Kroneckeri deltafunktsioon

Kroneckeri deltafunktsioon (ka lihtsalt Kroneckeri delta) on kahe muutuja funktsioon diskreetses matemaatikas, mille väärtus on 1, kui argumendid on võrdsed ning väärtus on 0, kui argumendid pole võrdsed. Matemaatiliselt defineeritakse Kroneckeri deltafunktsiooni järgmiselt:

; Näitena , samas .

Indeksite  ja  maksimaalne väärtus vastab süsteemi mõõtmelisusele, näiteks kolme-mõõtmelises ruumis omandavad  ja  väärtuseid 1 kuni 3.

Kroneckeri deltafunktsioon on nime saanud saksa matemaatiku Leopold Kroneckeri järgi, kes töötas funktsiooni välja 1860. aastal.

Pidevate signaalide, impulsside ja punktallikate matemaatilisel väljendamisel kasutatakse tavaliselt hoopis Diraci deltafunktsiooni.

Omadused
Kroneckeri Deltafunktsiooni korral kehtivad järgnevad võrrandid:

Saame seega maatriksit  vaadelda ühikmaatriksina.

Lisaks sellele on Kroneckeri delta sümmeetriline ehk: , kuna kui  siis  ja seega ka  ning samamoodi kui  siis ka .

Kasutusvaldkondi
Üldiselt kasutatakse Kroneckeri deltat erinevate avaldiste kirjapanekul, et seda teha lühidalt ja lihtsalt. Kroneckeri deltat saab kasutada matemaatiliste identiteetide tuletamiseks, matemaatiliste võrrandite lihtsustamiseks ning mõõtmete muundamiseks. 

Kroneckeri deltafunktsiooni abil saame näiteks defineerida elektromagnetvälja või gravitatsioonivälja skalaarpotentsiaali osatuletist ruumis, kus on võrdne arv koordinaattelgi ja tuletise indekseid. Delta sümbolit kasutatakse ka kvantmehaanikas, kus see on oluline staatiliste energiaväärtuste väljendamisel.

Füüsikas kasutatakse Kroneckeri deltat tihti tensorite indeksite kokkuleppelises kirjutamises, eriti Lorentzi indeksite puhul, mis kirjeldavad neljamõõtmelist aegruumi. Kroneckeri deltat kasutatakse lihtsustamaks tensorite kirjapanekut. Kusjuures Kroneckeri delta on ise samuti teist järku tensor. Kroneckeri deltat kasutatakse tihti filtrina, nimelt sellel on kasulik omadus: .

Klassikalises mehaanikas on Kroneckeri delta tuntud ka kui Kroneckeri sümbol ning seda kasutatakse näiteks Newtoni teise seaduse kirjutamisel vektorkujul:

kus  ja  on indeksid ning  on jõu vektor -nda dimensiooni suhtes,  on keha mass,  on sarnaselt vastavalt indeksile kiirenduse vektor mingis dimensioonis ja  on Kroneckeri delta.

Digitaalne signaalitöötlus
pisi|Ühikimpulss
Digitaalses signaalitöötluses kasutatakse ühikimpulsi mõistet, selleks et keerukamaid signaale luua või aluskomponentideks lahutada. Ühikimpulssi tähistatakse , see on Kroneckeri deltafunktsiooni  erijuht, kus funktsiooni indeksite hulgaks on täisarvude hulk.

Ühikimpulss on defineeritud kui .

Ei saa öelda aga teistpidi, et Kroneckeri deltafunktsioon on ühikimpulss. Kroneckeri deltafunktsiooni ja ühikimpulsi väärtustused kattuvad esimeses dimensioonis, kuid  omandab lisaks veel nullist erineva väärtuse näiteks teises dimensioonis, kus ühikimpulss pole defineeritud.

 Viited 

Kategooria:Matemaatika