Kvaternioonid

+Kvaternioonide korrutustabel↓ × →Vasakpoolne veerg näitab vasakpoolset tegurit, ülemine rida näitab parempoolset tegurit. Peale selle,  ja , kus , .
pisi|Kvaternioonide rühma Q8 Cayley graaf, mis näitab kuut arvudega i (punane, j (roheline) ja k (sinine) korrutamise tsüklit. (Kui pildile kaks korda klõpsata, avaneb Wikimedia Commonsi pilt, millel saab kursoriga hõljutades või klikkides tsükleid eraldi näha)

Kvaternioonid on üks arvuvald, mis laiendab reaalarvude valda ja kompleksarvude valda. Kvaternioonid kuuluvad hüperkompleksarvude hulka. 

Seda kirjeldas ning uuris süstemaatiliselt alates 1843. aastast William Rowan Hamilton;Albrecht Beutelspacher. 'Lineare Algebra, 7. trükk,  Vieweg+Teubner Verlag: Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, lk 30.Boris Abramovich Rozenfel'. The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space, Springer 1988, ISBN 9780387964584, lk 385. sellepärast nimetatakse neid ka Hamiltoni kvaternioonideks või Hamiltoni arvudeks. Hamilton rakendas neid ka mehaanikas. Olinde Rodrigues avastas need 1840 Hamiltonist sõltumatult.Gaußil on märkus kvadruuplite korrutamisse ja konjugeerimise kohta: Mutation des Raumes. – Carl Friedrich Gauß. Werke. Achter Band, König. Gesell. Wissen.: Göttingen 1900, lk 357–361, mis on dateeritud 1819. aastast. Lahknevused Hamiltonist puudutavad ainult tähistusi. Sellegipoolest tähistatakse kvaternioonide hulka Hamiltoni järgi sageli H või .

Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, mille puhul korrutamine sõltub tegurite järjekorrast, st ei ole kommutatiivne. See tähendab, on olemas kvaternioonid  ja , mille korral
 .
Mõned reaalarvude puhul kehtivad arvutamisreeglid seetõttu ei kehti, kuid assotsiatiivsus ja distributiivsus kehtivad ning kvaternioonid on pööratavad. Kvaternioonid olid esimene mittekommutatiivse kaldkorpuse näide.  

Kvaternioonid võimaldavad paljudel juhtudel arvutuslikult elegantselt kirjeldada kolmemõõtmelist eukleidilist ruumi ja teisi ruume, eriti pöörete kontekstis. Nad pakuvad huvi ka omaette ja aitavad näiteks tõestada Lagrange'i nelja ruudu teoreemi.

Konstrueerimine
Kvaternioonid tekivad reaalarvudest sel teel, et lisatakse (adjungeeritakse) kolm uut arvu, mille tähised on kompleksarvude imaginaarühiku eeskujul pannakse ,  und . Nii saadakse neljamõõtmeline arvuvald (vektorruum), mille arvudel on reaalosa, mis koosneb ühest komponendist, ja imaginaarosa, mis koosneb kolmest komponendist ja mida nimetatakse ka vektorosaks. 

Iga kvaterniooni saab üheselt esitada kujul
 ,
kus , , ,  on reaalarvud. Nii moodustavad elemendid  baasi, kvaternioonide standardbaasi üle . Liitmine käib komponentidekaupa ja pärandub vektorruumist. Uusi arve , ,  korrutamine käib Hamiltoni reeglite

järgi. Skalaariga korrutamine , mis samuti pärandub vektorruumist ja mille puhul skalaari peetakse iga elemendiga vahetatavaks (ei eristata vasak- ja parempoolset korrutamist), koos liitmisega, parempoolse distributiivsusega ja Hamiltoni reeglitega võimaldavad korrutamise laiendada baasilt kõikidele kvaternioonidele. Et nõnda kuulub ka iga skalaar  kvaternioonide hulka kui , siis võib reaalarvude ringi  käsitada kui kvaternioonide ringi  alamringi.

Nõnda defineeritud korrutamine on assotsiatiivne, on vasakult ja paremalt distributiivne, nii et kvaternioonid moodustavad ringi. See ring ei ole kommutatiivne, st kvaternioonide  ja  korrutised  ja  on üldjuhul erinevad. Multiplikatiivse rühma  tsenter, s.o selle rühma niisuguste elementide hulk, mis kommuteeruvad kõikide kvaternioonidega, on reaalarvude multiplikatiivne rühm .

Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, sest igal kvaternioonil  on pöördelement (pöördarv) , mille korral 
  .
Kommutatiivsuse puudumise tõttu välditakse murrujoonega tähistust, nagu näiteks .

