk kõikide pikkusega  reaalarvude vektorite hulga  loenduv tihe alamhulk; nii et iga   korral on -mõõtmeline eukleidiline ruum separaabel.

Mitteseparaabli ruumi lihtne näide on mitteloenduva võimsusega diskreetne ruum.

Allpool on veel näiteid. 

Separaablus ja teine loenduvusaksioom
Mis tahes ruum, milles kehtib teine loenduvusaksioom, on separaabel: kui  on loenduv baas, siis mis tahes valik  mittetühjast baasist  annab loenduva tiheda alamhulga. Metriseeruv ruum on separaabel siis ja ainult siis, kui selles kehtib teine loenduvusaksioom, ja see on nii siis ja ainult siis, kui see on Lindelöfi ruum.

Teise loenduvusaksioomiga ruumi suvaline alamruum on teise loenduvusaksioomiga. Separaabli ruumi alamruumid ei pruugi olla   separaablid (vaata allpool). 

Separaabli ruumi mis tahes pidev kujutis on separaabel.Stephen Willard. General Topology, Addison-Wesley 1970, ISBN 978-0-201-08707-9, teoreem 16.4a. Teise loenduvusaksioomiga ruumil ei pruugi isegi faktorruum olla teise loenduvusaksioomiga.

Kategooria:Topoloogilised ruumid