Isomeetria

Isomeetria on kujutus ühest meetrilisest ruumist teise, mis säilitab meetrika (punktidevahelised kaugused). See tähendab, et kujutispunktide vaheline kaugus on võrdne lähtepunktide vaheliste kaugustega.

Definitsioon
Kui on antud kaks meetrilist ruumi  ja  ning  on kujutus omadusega 
  kõikide  korral, siis kujutust  nimetatakse isomeetriaks ruumist  ruumi . 

Selline kujutus on alati injektsioon. Kui  on isegi bijekrsioon, siis kujutist  nimetatakse isomeetriliseks isomorfismiks ning niisuguse kujutuse olemasolu korral nimetatakse ruume  ja  isomeetriliselt isomorfseteks.

 Erijuhtumid 
 Normeeritud ruumid 
Normeeritud ruumis ehk normeeritud vektorruumis  on kahe vektori vaheline kaugus  defineeritud vahevektori norm]na:

.

Kui  ja  on kaks normeeritud ruumi normidega  ja  ning  on lineaarkujutus, siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab normi, st kui kõikide  korral kehtib
.

Ilma lineaarsuse eelduseta kehtib:
Kui sihtruum on rangelt kumer, siis iga isomeetria ruumist  ruumi  on afiinne
Iga sürjektiivne isomeetria on afiinne kujutus (Mazuri-Ulami teoreem).Stanisław Mazur, Stanisław Ulam. Sur les transformationes isométriques d'espaces vectoriels normés. – C. R. Acad. Sci. Paris, 1932, kd 194, lk 946–948.

Kui isomeetria kujutab  nullvektori  nullvektoriks, siis ta on lineaarkujutus.

 Skalaarkorrutisega vektorruumid
Kui  on skalaarkorrutisega vektorruum (skalaarkorrutisruum), siis vektori indutseeritud norm ehk skalaarkorrutisnorm (pikkus) on defineeritud ruutjuurena vektori skalaarkorrutisest iseendaga. Kahe vektori  ja  vaheline kaugus avaldub siis nii:
,
kus skalaarkorrutis on tähistatud kolmnurksulgudega.

Kui  ja on vektorruumid skalaarkorrutistega  ja  ning  on lineaarkujutus,
siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab skalaarkorrutise, st 
 kõikide  korral.
Selliseid kujutusi nimetatakse juhul, kui vektorruum on üle reaalarvude korpuse, ka ortogonaalseteks kujutusteks, ja juhul, kui vektorruum on üle kompleksarvude korpuse, unitaarseteks kujutusteks. Reaalarvude juhtumil ei ole seejuures tarvis eeldada, et kujutis on lineaarne, sest iga isomeetria, mis kujutab nullvektori nullvektoriks, on sel juhtumil lineaarne. 

Kui  on ruumi  ortonormeeritud baas, siis lineaarkujutus  on isomeetria parajasti siis, kui  on ortonormeeritud süsteem ruumis .

Eukleidilise vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi ortogonaalseks rühmaks. Unitaarse vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi unitaarseks rühmaks.

Eukleidiline punktiruum

Iga isomeetria  eukleidiliselt punktiruumilt  eukleidilisele punktiruumile  on afiinne kujutus. Seda saab esitada kujul
 kõikide 
korral, kusjuures  on lineaarne isomeetria vastavast eukleidilisest vektorruumist  vastavasse eukleidilisse vektorruumi .

Ümberpöördult, iga kujutus, mida saab nii esitada, on isomeetria. 

Eukleidilise punktiruumi isomeetriaid iseendasse nimetatakse ka liikumisteks.

Viited

Kategooria:Matemaatika