Kaiseri aken

Kaiseri aken, ka Kaiser-Besseli aken, on üheparameetriline aknafunktsioonide perekond, mille lõi James Kaiser töötades firmas Bell Laboratories. Kaiseri akna peamised kasutusalad leiduvad lõpliku impulsskostega filtrite disainimises ja spektrianalüüsis. Kaiseri aken on üks lahendus optimaalse akna leidmisele, kui soovida maksimeerida signaali energiat peamaksimumi läheduses võrreldes kõrvalmaksimumidega. Tegeliku optimaalse akna leidmine on arvutuslikult keeruline ning ebaoptimaalne, Kaiseri aken on optimaalse akna leidmisega võrreldes arvutuslikult lihtne lähendus optimaalsele aknale.Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. (2009). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 541. ISBN 9780131988422.T. Verma, S. Bilbao and T. H. Y. Meng, "The digital prolate spheroidal window," 1996 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing Conference Proceedings, Atlanta, GA, USA, 1996, pp. 1351-1354 vol. 3, doi: 10.1109/ICASSP.1996.543677.

Definitsioon

Kaiseri aken on diskreetsel kujul matemaatiliselt defineeritud valemiga:



Kus:
I0 on nullindat järku esimest tüüpi Besseli funktsioon
 on M/2
M+1 on signaali pikkus
 on funktsiooni kuju määrav parameeter, juhul kui  taandub Kaiseri aken ristkülikukujuliseks aknaks
Kaiseri aken võib olla ka asendatud kujul, kus 

Kaiseri akna pidev kuju ja selle Fourier pööre on matemaatiliselt defineeritud valemiga:



Siin L tähistab akna kestvust.


Parameetrite leidmine

Signaali pikkuse ja parameetri  kaudu on võimalik määrata suhet peamaksimumi laiuse ja kõrvalmaksimumide amplituutide vahel.
Iga signaali puhul sobivate parameetrite katse-eksitus meetodil leidmise vältimiseks töötas Kaiser välja ka meetodi  M ja  väärtuste ennustamiseks.
Kui soovitud filtri :siirdeala laius on  ning suurim lähendusviga Kaiseri akna ja optimaalse akna vahel on , siis defineerides esmalt: 

, on otsitav beeta väärtus mingi A korral



Kaiser leidis lisaks, et soovitud A ja  väärtuste leidmiseks peab signaali pikkus vastama tingimusele:

  Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W., lk 542.

Kasutus

Parktiliseks kasutuseks, nagu :digitaalses signaalitöötluses, on võimalik Kaiseri funktsiooni lihtsustada kujule:

Kaiseri akna sagedusesituses asub esimene nullpunkt väljaspool peamaksimumi sagedusel , ning parameetri  väärtuste muutudes on Kaiseri akna kuju parameetri äärmuslike väärtuste korral kas kastfunktsioon, kui  või Gaussi funktsiooni lähendus, kui  läheneb lõpmatusele, seda nii ajalises- kui ka sagedusruumis.  Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "7.2". Discrete-time signal processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 474. ISBN 0-13-754920-2. a near-optimal window could be formed using the zeroth-order modified Bessel function of the first kind

Kaiseri aken on sobilik nii :madalpääsfiltriteOppenheim, A. V.; Schafer, R. W., lk 545. kui ka :kõrgpääsfiltriteOppenheim, A. V.; Schafer, R. W., lk 547. disainiks, seega on Kaiseri aknafunktsioonide kaudu konstrueeritav ka :ribapääsfilter.

Viited

Kategooria:Digitaalne signaalitöötlus