Astmehulk

Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga  kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk  ise). 

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk. 

Hulga  astmehulka tähistatakse kujul , , ,  või . Tähis  tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast  mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks ); seda kasutatakse sellepärast, et hulga  astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas.

 Näide 
Kui  on hulk , siis kõik -i alamhulgad on:

  (märgitud ka kui  või , tühi hulk või nullhulk)








Seega on hulga  astmehulk 

 Omadused 
Kui  on lõplik hulk võimsusega  (hulga  elementide arv on ), siis on hulga  kõigi alamhulkade arv .

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga  astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

 Seos indikaatorfunktsiooniga 

Indikaatorfunktsioon hulga  alamhulga  puhul on funktsioon hulgast  kahe elemendiga hulka , mida tähistatakse kui . Selline funktsioon näitab seda, kas hulga  element kuulub alamhulka  või mitte. Kui hulga  element  kuulub alamhulka , siis , ning muul juhul . Iga hulga  alamhulga  puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon . Kirjapilt  tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast  hulka . Hulk , mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast  hulka , koosneb kõigi hulga  alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on  vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga . Kuna iga element hulgast  vastab kas arvule  või  mistahes funktsiooni puhul hulgast , omab see funktsioonide hulk võimsust . Kuna arv  võib olla hulgateoorias defineeritud kui  (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse  ka kui . Seega on samuti tõene, et.

 Viited 

 Kirjandus 






Kategooria:Hulgateooria