Peale selle moodustavad kvaternioonid neljamõõtmelise jagamisega algebra üle reaalarvude korpuse  – ja see on isomorfismi täpsusega ainus niisugune.

 Tähistus 
Järgnevas tekstis kasutatakse niisuguseid tähiseid:  

Kui  on kvaternioon, siis selle reaalarvulisi komponente tähistatakse  bezeichnet, ja need seostatakse baasiga  järgmiselt:

Mõnikord on tarvis vektortähistusi. Siis võetakse komponendid  kokku kolmemõõtmeliseks vektoriks , nii et kvaterniooni  saab samastada neljamõõtmelise vektoriga .Vektori  võib vajaduse korral esitada ka veeruvektorina.

Analoogsed kokkulepped kehtivad teiste tähtede, nagu  jne kohta.

Vanemas kirjanduses tähistatakse kvaternioone mõnikord fraktuurkirja suurtähtedega ning imaginaarühikuid kui ühikvektoreid fraktuurkirja väiketähtedega, näiteks nii: 
 ,
kus .

Kompleksarve tähistatakse tavaliselt tähega  ja nende reaalarvulisi komponente tähtedega , .

 Põhitehted 
Kvaternioonide konstrueerimine on analoogne kompleksarvude konstrueerimisele, ainult et adjungeeritakse ühe arvu asemel kolm arvu, mida tähistatakse ,  ja .

Lineaarkombinatsioonid

üle baasi  moodustavad reaalarvuliste komponentidega  4-mõõtmelise kvaternioonide vektorruumi . Vektorruumina on  isomorfne vektorruumiga . Baaselement , mille abil saadakse reaalarvude hulga injektsioon kvaternioonide hulka (ja mis ühtlasi on ühikelement (neutraalne element korrutamise suhtes), jäetakse lineaarkombinatsioonis enamasti märkimata. Liitmine ja lahutamine toimuvad komponentide kaupa. 

Vektorruumist võetakse üle skalaariga korrutamine, s.o vasak- ja parempoolne reaalarvuga korrutamine, mis on komponentide suhtes distributiivne. See skalaariga korrutamine on kogu hulgal  defineeritud Hamiltoni korrutamise ahend. Baaselementide omavaheline Hamiltoni korrutamine või pisut laiemalt Hamiltoni korrutamine hulgas

toimub Hamiltoni reeglite järgi:

      .
Need reeglid koos  vahetatavusega iga elemendiga annavad täieliku tabeli tehte jaoks, mis osutub assotsiatiivseks ja teeb hulgast  rühma – kvaternioonide rühma.

Kui eeldada reeglit  (ja rühma aksioome), siis on reeglite  ja  kombinatsioon, milles väljendub kolme mittereaalarvulise kvaterniooniühiku tsüklilisus ja antitsüklilisus, asendatav üksikreegliga
  .
Selle üksikreegli  saaks asendada ka ükskõik millisega viiest alternatiivsest üksikreeglist , ,
,  ja .

Nende asendusreeglite, assotsiatiivsuse ning (vasak- ja parempoolse) distributiivsuse abil saab korrutamist jätkata kogu kvaternioonide vallale . Arve  võib käsitleda antikommuteerivate muutujatena. Kahe niisuguse arvu korrutamisel saab kasutada Hamiltoni reegleid.

Kahe kvaterniooni
    und   
kahe tehte valemid on 

ja

Tuletus:Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson.   Aircraft control and simulation : dynamics, controls design, and autonomous systems, 3. trükk, John Wiley & Sons, Inc.:  Hoboken, New Jersey 2016, ISBN 978-1-118-87098-3, lk 46.

Sellega on ringile vajalikud kaks tehet defineeritud. Kerge on veenduda, et kõik ringi aksioomid on rahuldatud.

Vastandelement on (nagu igas vektorruumis) korrutis skalaariga −1. Lahutamine on selle vastandelemendi liitmine.

Kaldkorpusele vajalik jagamine tuleb kommutatiivsuse puudumise tõttu asendada pöördelemendiga korrutamisega. Reaalarvulised tegurid kommuteeruvad arvudega  ning seetõttu kõikide kvaternioonidega, st kehtib näiteks 

 ,
aga

 .
Kõik elementaaralgebrast tuntud arvutusreeglid kvaternioonide puhul ei kehti, näiteks kehtib 

 .
Nii et binoomvalemid, nagu  ja , ei ole siin kasutatavad. Need eeldavad, et .

