Rühma toime

Matemaatikas kuuluvad rühma toime juurde rühm  "aktiivse" osana ja hulk "passiivse" osana. Elemendi  toime hulgal  on selle hulga teisendus. Seejuures toimivad elemendid  hulga  elementidel nii, et korrutise  toime vastab kummagi toime järjestikusele rakendamisele (toimete kompositsioonile).

Toimivat rühma  nimetatakse teisenduste rühmaks. Hulka  koos rühma  toimega hulgal  nimetatakse -hulgaks.

Kui hulga  juures on oluline struktuur, olgu siis algebraline, geomeetriline või topoloogiline, peetakse rühma toimet lubatavaks ainult juhul, kui ta säilitab selle struktuuri. 

Rühma toime võimaldab algebras, geomeetrias ja teistes matemaatika harudes kirjeldada objektide sümmeetriaid sümmeetriarühmade abil. Siin on esiplaanil selle hulga uurimine, millel hulk toimib. Teiselt poolt võib etteantud rühma toime sobivalt valitud hulkadel anda rühmateoorias olulist informatsiooni toimiva rühma struktuuri kohta. Sel juhul on esiplaanil toimiva rühma uurimine.

 Sissejuhatav näide: kuubirühm ja  kuubi diagonaalid 

 Pilt:Cube rotation and reflection and mirror(de).svg
 olgu kuubi tipud tavalises tähistuses, st  ja  on vastastahud (esimene pilt). Kuubi pööre ümber telje, mis ühendab nende kahe tahu keskpunkte, (teine pilt) toob kaasa järgmise tippude vahetuse: 
    ja samal ajal


Pöördega vahetatakse ka (samal ajal) neli kuubi diagonaali, nimelt 

Veel üks sümmeetriakujutus, peegeldus tasandi  suhtes (neljas pilt), jätab kaks diagonaali   ja  paigale ning vahetab teised kaks
    ja   .
Kuubil on aga ka sümmeetriakujutusi, mis diagonaale omavahel ei vaheta, nimelt peegeldus keskpunkti suhtes (kolmas pilt). See kujutab 
    ja samal ajal
    ja samal ajal
    ja samal ajal

Seejuures iga diagonaal kujutub iseendaks.

Öeldakse, et kuubi sümmeetriate rühm (kuubirühm ehk oktaeedrirühm) toimib tippude hulgal, servade hulgal, diagonaalide hulgal jne. Järgnevas on vaadeldud toimet diagonaalidele. 

Iga diagonaalide paari korral (joonisel paar  ja ) leidub peegeldus tasandi suhtes, mis vahetab need omavahel ära ning jätab kõik teised diagonaalid paigale, nimelt selle tasandi suhtes, mis sisaldab paigalejäävaid diagonaale. Niisugust ühe paari vahetust nimetatakse transpositsioonks, ja need transpositsioonid tekitavad kogu nelja diagonaali permutatsioonide sümmeetrilise rühma. Et neid permutatsioone on  ning sümmeetriateisendusi, mis jätavad kõik diagonaalid paigale, on kaks (identsusteisendus ja peegeldus punkti suhtes), siis on kuubi sümmeetriateisendusi 
 .

 Definitsioon 

 (Vasakpoolne) toime 
Rühma  (vasakpoolne) toime  hulgal  on binaarne tehe

järgmiste omadustega:
 kõikide  korral , kus   on rühma  neutraalne element,
 kõikide  korral .  

Siis öeldakse, et rühm  toimib (vasakult) hulgal , ja nimetatakse hulka  koos selle rühma toimega (vasakpoolseks)  -hulgaks.

Neist nõudmistest järeldub, et iga   korral on kujutus  bijektsioon (pöördteisendus  on ). Sellepärast ei ole rühma elemendi  toime mitte ainult teisendus, vaid hulga  substitutsioon, ja rühma  toimmet hulgal  võib samastada r homomorfismiga rühmast  sümmeetrilisse rühma  .

 Parempoolne toime 
Analoogselt vasakpoolse toimega on parempoolne toime binaarne tehe
 , 
kus
  kõikide  korral, kus   on rühma  neutraalne element,
  kõikide  korral.

Erinevus vasakpoolsete ja parempoolsete toimete vahel seisneb viisis, kuidas hulgal  toimivad tehted . Vasakpoolse toime puhul toimib kõigepealt  ja siis , parempoolse toime puhul on järjekord vastupidine.

Parempoolsest toimest saab konstrueerida vasakpoolse toime, esitades seda vasturühma vasakpoolse toimena või ka pannes  rühma elemendi vasakpoolse toime asemele elemendi  parempoolse toime. Igale parempoolsele toimele   vastab vasakpoolne toime 

sest

ja

Analoogselt saab muuta vasakpoolset toimet parempoolseks. Et vasakpoolsel ja parempoolsel toimel ei ole olemuslikku erinevust, siis järgnevalt tuleb juttu ainult vasakpoolsetest toimetest.

 Veel mõisteid 

 Orbiit 
Olgu  rühma  toime hulgal  Iga  korral nimetatakse siis hulka 

elemendi  orbiidiks. Orbiidid moodustavad hulga  klassijaotuse.    Orbiidi elementide arvu (või võimsust) nimetatakse ka orbiidi pikkuseks. Väljavalitud  korral nimetatakse eeskirjaga 

antud kujutust  orbiidikujutuseks.

Orbiidid on ekvivalentsiklassid ekvivalentsusseose

suhtes, mis on defineeritud nii: leidub  nii, et .

Ekvivalentsiklasside hulka  nimetatakse orbiidiruumiks.  

 Fundamentaalpiirkond 

Olgu  topoloogiline ruum ja  rühm, mis toimib hulgal . Punkti  korral tähistagu  punkti  orbiiti. Siis nimetatakse hulka  ruumi  fundamentaalpiirkonnaks, kui ühisosa  on iga  korral on üheelemendiline hulk.Guido Walz. Fundamentalbereich – Lexikon der Mathematik, 1. trükk,  Spektrum Akademischer Verlag: Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN=3-8274-0439-8.

Näide 

Ruut on  on ruumi  fundamentaalpiirkond teisenduste rühma  suhtes. Iga punkti  saab esitada kujul , kus  ja .

 Transitiivsed ja teravalt transitiivsed toimed 
Rühma  toimet  hulgal  nimetatakse (lihtsalt) transitiivseks või öeldakse "rühm  toimib (lihtsalt) transitiivselt hulgal “, kui iga kahe elemendi  puhul leidub  nii, et . Sel juhtumil leidub ainult üks orbiit, mis hõlmab kogu hulga . Kui peale selle on rühma element , mille korral  kahe suvalise elemendiga  üheselt määratud, siis nimetatakse rühma toimet teravalt (lihtsalt) transitiivseks.

Kui ka iga kahe erineva  ja iga kahe erineva  korral leidub rühma element , mille korral  ja , siis nimetatakse rühma toimet kahekordselt transitiivseks ja kui lisaks leidub alati parajasti üks rühma element, millel on see omadus, siis nimetatakse rühma toimet teravalt kahekordselt transitiivseks. 

Viited

Kategooria:Matemaatika