 Vasturing 
Kui  on mittekommutatiivne ring, siis saab korrutamise

abil moodustada teise, vasturingiks nimetatava ringi . Siin järelduvad kõik ringi seadused, st assotsiatiivsus ja mõlemad distributiivsused, algsetest seadustest. Selles ringis kehtivad kõik põhitehete all toodud arvutusreeglid selle erandiga, et ainult avaldiste puhul, milles kordajad on ainult kujul , kus  ja , on märk vastupidine. Peale selle kehtib lühivorm
 .

Carl Friedrich Gauß defineeriski kvaternioonide korrutamise aastal 1819 nii.

Peale selle on kruvireegli  orientatsioon ringis  peegelpildis. Samasusteisendus hulgal  on antiisomorfism ja konjugatsioon on isomorfism
 .

Mittekommutatiivsus on ekvivalentne ringide  ja  erinevusega. Et mõlemad ringid rahuldavad ringi aksioome, peavad need olema Otto HölderiOtto Hölder. Bemerkung zur Quaternionentheorie. – Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: aus dem Jahre 1889, lk 34–38. :de:s:Bemerkung zur Quaternionentheorie. mõttes ebatäielikud. Ratsionaalarvude, reaalarvude ja kompleksarvude aksiomaatika on selles mõttes täielikud. 

 Põhimõisted 

 Skalaarosa ja vektorosa 

Kvaterniooni

komponendi  erilise staatuse tõttu nimetatakse seda – nagu kompleksarvude puhulgi – reaalosaks või skalaarosaks
  ,
komponente  koos aga moodustavad imaginaarosaks ehk vektorosa 
 .
Sageli samastatakse vektorosa ka vektoriga .

 Konjugeerimine 
Kvaterniooni 

kaaskvaternioon ehk konjugeeritud kvaternioon on defineeritud kui 
 .
Saame seosed

ja
  ,
millest tuleneb, et 

ja
 <ref>Im Kompleksarvude puhul aga kehtib

sest imaginaarosaks loetakse imaginaarühiku math>\mathrm i_\Complex</math> kordaja, mis on reaalarv. Ja kehtib 
</ref>

Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooniga võrdne, siis ta on reaalarv, st tema vektorosa on nill. Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooni vastandarv, siis ta on puhas kvaternioon, st tema skalaarosa on null. 

Konjugeerimise tähtsad omadused on veel:
 Konjugeerimine on involutsioon.  und  reaalarvude  korral Konjugeerimine on -lineaarkujutus. Konjugeerimine on involutiivne antiautomorfism.     

 Skalaarkorrutis 
Kahe (ruumi  vektoritena käsitatava) kvaterniooni skalaarkorrutis  on defineeritud kui
  .
Kehtib
  .
Skalaarkorrutis on positiivselt määratud sümmeetriline bilineaarvorm, mille kaudu saab defineerida normi ja pikkuse ning määrata nurgad ja ortogonaalsuse. 

Skalaarkorrutise abil saab ka välja tuua kvaterniooni komponendid:
  .

 Vektorkorrutis 
Kahe kvaterniooni  vektorkorrutis on nende vektorosade vektorkorrutis. See osutub pooleks nende kommutaatorist. Kui  ja , siis


Kaks kvaterniooni on sellepärast parajasti siis omavahel vahetatavad ehk kommuteeruvad, kui nende vektorosad kui reaalarvulised vektorid on lineaarselt sõltuvad.   

Kvaternioonide korrutis kui skalaar- ja vektorkorrutis 
Kui samastada kvaternioonid
  ja
skalaari  ja vektori  paaridega
   , kus    ja  , kus    ,
siis saab korrutise esitada (kolmemõõtmelise) (punktiga tähistatud) skalaarkorrutise ja vektorkorrutise abil:
  .

 Viited 

Kirjandus
Carl Friedrich Gauß. Mutation des Raumes. – Carl Friedrich Gauß. Werke. Achter Band, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen 1900, lk 357–361. Dateeritud 1819. aastasse.
John Rowan Hamilton. On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra, kiri, John T. Gravesile, 17. oktoober 1843.
Otto Hölder. Bemerkung zur Quaternionentheorie. – Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: aus dem Jahre 1889, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung: Göttingen 1889, lk 34–38. :de:s:Bemerkung zur Quaternionentheorie.
Max Koecher, Reinhold Remmert. Hamiltonsche Quaternionen. – H.-D. Ebbinghaus jt. Zahlen, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X.
Jack B. Kuipers. Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press 2002, ISBN 0-691-10298-8.
Andrew J. Hanson. Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers 2006, ISBN 0-12-088400-3.
John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-134-9.

Kategooria:Matemaatika